{
    "keyword": "2010-2022_Math_I_Open-ended_Questions",
    "model_name": "gpt-4-0314",
    "prompt": "请解答下面的数学解答题\n仔细阅读题目并充分结合你已有的知识，解答其中的问题，请你一步步思考并将思考过程写在【解析】和<eoe>之间。请把你的答案写在【答案】和<eoa>之间，答案需要有完整的解题步骤。\n完整的题目回答格式如下：\n(1)【解析】 ...<eoe>\n【答案】...<eoa>\n (2)【解析】 ...<eoe>\n【答案】...<eoa>\n请你严格按照上述格式作答，如果不止一道题，请分别作答。\n题目如下:",
    "teacher_model_name": "gpt-4-1106-preview",
    "teacher_prompt": "你是一名高中数学老师，正在批改高考数学试卷。请根据下面的【题目】、【分析过程】、【标准答案】、【分值】、【学生分析与答案】，对【学生分析与答案】进行判分并给出理由。请注意【学生分析与答案】可能为空。输出格式为：【判分理由】...\n 【得分】...\n...【总分】...分\n其中【总分】直接给出这道题的最终分数，如【总分】5分，注意不要超过这道题的【分值】。请严格对照标准答案和学生答案给分。\n",
    "example": [
        {
            "index": 0,
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) 设数列满足 $a_{1}=2, a_{n+1}-a_{n}=3 \\cdot 2^{2 n-1}$\n\n（1）求数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式;\n\n(2) 令 $b_{n}=n a_{n}$, 求数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.\n",
            "standard_answer": "解： ( I ) 由已知, 当 $n \\geqslant 1$ 时, $a_{n+1}=\\left[\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right)+\\left(a_{n}-a_{n-1}\\right)+\\ldots+(\\right.$ $\\left.\\left.a_{2}-a_{1}\\right)\\right]+a_{1}$\n\n$=3\\left(2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\\ldots+2\\right)+2=3 \\times \\frac{2\\left(1-4^{n}\\right)}{1-4}+2=2^{2(n+1)-1}$.\n\n而 $a_{1}=2$,\n\n所以数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$.\n\n( II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \\cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \\cdot 2+2 \\cdot 2^{3}+3 \\cdot 2^{5}+\\ldots+n \\cdot 2^{2 n-1}(1)$\n\n从而 $2^{2} \\mathrm{~S}_{\\mathrm{n}}=1 \\cdot 2^{3}+2 \\cdot 2^{5}+\\ldots+n \\cdot 2^{2 n+1}(2)$\n\n(1)- (2)得 $\\left(1-2^{2}\\right) \\cdot S_{n}=2+2^{3}+2^{5}+\\ldots+2^{2 n-1}-n \\cdot 2^{2 n+1}$.\n\n即 $S_{n}=\\frac{1}{9}\\left[(3 n-1) 2^{2 n+1}+2\\right]$.\n",
            "analysis": "（I ）由题意得 $a_{n+1}=\\left[\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right)+\\left(a_{n}-a_{n-1}\\right)+\\ldots+\\left(a_{2}-a_{1}\\right)\\right]+a_{1}=3 （$ $\\left.2^{2 n-1}+2^{2 n-3}+\\ldots+2\\right)+2=2^{2(n+1)-1}$. 由此可知数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{2 n-1}$.\n\n(II ) 由 $b_{n}=n a_{n}=n \\cdot 2^{2 n-1}$ 知 $S_{n}=1 \\cdot 2+2 \\cdot 2^{3}+3 \\cdot 2^{5++n} \\cdot 2^{2 n-1}$, 由此入手可知答案.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们可以看到$a_{n+1}-a_{n}=3 \\cdot 2^{2 n-1}$是一个等差数列的递推公式。我们可以通过求和来找到$a_n$的通项公式。<eoe>\n【答案】我们有$a_{n+1}-a_{n}=3 \\cdot 2^{2 n-1}$，所以$a_{n+1}=a_{n}+3 \\cdot 2^{2 n-1}$。我们可以将这个等式重写为$a_{n}=a_{n-1}+3 \\cdot 2^{2 (n-1)-1}$。然后，我们可以将这个等式继续向后递推，得到$a_{n}=a_{n-1}+3 \\cdot 2^{2 (n-1)-1}=a_{n-2}+3 \\cdot 2^{2 (n-2)-1}+3 \\cdot 2^{2 (n-1)-1}=\\cdots=a_{1}+3 \\cdot 2^{2 \\cdot 1-1}+3 \\cdot 2^{2 \\cdot 2-1}+\\cdots+3 \\cdot 2^{2 (n-1)-1}$。因为$a_{1}=2$，所以我们有$a_{n}=2+3 \\cdot (2^{1}+2^{3}+2^{5}+\\cdots+2^{2 n-1})$。这就是$a_n$的通项公式。<eoa>\n\n(2)【解析】我们已经找到了$a_n$的通项公式，现在我们需要找到$b_n=na_n$的前$n$项和$S_n$。我们可以通过将$a_n$的公式代入$b_n$的公式，然后求和来找到$S_n$。<eoe>\n【答案】我们有$b_n=na_n=n[2+3 \\cdot (2^{1}+2^{3}+2^{5}+\\cdots+2^{2 n-1})]$。然后，我们可以求出$b_n$的前$n$项和$S_n=\\sum_{i=1}^{n}b_i=\\sum_{i=1}^{n}i[2+3 \\cdot (2^{1}+2^{3}+2^{5}+\\cdots+2^{2 i-1})]$。这就是$S_n$的公式。为了简化这个公式，我们可以将其分解为两部分，一部分是$2\\sum_{i=1}^{n}i$，另一部分是$3\\sum_{i=1}^{n}i(2^{1}+2^{3}+2^{5}+\\cdots+2^{2 i-1})$。我们知道$\\sum_{i=1}^{n}i=\\frac{n(n+1)}{2}$，所以$2\\sum_{i=1}^{n}i=n(n+1)$。对于第二部分，我们可以将其分解为$3\\sum_{i=1}^{n}i\\sum_{j=1}^{i}2^{2 j-1}$，然后使用二重求和公式来简化。最后，我们可以得到$S_n$的公式。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解答第一问时，正确地识别了$a_{n+1}-a_{n}=3 \\cdot 2^{2 n-1}$是一个递推关系，并且正确地通过迭代的方式得到了$a_n$的表达式。但是在最后的求和过程中，学生没有正确地计算出求和的结果，也没有得到正确的通项公式$a_{n}=2^{2 n-1}$。因此，学生的答案虽然方法上基本正确，但是最终结果不正确，可以给予部分分数。\n\n(2) 学生在解答第二问时，正确地将$a_n$的表达式代入到$b_n$中，但是在求和的过程中，学生没有给出正确的求和公式，也没有得到正确的$S_n$的表达式。学生的答案在方法上是正确的，但是在计算和简化过程中出现了错误，没有得到正确的结果，因此也可以给予部分分数。\n\n根据学生的解答，可以给以下分数：\n(1) 对于通项公式的求解，学生的方法基本正确，但是最终结果错误，可以给予4分（满分6分）。\n(2) 对于前$n$项和$S_n$的求解，学生的方法基本正确，但是最终结果错误，可以给予4分（满分6分）。\n\n【得分】4 + 4 = 8分\n【总分】8分",
            "model_correction_score": [
                8.0
            ]
        },
        {
            "index": 1,
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "19. （12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样 方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表:\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|}\n\\hline 性别 & 男 & 女 \\\\\n\\hline 是否需要志愿者 & & \\\\\n\\hline 需要 & 40 & 30 \\\\\n\\hline 不需要 & 160 & 270 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例;\n\n(2) 能否有 $99 \\%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有 关?\n\n(3) 根据（2）的结论, 能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要 志愿者提供帮助的老年人比例? 说明理由.\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline$P\\left(K^{2} \\geqslant k\\right)$ & 0.050 & 0.010 & 0.001 \\\\\n\\hline & 3.841 & 6.635 & 10.828 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n附: $K^{2}=\\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助, 因此在 该地区老年人中, 需要帮助的老年人的比例的估计值为 $\\frac{70}{500}=14 \\%$\n\n(2) $K^{2}$ 的观测值 $k=\\frac{500(40 \\times 270-30 \\times 160)^{2}}{200 \\times 300 \\times 70 \\times 430} \\approx 9.967$\n\n因为 $9.967>6.635$, 且 $P\\left(K^{2} \\geqslant 6.635\\right)=0.01$,\n\n所以有 $99 \\%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.\n\n（3）根据（2）的结论可知, 该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有 关, 并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的 比例有明显差异, 因此在调查时, 先确定该地区老年人中男、女的比例, 再 把老年人分成男女两层, 并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好.\n",
            "analysis": "（1）由样本的频率率估计总体的概率,\n\n（2）求 $K^{2}$ 的观测值查表, 下结论;\n\n（3）由 99\\%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关, 则可按性别分层抽样.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 首先需要计算出需要志愿者的老年人的总数，然后除以调查的总人数，即可得到需要志愿者提供帮助的比例。<eoe>\n【答案】 需要志愿者的老年人的总数为：40+30=70，调查的总人数为：500，所以需要志愿者提供帮助的比例为：70/500=0.14。<eoa>\n\n(2)【解析】 这是一个关于性别和是否需要志愿者提供帮助的列联表问题，我们可以使用卡方检验来判断性别和是否需要志愿者提供帮助是否有关。卡方检验的公式为：$K^{2}=\\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中a、b、c、d分别代表四个格子的频数，n为总频数。如果计算出的卡方值大于给定的临界值，那么我们就可以认为性别和是否需要志愿者提供帮助是有关的。<eoe>\n【答案】 先计算卡方值，代入公式$K^{2}=\\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，得到$K^{2}=\\frac{500*(40*270-30*160)^{2}}{(40+30)*(160+270)*(40+160)*(30+270)}=0.96$。查表得知，对于99%的把握，卡方临界值为10.828，而我们计算出的卡方值为0.96，远小于10.828，所以我们不能有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。<eoa>\n\n(3)【解析】 根据(2)的结论，性别和是否需要志愿者提供帮助没有关系，所以我们在进行调查时，不需要考虑性别因素，可以直接对老年人进行随机抽样。这样可以减少调查的复杂性，提高调查的效率。<eoe>\n【答案】 根据(2)的结论，我们可以提出直接对老年人进行随机抽样的调查方法，不需要考虑性别因素。因为性别和是否需要志愿者提供帮助没有关系，所以这种方法可以减少调查的复杂性，提高调查的效率。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生正确计算了需要志愿者提供帮助的老年人的比例，答案与标准答案一致。【得分】4分。\n\n(2) 学生在计算卡方值时计算错误，得出的卡方值为0.96，与标准答案的9.967相差甚远。学生的结论与标准答案相反，认为性别和是否需要志愿者提供帮助没有关系，这是错误的。【得分】0分。\n\n(3) 学生的结论是基于错误的(2)部分的结论得出的，因此也是错误的。标准答案指出应该采取分层抽样方法，而学生建议直接进行随机抽样，没有考虑到性别因素。【得分】0分。\n\n【得分】4分\n【总分】4分",
            "model_correction_score": [
                4.0
            ]
        },
        {
            "index": 2,
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "20. (12 分) 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E: \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点, 过 $F_{1}$ 斜率为 1 的直线 $e$ 与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点, 且 $\\left|A F_{2}\\right|,|A B|,\\left|B F_{2}\\right|$ 成等差数列\n\n(1) 求 $E$ 的离心率;\n\n(2) 设点 $P(0,-1)$ 满足 $|P A|=|P B|$, 求 $E$ 的方程.\n",
            "standard_answer": "解：（1）由椭圆定义知 $\\left|\\mathrm{AF}_{2}\\right|+\\left|\\mathrm{BF}_{2}\\right|+|\\mathrm{AB}|=4 \\mathrm{a}$, 又 $2|\\mathrm{AB}|=\\left|\\mathrm{AF}_{2}\\right|+\\left|\\mathrm{BF}_{2}\\right|$, 得 $|A B|=\\frac{4}{3} a$, 1 的方程为 $y=x+c$, 其中 $c=\\sqrt{a^{2}-b^{2}}$.\n\n设 $A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$, 则 $A 、 B$ 两点坐标满足方程组 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=x+c \\\\ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\end{array}\\right.$\n\n化简的 $\\left(a^{2}+b^{2}\\right) x^{2}+2 a^{2} c x+a^{2}\\left(c^{2}-b^{2}\\right)=0$\n\n则 $x_{1}+x_{2}=\\frac{-2 a^{2} c}{a^{2}+b^{2}}, x_{1} x_{2}=\\frac{a^{2}\\left(c^{2}-b^{2}\\right)}{a^{2}+b^{2}}$\n\n因为直线 $A B$ 斜率为 $1,|A B|=\\sqrt{2}\\left|x_{1}-x_{2}\\right|=\\sqrt{2\\left[\\left(x_{1}+x_{2}\\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}\\right]}$, 得 $\\frac{4}{3} a=\\frac{4 a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$, 故 $a^{2}=2 b^{2}$\n\n所以 $E$ 的离心率 $\\mathrm{e}=\\frac{\\mathrm{c}}{\\mathrm{a}}=\\frac{\\sqrt{\\mathrm{a}^{2}-\\mathrm{b}^{2}}}{\\mathrm{a}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$\n\n(II) 设 $A B$ 的中点为 $N\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$, 由 (1) 知 $x_{0}=\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\\frac{-a^{2} c}{a^{2}+b^{2}}=-\\frac{2}{3} c$,\n\n$$\ny_{0}=x_{0}+c=\\frac{c}{3} \\text {. }\n$$\n\n由 $|P A|=|P B|$, 得 $k_{P N}=-1$,\n\n即 $\\frac{y_{0}+1}{x_{0}}=-1$\n\n得 $c=3$, 从而 $a=3 \\sqrt{2}, b=3$\n\n故椭圆 $E$ 的方程为 $\\frac{x^{2}}{18}+\\frac{y^{2}}{9}=1$.\n",
            "analysis": "(1) 根据椭圆的定义可知 $\\left|\\mathrm{AF}_{2}\\right|+\\left|\\mathrm{BF}_{2}\\right|+|\\mathrm{AB}|=4 \\mathrm{a}$, 进而根据 $\\left|\\mathrm{AF}_{2}\\right|, \\mid \\mathrm{AB}$ , $\\left|B F_{2}\\right|$ 成等差数表示出 $|A B|$, 进而可知直线 $\\mid$ 的方程, 设 $A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}\\right.$ $\\left(y_{2}\\right)$, 代入直线和椭圆方程, 联立消去 $y$, 根据韦达定理表示出 $x_{1}+x_{2}$ 和 $x_{1} x_{2}$ 进而根据 $\\frac{4}{3} a=\\frac{4 a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$, 求得 $a$ 和 $b$ 的关系, 进而求得 $a$ 和 $c$ 的关系, 离心率 可得.\n\n(II) 设 $A B$ 的中点为 $N\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$, 根据 (1) 则可分别表示出 $x_{0}$ 和 $y_{0}$, 根据 $|P A|=|P B|$, 推知直线 $P N$ 的斜率, 根据 $\\frac{y_{0}+1}{x_{0}}=-1$ 求得 $c$, 进而求得 $a$ 和 $b$, 粗圆的方程可得.\n",
            "model_output": "(1)【解析】<eoe>\n首先，我们知道椭圆的左、右焦点的坐标为$(-c,0)$和$(c,0)$，其中$c=\\sqrt{a^2-b^2}$。由于直线$e$过$F_1$且斜率为1，所以直线$e$的方程为$y=x+c$。将$y=x+c$代入椭圆的方程$\\frac{x^2}{a^2}+\\frac{(x+c)^2}{b^2}=1$，解得$x=\\frac{a^2-c^2}{a}$或$x=\\frac{-a^2-c^2}{a}$。这两个解分别对应点$A$和$B$的$x$坐标，所以$A(\\frac{a^2-c^2}{a},\\frac{a^2}{a})$，$B(\\frac{-a^2-c^2}{a},\\frac{-a^2-c^2}{a}+c)$。由题意，$\\left|A F_{2}\\right|,|A B|,\\left|B F_{2}\\right|$成等差数列，所以$2|AB|=|AF_2|+|BF_2|$。将$A$，$B$，$F_2$的坐标代入，得到$2\\sqrt{2}a=2c$，所以$c=\\sqrt{2}a$，代入$c=\\sqrt{a^2-b^2}$，解得$b=\\sqrt{2}a$。所以，离心率$e=\\frac{c}{a}=\\sqrt{2}$。<eoa>\n\n(2)【解析】<eoe>\n由于点$P(0,-1)$满足$|P A|=|P B|$，所以$A$，$B$，$P$三点共线。由于$A$，$B$在直线$e$上，所以点$P$也在直线$e$上，所以$P$的坐标满足$y=x+c$，解得$x=-1-c$。将$x=-1-c$代入椭圆的方程，解得$a^2=2b^2$。由于已知$b=\\sqrt{2}a$，所以$a^2=4a^2$，解得$a=\\frac{1}{\\sqrt{3}}$，$b=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$。所以，椭圆的方程为$\\frac{x^2}{\\frac{1}{3}}+\\frac{y^2}{\\frac{1}{2}}=1$，即$3x^2+2y^2=1$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求离心率的过程中，错误地将直线 $e$ 与椭圆的交点坐标求解过程中的 $x$ 值计算错误，导致后续的 $|AB|$、$|AF_2|$ 和 $|BF_2|$ 的关系错误，进而得出错误的离心率 $e=\\sqrt{2}$。正确的离心率应为 $e=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$。因此，该部分答案完全错误，不得分。\n\n(2) 学生在求椭圆方程的过程中，错误地认为点 $P$ 在直线 $e$ 上，并错误地使用了 $P$ 的坐标来解椭圆方程，导致得出错误的椭圆方程 $3x^2+2y^2=1$。正确的椭圆方程应为 $\\frac{x^2}{18}+\\frac{y^2}{9}=1$。因此，该部分答案完全错误，不得分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 3,
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "21. (12 分) 设函数 $f(x)=e^{x}-1-x-a x^{2}$.\n\n(1) 若 $a=0$, 求 $f(x)$ 的单调区间;\n\n(2) 若当 $x \\geqslant 0$ 时 $f(x) \\geqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解: (1) $a=0$ 时, $f(x)=e^{x}-1-x, f^{\\prime}(x)=e^{x}-1$.\n\n当 $x \\in(-\\infty, 0)$ 时, $f^{\\prime}(x)<0$; 当 $x \\in(0,+\\infty)$ 时, $f^{\\prime}(x)>0$.\n\n故 $f(x)$ 在 $(-\\infty, 0)$ 单调减少, 在 $(0,+\\infty)$ 单调增加\n\n(II) $f^{\\prime}(x)=e^{x}-1-2 a x$\n\n由 (1) 知 $e^{x} \\geqslant 1+x$, 当且仅当 $x=0$ 时等号成立. 故 $f^{\\prime}(x) \\geqslant x-2 a x=(1-2 a ） x$, 从而当 $1-2 a \\geqslant 0$, 即 $a \\leqslant \\frac{1}{2}$ 时, $f^{\\prime}(x) \\geqslant 0(x \\geqslant 0)$, 而 $f(0)=0$,\n\n于是当 $x \\geqslant 0$ 时, $f(x) \\geqslant 0$.\n\n由 $e^{x}>1+x(x \\neq 0)$ 可得 $e^{-x}>1-x(x \\neq 0)$.\n\n从而当 $a>\\frac{1}{2}$ 时, $f^{\\prime}(x)<e^{x}-1+2 a\\left(e^{-x}-1\\right)=e^{-x}\\left(e^{x}-1\\right)\\left(e^{x}-2 a\\right)$, 故当 $x \\in(0, \\ln 2 a)$ 时, $f^{\\prime}(x)<0$, 而 $f(0)=0$, 于是当 $x \\in(0, \\ln 2 a)$ 时, $f($ x) $<0$.\n\n综合得 $\\mathrm{a}$ 的取值范围为 $\\left(-\\infty, \\frac{1}{2}\\right]$.\n",
            "analysis": "(1) 先对函数 $f(x)$ 求导, 导函数大于 0 时原函数单调递增, 导函数 小于 0 时原函数单调递减.\n\n(2) 根据 $e^{x} \\geqslant 1+x$ 可得不等式 $f^{\\prime}(x) \\geqslant x-2 a x=(1-2 a) x$, 从而可知当 1- $2 a \\geqslant$ 0 , 即 $a \\leqslant \\frac{1}{2}$ 时, $f^{\\prime}(x) \\geqslant 0$ 判断出函数 $f(x)$ 的单调性, 得到答案.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n对于函数的单调性，我们需要求函数的导数，然后通过导数的正负来判断函数的单调性。\n首先，我们需要求函数 $f(x)=e^{x}-1-x-ax^{2}$ 在 $a=0$ 时的导数。<eoe>\n\n【答案】 \n当 $a=0$ 时，函数 $f(x)=e^{x}-1-x$，其导数为 $f'(x)=e^{x}-1$。\n设 $f'(x)=0$，解得 $x=0$。\n当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$，即函数在 $(-\\infty,0)$ 上单调递减；\n当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，即函数在 $(0,+\\infty)$ 上单调递增。\n所以，当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调区间为 $(-\\infty,0)$ 和 $(0,+\\infty)$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于函数的值的范围，我们需要找到函数的最小值，然后通过比较最小值和0来确定a的取值范围。\n首先，我们需要求函数 $f(x)=e^{x}-1-x-ax^{2}$ 的导数，然后通过求导数的零点来找到函数的最小值。<eoe>\n\n【答案】 \n函数 $f(x)=e^{x}-1-x-ax^{2}$ 的导数为 $f'(x)=e^{x}-1-2ax$。\n设 $f'(x)=0$，解得 $x=\\frac{e^{x}-1}{2a}$。\n由于当 $x \\geqslant 0$ 时 $f(x) \\geqslant 0$，所以我们只需要考虑 $x \\geqslant 0$ 的情况。\n当 $x=0$ 时，$f(x)=e^{0}-1-0-a*0^{2}=0$。\n当 $x>0$ 时，$f'(x)=e^{x}-1-2ax>0$，所以函数在 $(0,+\\infty)$ 上单调递增。\n所以，函数 $f(x)$ 在 $x \\geqslant 0$ 上的最小值为0，即 $f(x) \\geqslant 0$。\n所以，当 $x \\geqslant 0$ 时 $f(x) \\geqslant 0$，$a$ 的取值范围为 $(-\\infty,+\\infty)$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在分析过程中正确地求出了导数 $f'(x)=e^{x}-1$，并且正确地判断了函数在 $(-\\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\\infty)$ 上单调递增。这部分分析和答案与标准答案一致，因此可以给满分。\n\n【得分】6分\n\n(2) 学生在分析过程中求出了导数 $f'(x)=e^{x}-1-2ax$，但是在解决 $f'(x)=0$ 时出现了错误，解得 $x=\\frac{e^{x}-1}{2a}$ 是不正确的。学生没有正确地找到函数的最小值，也没有正确地判断 $a$ 的取值范围。学生的答案中，错误地给出了 $a$ 的取值范围为 $(-\\infty,+\\infty)$，这与标准答案中的 $\\left(-\\infty, \\frac{1}{2}\\right]$ 不符。因此，这部分答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】6分",
            "model_correction_score": [
                6.0
            ]
        },
        {
            "index": 4,
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "score": 10,
            "question": "23. (10 分) 已知直线 $C_{1}\\left\\{\\begin{array}{l}x=1+t \\cos \\alpha \\\\ y=t \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$ (t 为参数), $C_{2}\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos \\theta \\\\ y=\\sin \\theta\\end{array}\\right.$ ( $\\theta$ 为参数)\n\n(I) 当 $\\alpha=\\frac{\\pi}{3}$ 时，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点坐标;\n\n(II) 过坐标原点 $O$ 做 $C_{1}$ 的垂线, 垂足为 $A, P$ 为 $O A$ 中点, 当 $\\alpha$ 变化时, 求 $P$ 点的轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 当 $\\alpha=\\frac{\\pi}{3}$ 时, $C_{1}$ 的普通方程为 $y=\\sqrt{3}(x-1), C_{2}$ 的普通方程为 $x^{2}+y^{2}=1$\n\n联立方程组 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=\\sqrt{3}(x-1) \\\\ x^{2}+y^{2}=1\\end{array}\\right.$,\n\n解得 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点为 $(1,0)\\left(\\frac{1}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$.\n\n( II ) $C_{1}$ 的普通方程为 $x \\sin \\alpha-y \\cos \\alpha-\\sin \\alpha=0(1)$.\n\n则 $O A$ 的方程为 $x \\cos \\alpha+y \\sin \\alpha=0(2)$,\n\n联立(1)(2)可得 $x=\\sin ^{2} \\alpha, y=-\\cos \\alpha \\sin \\alpha$;\n\nA 点坐标为 $\\left(\\sin ^{2} \\alpha,-\\cos \\alpha \\sin \\alpha\\right)$,\n\n故当 $\\alpha$ 变化时, $P$ 点轨迹的参数方程为: $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{1}{2} \\sin ^{2} \\alpha \\\\ y=\\frac{1}{2} \\sin \\alpha \\cos \\alpha\\end{array}\\right.$ ( $\\alpha$ 为参数),\n\n$P$ 点轨迹的普通方程 $\\left(x-\\frac{1}{4}\\right)^{2}+y^{2}=\\frac{1}{16}$.\n\n故 $P$ 点轨迹是圆心为 $\\left(\\frac{1}{4}, 0\\right)$, 半径为 $\\frac{1}{4}$ 的圆.\n",
            "analysis": "(1）先消去参数将曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的参数方程化成普通方程, 再联立方程 组求出交点坐标即可,\n\n(II) 设 $P(x, y)$, 利用中点坐标公式得 $P$ 点轨迹的参数方程, 消去参数即得 普通方程, 由普通方程即可看出其是什么类型的曲线.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n对于(I)部分，我们需要找出直线$C_{1}$和$C_{2}$的交点。这可以通过将$C_{1}$和$C_{2}$的参数方程联立起来并求解来完成。我们需要找到满足两个方程组的$x$和$y$的值。这里，$\\alpha=\\frac{\\pi}{3}$，所以我们可以将这个值代入$C_{1}$的方程中。<eoe>\n\n【答案】 \n将$\\alpha=\\frac{\\pi}{3}$代入$C_{1}$的方程中，我们得到\n$x=1+t\\cos\\frac{\\pi}{3}=1+\\frac{t}{2}$，\n$y=t\\sin\\frac{\\pi}{3}=\\frac{\\sqrt{3}t}{2}$。\n然后，我们将这两个方程与$C_{2}$的方程联立起来，得到\n$\\cos\\theta=1+\\frac{t}{2}$，\n$\\sin\\theta=\\frac{\\sqrt{3}t}{2}$。\n由于$\\sin^2\\theta+\\cos^2\\theta=1$，我们可以将上述两个方程平方后相加，得到\n$t^2=\\frac{4}{3}$，\n所以，$t=\\frac{2}{\\sqrt{3}}$或$t=-\\frac{2}{\\sqrt{3}}$。\n将$t=\\frac{2}{\\sqrt{3}}$代入$x$和$y$的表达式中，我们得到交点坐标为$(\\frac{5}{2},\\sqrt{3})$；\n将$t=-\\frac{2}{\\sqrt{3}}$代入$x$和$y$的表达式中，我们得到交点坐标为$(-\\frac{1}{2},-\\sqrt{3})$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于(II)部分，我们需要找出点$P$的轨迹的参数方程。首先，我们需要找出点$A$的坐标。由于$A$是$O$到$C_{1}$的垂足，所以$A$的坐标可以通过将$t=0$代入$C_{1}$的方程中得到。然后，由于$P$是$O$和$A$的中点，所以$P$的坐标可以通过求$O$和$A$的坐标的平均值得到。最后，我们需要找出这个轨迹的参数方程，并确定它是什么曲线。<eoe>\n\n【答案】 \n将$t=0$代入$C_{1}$的方程中，我们得到$A$的坐标为$(1,0)$。因此，$O$的坐标为$(0,0)$，所以$P$的坐标为$\\left(\\frac{1}{2},0\\right)$。因此，$P$的轨迹的参数方程为$\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{1}{2} \\\\ y=0\\end{array}\\right.$。这是一条水平直线。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(I) 部分，学生没有正确求出 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点坐标。学生得到的交点坐标 $(\\frac{5}{2},\\sqrt{3})$ 和 $(-\\frac{1}{2},-\\sqrt{3})$ 与标准答案 $(1,0)$ 和 $\\left(\\frac{1}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$ 不符。因此，这部分得0分。\n\n(II) 部分，学生没有正确求出 $P$ 点的轨迹的参数方程，也没有正确指出它是什么曲线。学生得出的轨迹是一条水平直线，而标准答案是圆心为 $\\left(\\frac{1}{4}, 0\\right)$, 半径为 $\\frac{1}{4}$ 的圆。因此，这部分也得0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 5,
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) 等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的各项均为正数, 且 $2 a_{1}+3 a_{2}=1, a_{3}{ }^{2}=9 a_{2} a_{6}$,\n\n(I ) 求数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式;\n\n(II ) 设 $b_{n}=\\log _{3} a_{1}+\\log _{3} a_{2}+\\ldots+\\log _{3} a_{n}$, 求数列 $\\left\\{\\frac{1}{b_{n}}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 设数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的公比为 $q$, 由 $a_{3}{ }^{2}=9 a_{2} a_{6}$ 得 $a_{3}{ }^{2}=9 a_{4}{ }^{2}$, 所以 $q^{2}=\\frac{1}{9}$\n\n由条件可知各项均为正数, 故 $q=\\frac{1}{3}$.\n\n由 $2 a_{1}+3 a_{2}=1$ 得 $2 a_{1}+3 a_{1} q=1$, 所以 $a_{1}=\\frac{1}{3}$.\n\n故数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项式为 $a_{n}=\\frac{1}{3^{n}}$. ( II ) $b_{n}=\\log _{3} a_{1+} \\log _{3} a_{2+}+{ }^{+} \\log _{3} a_{n=-}(1+2+\\ldots+n)=-\\frac{n(n+1)}{2}$,\n\n故 $\\frac{1}{b_{n}}=-\\frac{2}{n(n+1)}=-2\\left(\\frac{1}{n}-\\frac{1}{n+1}\\right)$\n\n则 $\\frac{1}{\\mathrm{~b}_{1}}+\\frac{1}{\\mathrm{~b}_{2}}+\\ldots+\\frac{1}{\\mathrm{~b}_{\\mathrm{n}}}=-2\\left[\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}\\right)+\\ldots+\\left(\\frac{1}{\\mathrm{n}}-\\frac{1}{\\mathrm{n}+1}\\right)\\right]=-\\frac{2 \\mathrm{n}}{\\mathrm{n}+1}$,\n\n所以数列 $\\left\\{\\frac{1}{b_{n}}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $-\\frac{2 n}{n+1}$.\n",
            "analysis": "（I ) 设出等比数列的公比 $q$, 由 $a_{3}{ }^{2}=9 a_{2} a_{6}$, 利用等比数列的通项公式 化简后得到关于 $q$ 的方程, 由已知等比数列的各项都为正数, 得到满足题意 $q$ 的值, 然后再根据等比数列的通项公式化简 $2 a_{1}+3 a_{2}=1$, 把求出的 $q$ 的值代入 即可求出等比数列的首项, 根据首项和求出的公比 $\\mathrm{q}$ 写出数列的通项公式即 可;\n\n（II ）把（I ) 求出数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式代入设 $b n=\\log _{3} a_{1}+\\log _{3} a_{2}+\\ldots+\\log _{3} a_{n}$, 利用 对数的运算性质及等差数列的前 $n$ 项和的公式化简后, 即可得到 $b_{n}$ 的通项公 式, 求出倒数即为 $\\frac{1}{b_{n}}$ 的通项公式, 然后根据数列的通项公式列举出数列的各 项, 抵消后即可得到数列 $\\left\\{\\frac{1}{b_{n}}\\right\\}$ 的前 $\\mathrm{n}$ 项和.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们知道等比数列的通项公式为$a_n=a_1*q^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比。我们需要找到$a_1$和$q$的值。\n根据题目给出的条件，我们有$2a_1+3a_2=1$和$a_3^2=9a_2a_6$。我们可以将$a_2$和$a_3$表示为$a_1$和$q$的函数，即$a_2=a_1*q$，$a_3=a_1*q^2$，$a_6=a_1*q^5$。\n将这些代入给定的等式，我们可以解出$a_1$和$q$的值。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，将$a_2=a_1*q$代入$2a_1+3a_2=1$得到$2a_1+3a_1*q=1$，解出$q=\\frac{1-2a_1}{3a_1}$。\n然后，将$a_3=a_1*q^2$和$a_6=a_1*q^5$代入$a_3^2=9a_2a_6$得到$a_1^2*q^4=9a_1*q*a_1*q^5$，解出$q^3=9$，得到$q=3$。\n将$q=3$代入$q=\\frac{1-2a_1}{3a_1}$，解出$a_1=\\frac{1}{5}$。\n所以，等比数列的通项公式为$a_n=\\frac{1}{5}*3^{n-1}$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于数列$b_n=\\log_3a_1+\\log_3a_2+...+\\log_3a_n$，我们可以利用对数的性质将其化简为$b_n=\\log_3(a_1*a_2*...*a_n)$。\n由于$a_n=\\frac{1}{5}*3^{n-1}$，我们有$a_1*a_2*...*a_n=(\\frac{1}{5})^n*3^{1+2+...+n}$。\n然后，我们需要求出数列$\\{\\frac{1}{b_n}\\}$的前$n$项和。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们有$b_n=\\log_3((\\frac{1}{5})^n*3^{1+2+...+n})=\\log_3((\\frac{1}{5})^n)+\\log_3(3^{1+2+...+n})=n\\log_3\\frac{1}{5}+(1+2+...+n)$。\n然后，我们知道等差数列的前$n$项和公式为$\\frac{n(n+1)}{2}$，所以$b_n=n\\log_3\\frac{1}{5}+\\frac{n(n+1)}{2}$。\n因此，$\\frac{1}{b_n}=\\frac{1}{n\\log_3\\frac{1}{5}+\\frac{n(n+1)}{2}}$。\n数列$\\{\\frac{1}{b_n}\\}$的前$n$项和为$\\sum_{i=1}^{n}\\frac{1}{i\\log_3\\frac{1}{5}+\\frac{i(i+1)}{2}}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(I) 学生在解析部分正确地表达了等比数列的通项公式的形式，但在求解过程中犯了错误。学生将 $a_3^2=9a_2a_6$ 错误地化简为 $a_1^2*q^4=9a_1*q*a_1*q^5$，并错误地得出 $q^3=9$，进而错误地得出 $q=3$。这与标准答案中的 $q=\\frac{1}{3}$ 不符。因此，学生的答案在求解公比 $q$ 时是错误的。在求首项 $a_1$ 时，学生也因为公比 $q$ 的错误而得出了错误的首项 $a_1=\\frac{1}{5}$。因此，学生的通项公式 $a_n=\\frac{1}{5}*3^{n-1}$ 也是错误的。由于学生的解析和答案在关键步骤上均有错误，此部分给 0 分。\n\n(II) 学生在解析部分正确地提到了对数的性质，但是在化简过程中没有正确地使用等比数列的通项公式，也没有正确地求出 $b_n$ 的表达式。学生没有给出 $\\frac{1}{b_n}$ 的通项公式，也没有给出数列 $\\left\\{\\frac{1}{b_{n}}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和的正确答案。因此，此部分也给 0 分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 6,
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "19. （12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大表明质量 越好, 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品, 现用两种新配方（分 别称为 $\\mathrm{A}$ 配方和 $\\mathrm{B}$ 配方) 做试验, 各生产了 100 件这种产品, 并测量了每件 产品的质量指标值, 得到下面试验结果:\n\nA 配方的频数分布表\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 指标值分组 & {$[90,94)$} & {$[94,98)$} & {$[98,102)$} & {$[102,106)$} & {$[106,110]$} \\\\\n\\hline 频数 & 8 & 20 & 42 & 22 & 8 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\nB 配方的频数分布表\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 指标值分组 & {$[90,94)$} & {$[94,98)$} & {$[98,102)$} & {$[102,106)$} & {$[106,110]$} \\\\\n\\hline 频数 & 4 & 12 & 42 & 32 & 10 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n（I ）分别估计用 $\\mathrm{A}$ 配方, $B$ 配方生产的产品的优质品率;\n\n（II) 已知用 B 配方生成的一件产品的利润 $y$ （单位: 元）与其质量指标值 $t$ 的 关系式为 $\\mathrm{y}= \\begin{cases}-2, & \\mathrm{t}<94 \\\\ 2, & 94 \\leqslant \\mathrm{t}<102 \\\\ 4, & \\mathrm{t} \\geqslant 102\\end{cases}$\n\n从用 $B$ 配方生产的产品中任取一件, 其利润记为 $X$ （单位: 元), 求 $X$ 的分布列 及数学期望. (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质 量指标值落入相应组的概率)\n",
            "standard_answer": "解： ( I ) 由试验结果知, 用 $A$ 配方生产的产品中优质的频率为 $\\frac{22+8}{100}=0.3$\n\n$\\therefore$ 用 $A$ 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3 . 由试验结果知, 用 $B$ 配方生产的产品中优质品的频率为 $\\frac{32+10}{100}=0.42$\n\n$\\therefore$ 用 $B$ 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 ;\n\n（II) 用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间\n\n$[90,94),[94,102),[102,110]$ 的频率分别为 $0.04,0.54,0.42$,\n\n$\\therefore P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42$,\n\n即 $X$ 的分布列为\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline$X$ & -2 & 2 & 4 \\\\\n\\hline $\\mathrm{P}$ & 0.04 & 0.54 & 0.42 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n$\\therefore X$ 的数学期望值. $\\mathrm{EX}=-2 \\times 0.04+2 \\times 0.54+4 \\times 0.42=2.68$\n",
            "analysis": "(1）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数, 两个求比值, 得 到用两种配方的产品的优质品率的估计值.\n\n(II) 根据题意得到变量对应的数字, 结合变量对应的事件和第一问的结果写出 变量对应的概率, 写出分布列和这组数据的期望值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n（I）优质品率是指质量指标值大于或等于102的产品的比例。首先，我们需要找出质量指标值大于或等于102的产品的数量，然后将这个数量除以总的产品数量（即100）。<eoe>\n\n【答案】 \n对于A配方，质量指标值大于或等于102的产品的数量是22+8=30，所以优质品率是30/100=0.3；\n对于B配方，质量指标值大于或等于102的产品的数量是32+10=42，所以优质品率是42/100=0.42。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n（II）利润X的分布列可以通过将每个可能的利润值与其出现的概率配对得到。首先，我们需要找出每个可能的利润值，然后计算出每个利润值的概率。然后，我们可以通过将每个可能的利润值乘以其出现的概率，然后将这些乘积相加，得到利润X的数学期望。<eoe>\n\n【答案】 \n对于B配方，利润值-2的概率是4/100=0.04，利润值2的概率是(12+42)/100=0.54，利润值4的概率是(32+10)/100=0.42。\n所以，利润X的分布列为：(-2, 0.04)，(2, 0.54)，(4, 0.42)。\n利润X的数学期望是(-2)*0.04 + 2*0.54 + 4*0.42 = 2.68元。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生在（I）部分正确计算了A配方和B配方的优质品率，答案与标准答案一致，因此该部分给满分。\n\n在（II）部分，学生正确地给出了利润X的分布列，并且正确计算了X的数学期望，答案与标准答案一致，因此该部分也给满分。\n\n【得分】\n（I）部分：6分\n（II）部分：6分\n【总分】12分",
            "model_correction_score": [
                12.0
            ]
        },
        {
            "index": 7,
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "20. (12 分) 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知点 $A(0,-1), B$ 点在直线 $y=-3$ 上, $M$ 点满足 $\\overrightarrow{M B} / / \\overrightarrow{O A}, \\overrightarrow{M A} \\cdot \\overrightarrow{A B}=\\overrightarrow{M B} \\cdot \\overrightarrow{B A}, M$ 点的轨迹为曲线 $C$.\n\n(I ) 求 C 的方程;\n\n(II) $\\mathrm{P}$ 为 $C$ 上的动点, 1 为 $C$ 在 $\\mathrm{P}$ 点处的切线, 求 $\\mathrm{O}$ 点到 $I$ 距离的最小值.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$. 所 $\\overrightarrow{M A}=(-x,-1-y), \\overrightarrow{M B}=(0,-3-y), \\overrightarrow{A B}=(x,-2)$.\n\n再由题意可知 $(\\overrightarrow{M A}+\\overrightarrow{M B}) \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=0$, 即 $(-x,-4-2 y) \\cdot(x,-2)=0$.\n\n所以曲线 $C$ 的方程式为 $y=\\frac{1}{4} x^{2}-2$.\n\n(II) 设 $P\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$ 为曲线 $C: y=\\frac{1}{4} x^{2}-2$ 上一点, 因为 $y^{\\prime}=\\frac{1}{2} x$, 所以 的斜率 为 $\\frac{1}{2} x_{0}$,\n\n因此直线 $I$ 的方程为 $y-y_{0}=\\frac{1}{2} x_{0}\\left(x-x_{0}\\right)$, 即 $x_{0} x-2 y+2 y_{0}-x_{0}^{2}=0$.\n\n则 0 点到I的距离 $\\mathrm{d}=\\frac{\\left|2 y_{0}-x_{0}^{2}\\right|}{\\sqrt{4+x_{0}^{2}}}$. 又 $y_{0}=\\frac{1}{4} x_{0}^{2}-2$,\n\n所以 $d=\\frac{\\frac{1}{2} x_{0}{ }^{2}+4}{\\sqrt{4+x_{0}^{2}}}=\\frac{1}{2}\\left(\\sqrt{x_{0}{ }^{2}+4}+\\frac{4}{\\sqrt{4+x_{0}^{2}}}\\right) \\geqslant 2$,\n\n所以 $x_{0}^{2}=0$ 时取等号, 所以 0 点到 $I$ 距离的最小值为 2 .\n",
            "analysis": "( I ) 设 $M(x, y)$, 由已知得 $B(x,-3), A(0,-1)$ 并代入 $\\overrightarrow{M B} / /$ $\\overrightarrow{O A}, \\overrightarrow{M A} \\cdot \\overrightarrow{A B}=\\overrightarrow{M B} \\cdot \\overrightarrow{B A}$, 即可求得 $M$ 点的轨迹 $C$ 的方程;\n\n(II ) 设 $P\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$ 为 $C$ 上的点, 求导, 写出 $C$ 在 $P$ 点处的切线方程, 利用点 到直线的距离公式即可求得 $\\mathrm{O}$ 点到 I 距离, 然后利用基本不等式求出其最小 值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们知道向量$\\overrightarrow{M B}$与向量$\\overrightarrow{O A}$平行，所以可以得到向量$\\overrightarrow{M B}$的斜率与向量$\\overrightarrow{O A}$的斜率相等，即$\\frac{y_B+1}{x_B}=\\frac{-1}{0}$，由此我们可以得到$B$点的坐标为$(0,-3)$。\n然后，我们知道$\\overrightarrow{M A} \\cdot \\overrightarrow{A B}=\\overrightarrow{M B} \\cdot \\overrightarrow{B A}$，即$(x_M \\cdot 0 + (y_M+1) \\cdot 2) = (x_M \\cdot 0 + (y_M+3) \\cdot 2)$，解这个方程我们可以得到$M$点的$y$坐标为$-5$。\n所以，$M$点的轨迹为曲线$C$，其方程为$y=-5$。<eoe>\n【答案】 \nC的方程为$y=-5$。<eoa>\n(2)【解析】 \n由于$C$的方程为$y=-5$，所以$C$在任何点处的切线都是与$x$轴平行的直线，其斜率为$0$。所以，$I$点的坐标为$(x_P,-5)$，其中$x_P$是$P$点的$x$坐标。\n由于$O$点到$I$的距离为$OI=\\sqrt{(x_P-0)^2+(-5-0)^2}=\\sqrt{x_P^2+25}$，为了求$OI$的最小值，我们需要求$x_P^2+25$的最小值。由于$x_P^2$的最小值为$0$，所以$x_P^2+25$的最小值为$25$，即$OI$的最小值为$5$。<eoe>\n【答案】 \n$O$点到$I$距离的最小值为$5$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求解曲线C的方程时，错误地得出了$B$点的坐标为$(0,-3)$，这是不正确的，因为$B$点在直线$y=-3$上，但$x$坐标不一定为0。学生还错误地得出了$M$点的$y$坐标为$-5$，这与标准答案中的$y=\\frac{1}{4} x^{2}-2$不符。因此，学生在这一部分的答案完全错误，不得分。\n\n(2) 学生在求解$O$点到$I$距离的最小值时，错误地认为曲线$C$的方程为$y=-5$，并据此错误地得出了$O$点到$I$的距离的最小值为$5$。这与标准答案中的最小值$2$不符。因此，学生在这一部分的答案也完全错误，不得分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 8,
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "21. （12 分) 已知函数 $f(x)=\\frac{a \\ln x}{x+1}+\\frac{b}{x}$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的 切线方程为 $x+2 y-3=0$.\n\n(I) 求 $a 、 b$ 的值;\n\n（II ）如果当 $x>0$, 且 $x \\neq 1$ 时, $f(x)>\\frac{\\ln x}{x-1}+\\frac{k}{x}$, 求 $k$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解: 由题意 $f(1)=1$, 即切点坐标是 $(1,1)$\n\n( I ) $f^{\\prime}(x)=\\frac{a\\left(\\frac{x+1}{x}-\\ln x\\right)}{(x+1)^{2}}-\\frac{b}{x^{2}}$\n\n由于直线 $x+2 y-3=0$ 的斜率为 $-\\frac{1}{2}$, 且过点 $(1,1)$, 故 $\\left\\{\\begin{array}{l}f(1)=1 \\\\ f^{\\prime}(1)=-\\frac{1}{2}\\end{array}\\right.$\n\n即 $\\left\\{\\begin{array}{l}b=1 \\\\ \\frac{a}{2}-b=-\\frac{1}{2}\\end{array}\\right.$ 解得 $a=1, b=1$.\n\n( II) 由 ( I ) 知 $f(x)=\\frac{\\ln x}{x+1}+\\frac{1}{x}$, 所以\n\n$f(x)-\\left(\\frac{\\ln x}{x-1}+\\frac{k}{x}\\right)=\\frac{1}{1-x^{2}}\\left(2 \\ln x+\\frac{(k-1)\\left(x^{2}-1\\right)}{x}\\right)$.\n\n考虑函数 $h(x)=2 \\ln x+\\frac{(k-1)\\left(x^{2}-1\\right)}{x}(x>0)$, 则\n\n$h^{\\prime}(x)=\\frac{(k-1)\\left(x^{2}+1\\right)+2 x}{x^{2}}$\n\n(i) 设 $k \\leqslant 0$, 由 $h^{\\prime}(x)=\\frac{k\\left(x^{2}+1\\right)-(x-1)^{2}}{x^{2}}$ 知, 当 $x \\neq 1$ 时, $h^{\\prime}(x)<0$. 而 $h （$\n\n1) $=0$, 故\n\n当 $x \\in(0,1)$ 时, $h^{\\prime}(x)<0$, 可得 $\\frac{1}{1-x^{2}} h(x)>0$;\n\n当 $x \\in(1,+\\infty)$ 时, $h^{\\prime}(x)<0$, 可得 $\\frac{1}{1-x^{2}} h(x)>0$\n\n从而当 $x>0$, 且 $x \\neq 1$ 时, $f(x)-\\left(\\frac{\\ln x}{x-1}+\\frac{k}{x}\\right)>0$, 即 $f(x)>\\frac{\\ln x}{x-1}+\\frac{k}{x}$.\n\n(ii) 设 $0<k<1$. 由于当 $x \\in\\left(1, \\frac{1}{1-k}\\right)$ 时, $(k-1)\\left(x^{2}+1\\right)+2 x>0$, 故 $h^{\\prime}(x$ $>>0$, 而\n\n$h(1)=0$, 故当 $x \\in\\left(1, \\frac{1}{1-k}\\right)$ 时, $h(x)>0$, 可得 $\\frac{1}{1-x^{2}} h(x)<0$, 与题设矛 盾. (iii) 设 $k \\geqslant 1$. 此时 $h^{\\prime}(x)>0$, 而 $h(1)=0$, 故当 $x \\in(1,+\\infty)$ 时, $h(x)>0$ , 可得 $\\frac{1}{1-x^{2}} h(x)<0$, 与题设矛盾.\n\n综合得, $\\mathrm{k}$ 的取值范围为 $(-\\infty, 0]$.\n",
            "analysis": "(1）求出函数的导数; 利用切线方程求出切线的斜率及切点; 利用函 数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上, 列出方程组, 求 出 $a, b$ 值.\n\n(II) 将不等式变形, 构造新函数, 求出新函数的导数, 对参数 $\\mathrm{k}$ 分类讨论, 判 断出导函数的符号, 得到函数的单调性, 求出函数的最值, 求出参数 $\\mathrm{k}$ 的范 围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要找到函数 $f(x)=\\frac{a \\ln x}{x+1}+\\frac{b}{x}$ 在点 $(1, f(1))$ 的切线方程。这需要我们找到函数在该点的导数。然后，我们将这个导数和给定的切线方程进行比较，以找到 $a$ 和 $b$ 的值。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们找到函数的导数：\n$f'(x)=\\frac{a}{x(x+1)}-\\frac{a \\ln x}{(x+1)^2}-\\frac{b}{x^2}$\n\n然后，我们将 $x=1$ 代入导数，得到 $f'(1)=a-b$。\n\n由于切线的斜率等于函数在该点的导数，所以我们有 $a-b=1$（因为给定的切线方程的斜率为1）。\n\n接下来，我们将 $x=1$ 代入原函数，得到 $f(1)=a+b$。\n\n由于切线方程在 $x=1$ 时的 $y$ 值为 $\\frac{1}{2}$，所以我们有 $a+b=\\frac{1}{2}$。\n\n解这两个方程，我们得到 $a=\\frac{3}{4}$，$b=-\\frac{1}{4}$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n我们需要找到使得 $f(x)>\\frac{\\ln x}{x-1}+\\frac{k}{x}$ 对所有 $x>0$，$x \\neq 1$ 成立的 $k$ 的取值范围。这需要我们找到 $f(x)-\\frac{\\ln x}{x-1}-\\frac{k}{x}$ 的最小值，然后使得这个最小值大于0。<eoe>\n\n【答案】 \n我们考虑函数 $g(x)=f(x)-\\frac{\\ln x}{x-1}-\\frac{k}{x}=\\frac{3 \\ln x}{4(x+1)}-\\frac{\\ln x}{x-1}-\\frac{k}{x}-\\frac{1}{4x}$。\n\n我们需要找到 $g(x)$ 的最小值。为了做到这一点，我们找到 $g(x)$ 的导数并令其等于0，然后解出 $x$ 的值。\n\n$g'(x)=\\frac{3}{4x(x+1)}-\\frac{3 \\ln x}{4(x+1)^2}+\\frac{\\ln x-1}{(x-1)^2}+\\frac{k}{x^2}+\\frac{1}{4x^2}$。\n\n令 $g'(x)=0$，我们得到 $x=\\frac{3}{4}$ 或 $x=\\frac{5}{4}$。\n\n将这两个值代入 $g(x)$，我们得到 $g(\\frac{3}{4})=\\frac{3 \\ln \\frac{3}{4}}{4(\\frac{3}{4}+1)}-\\frac{\\ln \\frac{3}{4}}{\\frac{3}{4}-1}-\\frac{k}{\\frac{3}{4}}-\\frac{1}{4*\\frac{3}{4}}$ 和 $g(\\frac{5}{4})=\\frac{3 \\ln \\frac{5}{4}}{4(\\frac{5}{4}+1)}-\\frac{\\ln \\frac{5}{4}}{\\frac{5}{4}-1}-\\frac{k}{\\frac{5}{4}}-\\frac{1}{4*\\frac{5}{4}}$。\n\n我们需要使得 $g(x)$ 的最小值大于0，所以我们有 $k<\\min\\{g(\\frac{3}{4}), g(\\frac{5}{4})\\}$。\n\n经过计算，我们得到 $k<-\\frac{1}{3}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(I) 学生在求导数的过程中犯了错误，导数计算不正确，因此无法得到正确的 $a$ 和 $b$ 的值。学生得出的 $a-b=1$ 和 $a+b=\\frac{1}{2}$ 的方程组是错误的，因为他们错误地认为给定的切线方程的斜率为1，实际上斜率为 $-\\frac{1}{2}$。因此，学生在这一部分得0分。\n\n(II) 学生在构造不等式 $f(x)>\\frac{\\ln x}{x-1}+\\frac{k}{x}$ 的过程中，没有正确使用第一部分中求得的 $a$ 和 $b$ 的值，而是错误地使用了自己错误计算的值。此外，学生在求解 $k$ 的取值范围时，方法不正确，没有正确地找到 $g(x)$ 的最小值，也没有正确地解决不等式。因此，学生在这一部分也得0分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 9,
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "score": 10,
            "question": "23. 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\alpha \\\\ y=2+2 \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$ ( $\\alpha$ 为参数) $M$ 是 $\\mathrm{C}_{1}$ 上的动点, $\\mathrm{P}$ 点满足 $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=2 \\overrightarrow{\\mathrm{OM}}, \\mathrm{P}$ 点的轨迹为曲线 $\\mathrm{C}_{2}$\n\n(I) 求 $\\mathrm{C}_{2}$ 的方程;\n\n(II ) 在以 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 $\\theta=\\frac{\\pi}{3}$ 与 $C_{1}$ 的异 于极点的交点为 $A$, 与 $C_{2}$ 的异于极点的交点为 $B$, 求 $|A B|$.\n",
            "standard_answer": "解：（1）设 $P(x, y)$, 则由条件知 $M\\left(\\frac{x}{2}, \\frac{y}{2}\\right)$. 由于 $M$ 点在 $C_{1}$ 上, 所以 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{x}{2}=2 \\cos \\alpha \\\\ \\frac{y}{2}=2+2 \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$ 即 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=4 \\cos \\alpha \\\\ y=4+4 \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$\n\n从而 $C_{2}$ 的参数方程为\n\n$\\left\\{\\begin{array}{l}x=4 \\cos \\alpha \\\\ y=4+4 \\sin \\alpha\\end{array}(\\alpha\\right.$ 为参数)\n\n(II ) 曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $\\rho=4 \\sin \\theta$, 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\\rho=8 \\sin \\theta$.\n\n射线 $\\theta=\\frac{\\pi}{3}$ 与 $C_{1}$ 的交点 $A$ 的极径为 $\\rho_{1}=4 \\sin \\frac{\\pi}{3}$,\n\n射线 $\\theta=\\frac{\\pi}{3}$ 与 $C_{2}$ 的交点 $B$ 的极径为 $\\rho_{2}=8 \\sin \\frac{\\pi}{3}$.\n\n所以 $|A B|=\\left|\\rho_{2}-\\rho_{1}\\right|=2 \\sqrt{3}$.\n",
            "analysis": "（1）先设出点 $P$ 的坐标, 然后根据点 $P$ 满足的条件代入曲线 $C_{1}$ 的方程 即可求出曲线 $C_{2}$ 的方程;\n\n(II) 根据 (I) 将求出曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程, 分别求出射线 $\\theta=\\frac{\\pi}{3}$ 与 $C_{1}$ 的交点 $A$ 的极径为 $\\rho_{1}$, 以及射线 $\\theta=\\frac{\\pi}{3}$ 与 $C_{2}$ 的交点 $B$ 的极径为 $\\rho_{2}$, 最后根据 $|A B|=\\left|\\rho_{2}-\\rho_{1}\\right|$ 求出所求.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要找到P点的坐标。由于题目给出$\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=2 \\overrightarrow{\\mathrm{OM}}$，我们可以知道P点的坐标是M点坐标的两倍。然后，我们将P点的坐标代入曲线C1的参数方程，得到曲线C2的方程。<eoe>\n【答案】由于$\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=2 \\overrightarrow{\\mathrm{OM}}$，所以P点的坐标是(4cosα, 4+4sinα)。因此，曲线C2的参数方程为$\\left\\{\\begin{array}{l}x=4 \\cos \\alpha \\\\ y=4+4 \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$。<eoa>\n\n(2)【解析】在极坐标系中，我们可以将曲线C1和C2的参数方程转化为极坐标形式。然后，我们将θ=π/3代入这两个方程，得到A点和B点的极坐标。最后，我们使用极坐标的距离公式计算|AB|。<eoe>\n【答案】曲线C1和C2的极坐标方程分别为$r=2+2sin\\theta$和$r=4+4sin\\theta$。将θ=π/3代入这两个方程，得到A点和B点的极坐标分别为$r_A=2+2sin\\frac{\\pi}{3}=2+2*\\frac{\\sqrt{3}}{2}=2+\\sqrt{3}$和$r_B=4+4sin\\frac{\\pi}{3}=4+4*\\frac{\\sqrt{3}}{2}=4+2\\sqrt{3}$。因此，|AB|=|r_B-r_A|=|4+2\\sqrt{3}-(2+\\sqrt{3})|=2+\\sqrt{3}。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地描述了如何找到点P的坐标，并且正确地给出了曲线C2的参数方程。答案部分也正确地给出了曲线C2的参数方程。因此，这部分给满分。\n\n(2) 学生在解析部分正确地描述了如何将曲线C1和C2的参数方程转化为极坐标形式，并且正确地提到了使用极坐标的距离公式计算|AB|。但是，在答案部分，学生给出的曲线C1和C2的极坐标方程是错误的，正确的极坐标方程应该是$r=4\\sin\\theta$和$r=8\\sin\\theta$。因此，学生计算出的A点和B点的极坐标是错误的，导致最终的|AB|的值也是错误的。这部分给0分。\n\n【得分】\n(1) 5分\n(2) 0分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 10,
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "score": 10,
            "question": "24. 设函数 $f(x)=|x-a|+3 x$, 其中 $a>0$.\n\n(I) 当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \\geqslant 3 x+2$ 的解集\n\n(II ) 若不等式 $f(x) \\leqslant 0$ 的解集为 $\\{x \\mid x \\leqslant-1\\}$, 求 $a$ 的值.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 当 $a=1$ 时, $f(x) \\geqslant 3 x+2$ 可化为 $|x-1| \\geqslant 2$\n\n由此可得 $x \\geqslant 3$ 或 $x \\leqslant-1$.\n\n故不等式 $f(x) \\geqslant 3 x+2$ 的解集为 $\\{x \\mid x \\geqslant 3$ 或 $x \\leqslant-1\\}$.\n\n( II) 由 $f(x) \\leqslant 0$ 得\n\n$|x-a|+3 x \\leqslant 0$\n\n此不等式化为不等式组\n\n$\\left\\{\\begin{array}{l}x \\geqslant a \\\\ x-a+3 x \\leqslant 0\\end{array}\\right.$ 或 $\\left\\{\\begin{array}{l}x \\leqslant a \\\\ a-x+3 x \\leqslant 0\\end{array}\\right.$\n\n即 $\\left\\{\\begin{array}{l}x \\geqslant a \\\\ x \\leqslant \\frac{a}{4}\\end{array}\\right.$ 或 $\\left\\{\\begin{array}{l}x \\leqslant a \\\\ x \\leqslant-\\frac{a}{2}\\end{array}\\right.$\n\n因为 $a>0$, 所以不等式组的解集为 $\\left\\{x \\mid x \\leqslant-\\frac{a}{2}\\right\\}$\n\n由题设可得 $-\\frac{a}{2}=-1$, 故 $a=2$\n",
            "analysis": "( I ) 当 $a=1$ 时, $f(x) \\geqslant 3 x+2$ 可化为 $|x-1| \\geqslant 2$. 直接求出不等式 $f($ $x) \\geqslant 3 x+2$ 的解集即可. (II) 由 $f(x) \\leqslant 0$ 得 $|x-a|+3 x \\leqslant 0$ 分 $x \\geqslant a$ 和 $x \\leqslant a$ 推出等价不等式组, 分别求 解, 然后求出 $a$ 的值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要找出函数$f(x)=|x-a|+3x$的定义域。因为$x$是实数，所以函数的定义域是所有实数。然后，我们需要找出函数的值域。因为函数的值是$x-a$的绝对值加上$3x$，所以函数的值域是所有非负实数。接下来，我们需要解决不等式$f(x) \\geqslant 3x+2$。为了解决这个问题，我们需要找出使得$f(x)$大于或等于$3x+2$的$x$的值。这意味着我们需要找出满足$|x-a|+3x \\geqslant 3x+2$的$x$的值。因为$a=1$，所以我们需要找出满足$|x-1|+3x \\geqslant 3x+2$的$x$的值。这个不等式可以分为两个部分来解决，即$x-1 \\geqslant 2$和$1-x \\geqslant 2$。<eoe>\n\n【答案】 \n解决$x-1 \\geqslant 2$，我们得到$x \\geqslant 3$。解决$1-x \\geqslant 2$，我们得到$x \\leqslant -1$。所以，不等式$f(x) \\geqslant 3x+2$的解集是$x \\in (-\\infty,-1] \\cup [3,+\\infty)$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n我们需要找出使得$f(x) \\leqslant 0$的$x$的值。这意味着我们需要找出满足$|x-a|+3x \\leqslant 0$的$x$的值。因为解集是$\\{x \\mid x \\leqslant-1\\}$，所以我们需要找出满足$|x-a|+3x \\leqslant 0$且$x \\leqslant -1$的$x$的值。这个不等式可以分为两个部分来解决，即$x-a \\leqslant -3x$和$a-x \\leqslant -3x$。<eoe>\n\n【答案】 \n解决$x-a \\leqslant -3x$，我们得到$a \\geqslant 4x$。解决$a-x \\leqslant -3x$，我们得到$a \\leqslant 2x$。因为$x \\leqslant -1$，所以$a \\geqslant -4$和$a \\leqslant -2$。所以，$a$的值是$-2$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地分析了函数的定义域和值域，但这些信息对解题并不是必要的。在解决不等式$f(x) \\geqslant 3x+2$时，学生正确地将不等式分为两部分$x-1 \\geqslant 2$和$1-x \\geqslant 2$，并得出了正确的解集$x \\in (-\\infty,-1] \\cup [3,+\\infty)$。因此，第一部分的答案是正确的，应给满分。\n\n(2) 学生在解析部分正确地识别了需要解决的不等式$|x-a|+3x \\leqslant 0$，但在解决不等式时犯了错误。学生将不等式分为$x-a \\leqslant -3x$和$a-x \\leqslant -3x$，这是不正确的。正确的分解应该是$x \\geqslant a$时$x-a+3x \\leqslant 0$，$x \\leqslant a$时$a-x+3x \\leqslant 0$。学生的答案得出$a$的值是$-2$，这与标准答案中的$a=2$不符。因此，第二部分的答案是错误的，应给0分。\n\n【得分】\n(1) 第一部分得满分5分。\n(2) 第二部分得0分。\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 11,
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) 已知 $a, b, c$ 分别为 $\\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边, $\\operatorname{acos} C+\\sqrt{3} a \\sin C-b-c=0$\n\n(1) 求 $A$;\n\n(2) 若 $a=2, \\triangle A B C$ 的面积为 $\\sqrt{3}$; 求 $b, c$.\n",
            "standard_answer": "解： (1) 由正弦定理得: $a \\cos C+\\sqrt{3} a \\sin C-b-c=0$,\n\n即 $\\sin A \\cos C+\\sqrt{3} \\sin A \\sin C=\\sin B+\\sin C$\n\n$\\therefore \\sin A \\cos C+\\sqrt{3} \\sin A \\sin C=\\sin (A+C)+\\sin C$,\n\n即 $\\sqrt{3} \\sin A-\\cos A=1$\n\n$\\therefore \\sin \\left(A-30^{\\circ}\\right)=\\frac{1}{2}$.\n\n$\\therefore A-30^{\\circ}=30^{\\circ}$\n\n$\\therefore A=60^{\\circ}$;\n\n(2) 若 $\\mathrm{a}=2, \\triangle \\mathrm{ABC}$ 的面积 $=\\frac{1}{2} \\mathrm{bcsin} \\mathrm{A}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} \\mathrm{bc}=\\sqrt{3}$,\n\n$\\therefore b c=4$. 1\n\n再利用余弦定理可得: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\bullet \\cos A$ $=(b+c)^{2}-2 b c-b c=(b+c)^{2}-3 \\times 4=4$,\n\n$\\therefore b+c=4$. (2)\n\n结合(1)(2)求得 $b=c=2$.\n",
            "analysis": "（1）已知等式利用正弦定理化简, 整理后得到 $\\sin \\left(A-30^{\\circ}\\right)=\\frac{1}{2}$. 即 可求出 $\\mathrm{A}$ 的值;\n\n(2) 若 $a=2$, 由 $\\triangle A B C$ 的面积为 $\\sqrt{3}$, 求得 $b c=4$. (1), 再利用余弦定理可得 $b+c=4$ - (2), 结合(1)(2)求得 $\\mathrm{b}$ 和 $c$ 的值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n根据题目，我们可以得到一个等式：$\\operatorname{acos} C+\\sqrt{3} a \\sin C-b-c=0$。\n我们知道，根据正弦定理，$a=\\frac{\\sin A}{\\sin C}$，$b=\\frac{\\sin B}{\\sin C}$，$c=\\frac{\\sin C}{\\sin C}=1$。\n将这三个等式代入原等式，我们可以得到：$\\operatorname{acos}\\left(\\frac{\\sin A}{\\sin C}\\right)+\\sqrt{3}\\frac{\\sin A}{\\sin C}\\sin C-\\frac{\\sin B}{\\sin C}-1=0$。\n这个等式可以化简为：$\\operatorname{acos}\\sin A+\\sqrt{3}\\sin A-\\sin B-1=0$。\n由于$\\operatorname{acos}\\sin A=A$，所以我们可以得到：$A+\\sqrt{3}\\sin A-\\sin B-1=0$。\n根据三角形内角和为180度的性质，我们知道$A+B+C=180$，所以$B=180-A-C$。\n将$B$代入等式，我们可以得到：$A+\\sqrt{3}\\sin A-\\sin(180-A-C)-1=0$。\n这个等式可以化简为：$A+\\sqrt{3}\\sin A-\\sin A+\\sin C-1=0$。\n再次利用正弦定理，我们知道$\\sin C=\\frac{a}{\\sin A}$，所以我们可以得到：$A+\\sqrt{3}\\sin A-\\sin A+\\frac{a}{\\sin A}-1=0$。\n这个等式可以化简为：$A(1+\\sqrt{3}-\\frac{1}{\\sin A})+a-1=0$。\n所以，我们可以得到$A$的值。<eoe>\n【答案】 \n$A=\\frac{1-a}{1+\\sqrt{3}-\\frac{1}{\\sin A}}$<eoa>\n\n(2)【解析】 \n根据题目，我们知道$a=2$，$\\triangle ABC$的面积为$\\sqrt{3}$。\n我们知道，三角形的面积可以用海伦公式来计算，即$S=\\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p$是半周长，即$p=\\frac{a+b+c}{2}$。\n将$a=2$代入海伦公式，我们可以得到：$S=\\sqrt{p(p-2)(p-b)(p-c)}$。\n根据题目，我们知道$S=\\sqrt{3}$，所以我们可以得到：$\\sqrt{3}=\\sqrt{p(p-2)(p-b)(p-c)}$。\n这个等式可以化简为：$3=p(p-2)(p-b)(p-c)$。\n因为$p=\\frac{a+b+c}{2}$，所以我们可以得到：$3=\\frac{a+b+c}{2}\\left(\\frac{a+b+c}{2}-2\\right)\\left(\\frac{a+b+c}{2}-b\\right)\\left(\\frac{a+b+c}{2}-c\\right)$。\n将$a=2$代入等式，我们可以得到：$3=\\frac{2+b+c}{2}\\left(\\frac{2+b+c}{2}-2\\right)\\left(\\frac{2+b+c}{2}-b\\right)\\left(\\frac{2+b+c}{2}-c\\right)$。\n这个等式可以化简为：$3=\\frac{b+c}{2}\\left(\\frac{b+c}{2}-2\\right)\\left(\\frac{b+c}{2}-b\\right)\\left(\\frac{b+c}{2}-c\\right)$。\n这是一个关于$b$和$c$的二元一次方程，我们可以通过求解这个方程得到$b$和$c$的值。<eoe>\n【答案】 \n$b$和$c$的值需要通过求解方程$3=\\frac{b+c}{2}\\left(\\frac{b+c}{2}-2\\right)\\left(\\frac{b+c}{2}-b\\right)\\left(\\frac{b+c}{2}-c\\right)$得到。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的解析过程中，尝试通过正弦定理来解题，但是在代入和化简的过程中出现了错误。学生错误地将$\\cos C$和$\\sin C$的关系代入，导致得到了错误的表达式。学生的最终答案是一个关于$A$的表达式，但这个表达式并不正确，且没有得到具体的$A$的值。因此，这部分给0分。\n\n(2) 学生在解析过程中提到了海伦公式，但是海伦公式在这里并不适用，因为题目中已经给出了三角形的面积和一边的长度，应该直接使用面积公式$S=\\frac{1}{2}ab\\sin C$。学生没有正确使用题目中的条件，也没有得到正确的$b$和$c$的值。因此，这部分也给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 12,
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "18. （12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以 每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完, 剩下的玫瑰花作垃圾处理.\n\n（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 y（单位: 元）关于当天需求 量 $n$ (单位: 枝, $n \\in N$ ) 的函数解析式.\n\n（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位: 枝），整理得如表:\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 日需求量 $\\mathrm{n}$ & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\\\\n\\hline 频数 & 10 & 20 & 16 & 16 & 15 & 13 & 10 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.\n\n（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花, $\\mathrm{X}$ 表示当天的利润（单位: 元）, 求 $\\mathrm{X}$ 的分 布列、数学期望及方差;\n\n（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝 ? 请说明理由.\n",
            "standard_answer": "解: （1）当 $\\mathrm{n} \\geqslant 16$ 时, $\\mathrm{y}=16 \\times(10-5)=80$; 当 $n \\leqslant 15$ 时, $y=5 n-5(16-n)=10 n-80$, 得: $y=\\left\\{\\begin{array}{l}10 n-80(n \\leqslant 15) \\\\ 80 \\quad(n \\geqslant 16)\\end{array}(n \\in N)\\right.$\n\n（2）(i） $x$ 可取 $60,70,80$, 当日需求量 $n=14$ 时, $x=60, n=15$ 时, $x=70$, 其 他情况 $X=80$ ，\n\n$P(X=60)=\\frac{\\text { 频数 }}{\\text { 总数 }}=\\frac{10}{10+20+16+16+15+13+10}=\\frac{10}{100}=0.1, P(X=70)=\\frac{20}{100} 0.2, P(X=80$ )$=1-0.1-0.2=0.7$\n\n$X$ 的分布列为\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline$X$ & 60 & 70 & 80 \\\\\n\\hline$P$ & 0.1 & 0.2 & 0.7 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n$E X=60 \\times 0.1+70 \\times 0.2+80 \\times 0.7=76$\n\n$D X=16^{2} \\times 0.1+6^{2} \\times 0.2+4^{2} \\times 0.7=44$\n\n(ii）购进 17 枝时, 当天的利润的期望为 $y=(14 \\times 5-3 \\times 5) \\times 0.1+(15 \\times 5-2 \\times$\n\n5) $\\times 0.2+(16 \\times 5-1 \\times 5) \\times 0.16+17 \\times 5 \\times 0.54=76.4$\n\n$\\because 76.4>76, \\therefore$ 应购进 17 枝\n",
            "analysis": "（1）根据卖出一枝可得利润 5 元, 卖不出一枝可得赔本 5 元, 即可建 立分段函数;\n\n(2) (i) $X$ 可取 $60,70,80$, 计算相应的概率, 即可得到 $X$ 的分布列, 数学期 望及方差;\n\n（ii）求出进 17 枝时当天的利润，与购进 16 枝玫瑰花时当天的利润比较，即可 得到结论.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n当天的利润 y（单位: 元）关于当天需求量 n 的函数解析式可以这样理解，当需求量小于等于16时，利润为需求量乘以每枝花的利润，即5元；当需求量大于16时，利润为16枝花的利润，即80元。因此，我们可以得到函数解析式为：\ny = 5n (n ≤ 16)\ny = 80 (n > 16)\n<eoe>\n【答案】\n当需求量小于等于16时，利润为需求量乘以每枝花的利润，即5元；当需求量大于16时，利润为16枝花的利润，即80元。因此，我们可以得到函数解析式为：\ny = 5n (n ≤ 16)\ny = 80 (n > 16)\n<eoa>\n\n(2)【解析】 \n(i) 当花店一天购进16枝玫瑰花时，利润X的分布列可以通过需求量的概率分布来求得。首先，我们需要计算每个需求量的频率，即其在100天中出现的次数除以100。然后，根据每个需求量，我们可以计算出对应的利润，并将这个利润与其概率相乘，得到期望利润。最后，我们可以计算出利润的方差，即每个利润与期望利润的差的平方乘以其概率的和。\n\n(ii) 如果花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，我们需要比较购进16枝和17枝时的期望利润。如果购进17枝的期望利润更高，那么应该选择购进17枝；如果购进16枝的期望利润更高，那么应该选择购进16枝。这是因为期望利润是我们预期能够获得的平均利润，选择期望利润更高的选项可以使我们的收益最大化。\n<eoe>\n【答案】 \n(i) \n首先，我们需要计算每个需求量的频率，即其在100天中出现的次数除以100。得到的频率分布如下：\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 日需求量 n & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\\\\n\\hline 频率 & 0.1 & 0.2 & 0.16 & 0.16 & 0.15 & 0.13 & 0.1 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n然后，根据每个需求量，我们可以计算出对应的利润，并将这个利润与其概率相乘，得到期望利润。得到的利润分布如下：\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 利润 X & 70 & 75 & 80 & 80 & 80 & 80 & 80 \\\\\n\\hline 频率 & 0.1 & 0.2 & 0.16 & 0.16 & 0.15 & 0.13 & 0.1 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n期望利润 E(X) = 70*0.1 + 75*0.2 + 80*0.6 = 78\n\n最后，我们可以计算出利润的方差，即每个利润与期望利润的差的平方乘以其概率的和。\n\n方差 Var(X) = (70-78)^2*0.1 + (75-78)^2*0.2 + (80-78)^2*0.6 = 9.6\n\n(ii) \n如果花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，我们需要比较购进16枝和17枝时的期望利润。如果购进17枝的期望利润更高，那么应该选择购进17枝；如果购进16枝的期望利润更高，那么应该选择购进16枝。这是因为期望利润是我们预期能够获得的平均利润，选择期望利润更高的选项可以使我们的收益最大化。因此，我们需要计算购进17枝时的期望利润，然后与购进16枝时的期望利润进行比较。\n\n如果购进17枝，那么当需求量小于等于17时，利润为需求量乘以每枝花的利润，即5元；当需求量大于17时，利润为17枝花的利润，即85元。因此，我们可以得到购进17枝时的利润分布如下：\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 利润 X & 70 & 75 & 80 & 85 & 85 & 85 & 85 & 85 \\\\\n\\hline 频率 & 0.1 & 0.2 & 0.16 & 0.04 & 0.16 & 0.15 & 0.13 & 0.1 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n期望利润 E(X) = 70*0.1 + 75*0.2 + 80*0.16 + 85*0.54 = 82.6\n\n因此，购进17枝的期望利润更高，所以应该选择购进17枝。\n<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n（1）学生给出的函数解析式不完全正确。学生没有考虑到当需求量小于16时，利润应该是 $10n - 80$ 而不是 $5n$。因此，这部分应该扣分。\n\n（2）(i) 学生没有正确计算出利润X的分布列，期望和方差。学生的计算过程和结果与标准答案不符，因此这部分应该扣分。\n\n(ii) 学生没有正确比较购进16枝和17枝时的期望利润。学生的分析过程和结论与标准答案不符，因此这部分应该扣分。\n\n【得分】\n（1）学生的答案部分正确，但没有完全按照题目要求给出正确的函数解析式，可以给予部分分数。由于学生没有给出正确的分段函数，可以给2分。\n\n（2）(i) 字生没有给出正确的分布列、数学期望和方差，因此这部分不能给分。0分。\n\n(ii) 学生的分析和结论错误，不能给分。0分。\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 13,
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "20. (12 分) 设抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$, 准线为 $\\mid, A \\in C$, 已知以 $F$ 为圆心, $F A$ 为半径的圆 $F$ 交 I 于 $B, D$ 两点;\n\n(1) 若 $\\angle B F D=90^{\\circ}, \\triangle A B D$ 的面积为 $4 \\sqrt{2}$, 求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程;\n\n(2) 若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $\\mathrm{m}$ 上, 直线 $\\mathrm{n}$ 与 $\\mathrm{m}$ 平行, 且 $\\mathrm{n}$ 与 $\\mathrm{C}$ 只有一个 公共点, 求坐标原点到 $m, n$ 距离的比值.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 由对称性知: $\\triangle B F D$ 是等腰直角 $\\triangle$, 斜边 $|B D|=2 p$\n\n点 $A$ 到准线 $\\mid$ 的距离 $d=|F A|=|F B|=\\sqrt{2} p$,\n\n$\\because \\triangle A B D$ 的面积 $S_{\\triangle A B D}=4 \\sqrt{2}$,\n\n$\\therefore \\frac{1}{2} \\times \\mathrm{BD} \\times \\mathrm{d}=\\frac{1}{2} \\times 2 \\mathrm{p} \\times \\sqrt{2} \\mathrm{p}=4 \\sqrt{2}$,\n\n解得 $p=2$, 所以 $F$ 坐标为 $(0,1)$,\n\n$\\therefore$ 圆 $F$ 的方程为 $x^{2}+(y-1)^{2}=8$.\n\n(2) 由题设 $\\mathrm{A}\\left(\\mathrm{x}_{0}, \\frac{\\mathrm{x}_{0}^{2}}{2 \\mathrm{p}}\\right)\\left(\\mathrm{x}_{0}>0\\right)$, 则 $\\mathrm{F}\\left(0, \\frac{p}{2}\\right)$,\n\n$\\because A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上,\n\n又 $A B$ 为圆 $F$ 的直径, 故 $A, B$ 关于点 $F$ 对称.\n\n由点 $A, B$ 关于点 $F$ 对称得: $B\\left(-x_{0}, p-\\frac{x_{0}^{2}}{2 p}\\right) \\Rightarrow p-\\frac{x_{0}^{2}}{2 p}=-\\frac{p}{2} \\Leftrightarrow x_{0}^{2}=3 p^{2}$\n\n得 : $A\\left(\\sqrt{3} p, \\frac{3 p}{2}\\right)$, 直 线 $m: y=\\frac{\\frac{3 p}{2}-\\frac{p}{2}}{\\sqrt{3} p} x+\\frac{p}{2} \\Leftrightarrow x-\\sqrt{3} y+\\frac{\\sqrt{3} p}{2}=0$,\n\n$$\nx^{2}=2 p y \\Leftrightarrow y=\\frac{x^{2}}{2 p} \\Rightarrow y^{\\prime}=\\frac{x}{p}=\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\Rightarrow x=\\frac{\\sqrt{3}}{3} p \\Rightarrow \\text { 切点 } P\\left(\\frac{\\sqrt{3} p}{3}, \\frac{p}{6}\\right)\n$$\n\n直线 $n: y-\\frac{p}{6}=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\left(x-\\frac{\\sqrt{3} p}{3}\\right) \\Leftrightarrow x-\\sqrt{3} y \\frac{\\sqrt{3}}{6} p=0$\n\n坐标原点到 $m, n$ 距离的比值为 $\\frac{\\sqrt{3} p}{2}: \\frac{\\sqrt{3} p}{6}=3$.\n",
            "analysis": "（1）由对称性知: $\\triangle B F D$ 是等腰直角 $\\triangle$, 斜边 $|B D|=2 p$ 点 $A$ 到准线 $I$ 的距离 $\\mathrm{d}=|F \\mathrm{FA}|=|\\mathrm{FB}|=\\sqrt{2} \\mathrm{p}$, 由 $\\triangle \\mathrm{ABD}$ 的面积 $\\mathrm{S} \\triangle \\mathrm{ABD}=4 \\sqrt{2}$, 知 $\\frac{1}{2} \\times \\mathrm{BD} \\times \\mathrm{d}=$ $\\frac{1}{2} \\times 2 p \\times \\sqrt{2} p=4 \\sqrt{2}$, 由此能求出圆 $F$ 的方程.\n\n（2）由对称性设 $\\mathrm{A}\\left(\\mathrm{x}_{0}, \\frac{\\mathrm{x}_{0}^{2}}{2 \\mathrm{p}}\\right)\\left(\\mathrm{x}_{0}>0\\right)$, 则 $\\mathrm{F}\\left(0, \\frac{\\mathrm{p}}{2}\\right)$ 点 $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}$ 关于点 $\\mathrm{F}$ 对称得: $B\\left(-x_{0}, p-\\frac{x_{0}^{2}}{2 p}\\right) \\Rightarrow p-\\frac{x_{0}^{2}}{2 p}=-\\frac{p}{2} \\Leftrightarrow x_{0}^{2}=3 p^{2}$, 得 $A\\left(\\sqrt{3} p, \\frac{3 p}{2}\\right)$, 由此能求出坐标 原点到 $m, n$ 距离的比值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们知道抛物线的焦点是F(0,p)，准线是y=-p。对于抛物线上的任意一点A(x,y)，我们可以知道FA的长度是$\\sqrt{x^2+(y-p)^2}$。由于FA是以F为圆心的圆的半径，所以我们可以得到圆的方程是$(x-0)^2+(y-p)^2=x^2+(y-p)^2$。\n然后，我们知道在$\\triangle ABD$中，$\\angle BFD=90^{\\circ}$，所以根据勾股定理，我们可以得到$AB^2+AD^2=2AF^2$。因为AB=AD，所以我们可以得到$AB=\\sqrt{2}AF$。\n最后，我们知道$\\triangle ABD$的面积是$\\frac{1}{2}*AB*AD=\\frac{1}{2}*AB^2=4\\sqrt{2}$，所以我们可以得到$AB=\\sqrt{8}$，然后根据$AB=\\sqrt{2}AF$，我们可以得到$AF=\\sqrt{2}$，然后根据圆的方程，我们可以得到$p=\\sqrt{2}$。<eoe>\n【答案】 \n所以，$p=\\sqrt{2}$，圆的方程是$(x-0)^2+(y-\\sqrt{2})^2=2$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n首先，我们知道A,B,F三点在同一直线m上，所以我们可以得到直线m的方程是$y=\\frac{p}{x}*x+p$。然后，我们知道直线n与直线m平行，所以我们可以得到直线n的方程是$y=\\frac{p}{x}*x+b$，其中b是直线n的截距。\n然后，我们知道直线n与抛物线C只有一个公共点，所以我们可以得到直线n与抛物线C的交点的坐标是$(\\frac{b}{p},\\frac{b^2}{2p})$。由于这个交点也在抛物线C上，所以我们可以得到$\\frac{b^2}{2p}=2p$，解这个方程，我们可以得到$b=\\sqrt{8p^3}$。\n最后，我们知道坐标原点到直线m的距离是$\\frac{|p|}{\\sqrt{1+(\\frac{p}{x})^2}}$，坐标原点到直线n的距离是$\\frac{|b|}{\\sqrt{1+(\\frac{p}{x})^2}}$，所以坐标原点到m,n距离的比值是$\\frac{|p|}{|b|}$。<eoe>\n【答案】 \n所以，坐标原点到m,n距离的比值是$\\frac{1}{\\sqrt{8}}=\\frac{\\sqrt{2}}{4}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解题过程中正确地识别了抛物线的焦点位置和准线方程，但是在计算过程中出现了错误。学生错误地得出了焦点为F(0,p)而实际上应该是F(0,p/2)。学生在计算圆的方程时没有正确地使用抛物线的定义，即点到焦点的距离等于点到准线的距离。学生在计算$\\triangle ABD$的面积时也出现了错误，没有正确地使用等腰直角三角形的性质。因此，学生的答案$p=\\sqrt{2}$和圆的方程$(x-0)^2+(y-\\sqrt{2})^2=2$都是错误的。由于学生的分析过程中有正确的部分，可以给予部分分数。\n\n(2) 学生在解题过程中没有正确地使用抛物线的性质和直线的方程。学生错误地得出了直线m的方程，而实际上应该是通过点A和点F的直线方程。学生在计算直线n与抛物线C的交点时也出现了错误，没有正确地解出b的值。因此，学生的答案坐标原点到m,n距离的比值是$\\frac{1}{\\sqrt{8}}=\\frac{\\sqrt{2}}{4}$是错误的。由于学生的分析过程中有正确的部分，可以给予部分分数。\n\n【得分】\n(1) 对于第一问，学生的分析过程中有正确的部分，但是关键的计算错误导致最终答案错误，可以给予2分鼓励分。\n(2) 对于第二问，学生的分析过程中有正确的部分，但是关键的计算错误导致最终答案错误，可以给予2分鼓励分。\n\n【总分】4分",
            "model_correction_score": [
                4.0
            ]
        },
        {
            "index": 14,
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "score": 12,
            "question": "21. （12 分）已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f^{\\prime} （ 1 ） e^{x-1}-f(0) x+\\frac{1}{2} x^{2}$;\n\n（1）求 $f(x)$ 的解析式及单调区间;\n\n(2) 若 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x}) \\geqslant \\frac{1}{2} \\mathrm{x}^{2}+a x+b$, 求 $(a+1) b$ 的最大值.\n",
            "standard_answer": "解: (1) $f(x)=f^{\\prime}(1) e^{x-1}-f(0) x+\\frac{1}{2} x^{2} \\Rightarrow f^{\\prime}(x)=f^{\\prime}(1) e^{x-1}-f($ 0) $+x$\n\n令 $x=1$ 得: $f(0)=1$\n\n$\\therefore f(x)=f^{\\prime}(1) e^{x-1}-x^{2}+\\frac{1}{2} x^{2}$ 令 $x=0$, 得 $\\left.f(0)=f^{\\prime} （ 1\\right) e^{-1}=1$ 解得 $f^{\\prime}(1)=e$ 故函数的解析式为 $f(x)=e^{x}-x+\\frac{1}{2} x^{2}$\n\n令 $g(x)=f^{\\prime}(x)=e^{x}-1+x$\n\n$\\therefore g^{\\prime}(x)=e^{x}+1>0$, 由此知 $y=g(x)$ 在 $x \\in R$ 上单调递增\n\n当 $x>0$ 时, $f^{\\prime}(x)>f^{\\prime}(0)=0$; 当 $x<0$ 时, 有\n\n$f^{\\prime}(x)<f^{\\prime}(0)=0$ 得:\n\n函数 $f(x)=e^{x}-x+\\frac{1}{2} x^{2}$ 的单调递增区间为 $(0,+\\infty)$, 单调递减区间为 $(-\\infty$,\n\n0)\n\n(2) $f(x) \\geqslant \\frac{1}{2} x^{2}+a x+b \\Leftrightarrow h(x)=e^{x_{-}} \\quad(a+1) x-b \\geqslant 0$ 得 $h^{\\prime}(x)=e^{x_{-}} \\quad(a+1)$\n\n(1)当 $a+1 \\leqslant 0$ 时, $h^{\\prime}(x)>0 \\Rightarrow y=h(x)$ 在 $x \\in R$ 上单调递增, $x \\rightarrow-\\infty$ 时, $h(x) \\rightarrow-$ $\\infty$ 与 $\\mathrm{h}(\\mathrm{x}) \\geqslant 0$ 矛盾\n\n(2)当 $a+1>0$ 时, $h^{\\prime}(x)>0 \\Leftrightarrow x>\\ln \\left(a+1 ， h^{\\prime}(x)<0 \\Leftrightarrow x<\\ln (a+1)\\right.$\n\n得: 当 $x=\\ln (a+1)$ 时, $h(x){ }_{\\min }=(a+1)-(a+1) \\ln (a+1)-b \\geqslant 0$, 即 $(a+1$\n\n)$-(a+1) \\ln (a+1) \\geqslant b$\n\n$\\therefore(a+1) b \\leqslant(a+1)^{2-}(a+1)^{2} \\ln (a+1), \\quad(a+1>0)$\n\n令 $F(x)=x^{2}-x^{2} \\ln x(x>0)$, 则 $F^{\\prime}(x)=x(1-2 \\ln x)$\n\n$\\therefore F^{\\prime}(x)>0 \\Leftrightarrow 0<x<\\sqrt{e}, F^{\\prime}(x)<0 \\Leftrightarrow x>\\sqrt{e}$\n\n当 $x=\\sqrt{\\mathrm{e}}$ 时, $F(x)_{\\text {max }}=\\frac{\\mathrm{e}}{2}$\n\n即当 $a=\\sqrt{e}-1, b=\\frac{\\sqrt{e}}{2}$ 时, $(a+1) b$ 的最大值为 $\\frac{e}{2}$\n",
            "analysis": "(1) 对函数 $f(x)$ 求导, 再令自变量为 1 , 求出 $f^{\\prime}$ (1) 得到函数的解 析式及导数, 再由导数求函数的单调区间;\n\n(2) 由题意 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x}) \\geqslant \\frac{1}{2} \\mathrm{x}^{2}+\\mathrm{ax}+\\mathrm{b} \\Leftrightarrow \\mathrm{h}(\\mathrm{x})=\\mathrm{e}^{\\mathrm{x}}-(\\mathrm{a}+1) \\mathrm{x}-\\mathrm{b} \\geqslant 0$, 借助导数求出新函数的 最小值, 令其大于 0 即可得到参数 $a, b$ 所满足的关系式, 再研究 $(a+1) b$ 的最大值\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要找到函数f(x)的解析式。由题目给出的条件 $f(x)=f^{\\prime} （ 1 ） e^{x-1}-f(0) x+\\frac{1}{2} x^{2}$，我们可以看出这是一个微分方程。我们可以通过对这个方程进行求解，找到函数f(x)的解析式。对于函数的单调区间，我们可以通过求解函数的导数，找到函数的极值点，进而确定函数的单调区间。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们解微分方程 $f(x)=f^{\\prime} （ 1 ） e^{x-1}-f(0) x+\\frac{1}{2} x^{2}$。\n设 $f(x)=e^{x-1}y(x)$，则 $f^{\\prime}(x)=e^{x-1}(y(x)+y^{\\prime}(x))$。\n将 $f(x)$ 和 $f^{\\prime}(x)$ 的表达式代入原微分方程，得到 $e^{x-1}y(x)=e^{x-1}(y(x)+y^{\\prime}(x))-f(0) x+\\frac{1}{2} x^{2}$，化简得到 $y^{\\prime}(x)=f(0) x-\\frac{1}{2} x^{2}$。\n这是一个一阶线性微分方程，解得 $y(x)=f(0)x-\\frac{1}{6}x^{3}+C$，所以 $f(x)=e^{x-1}(f(0)x-\\frac{1}{6}x^{3}+C)$。\n由于 $f(0)=f^{\\prime}(1)-f(0)+\\frac{1}{2}$，解得 $f(0)=\\frac{1}{4}$，代入得 $f(x)=e^{x-1}(\\frac{1}{4}x-\\frac{1}{6}x^{3}+C)$。\n又因为 $f(0)=\\frac{1}{4}$，解得 $C=\\frac{1}{4}$，所以 $f(x)=e^{x-1}(\\frac{1}{4}x-\\frac{1}{6}x^{3}+\\frac{1}{4})$。\n求导得 $f^{\\prime}(x)=e^{x-1}(\\frac{1}{4}-\\frac{1}{2}x^{2})$，令 $f^{\\prime}(x)=0$，解得 $x=\\pm\\frac{1}{\\sqrt{2}}$。\n所以，当 $x\\in(-\\infty,-\\frac{1}{\\sqrt{2}}]$ 时，$f^{\\prime}(x)>0$，$f(x)$ 单调增加；当 $x\\in(-\\frac{1}{\\sqrt{2}},\\frac{1}{\\sqrt{2}})$ 时，$f^{\\prime}(x)<0$，$f(x)$ 单调减少；当 $x\\in[\\frac{1}{\\sqrt{2}},+\\infty)$ 时，$f^{\\prime}(x)>0$，$f(x)$ 单调增加。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于这个问题，我们需要找到满足条件 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x}) \\geqslant \\frac{1}{2} \\mathrm{x}^{2}+a x+b$ 的 $(a+1) b$ 的最大值。我们可以通过对比函数f(x)和 $\\frac{1}{2} \\mathrm{x}^{2}+a x+b$ 的图像，找到满足条件的a和b的取值范围，进而找到 $(a+1) b$ 的最大值。<eoe>\n\n【答案】 \n由于 $f(x)=e^{x-1}(\\frac{1}{4}x-\\frac{1}{6}x^{3}+\\frac{1}{4})$，我们可以看出 $f(x)$ 在 $x=\\pm\\frac{1}{\\sqrt{2}}$ 取得极值，且 $f(\\pm\\frac{1}{\\sqrt{2}})=\\frac{1}{2}(\\pm\\frac{1}{\\sqrt{2}})^2+a(\\pm\\frac{1}{\\sqrt{2}})+b$。\n所以，我们有\n$f(\\frac{1}{\\sqrt{2}})=\\frac{1}{2}(\\frac{1}{\\sqrt{2}})^2+a(\\frac{1}{\\sqrt{2}})+b$，\n$f(-\\frac{1}{\\sqrt{2}})=\\frac{1}{2}(-\\frac{1}{\\sqrt{2}})^2+a(-\\frac{1}{\\sqrt{2}})+b$。\n解这个方程组，得到 $a=-\\frac{1}{2}$，$b=\\frac{1}{4}$。\n所以，$(a+1) b=(-\\frac{1}{2}+1)\\cdot\\frac{1}{4}=\\frac{1}{8}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分的解答中，错误地将给定的函数表达式视为微分方程，并尝试通过设 $f(x)=e^{x-1}y(x)$ 来求解，这是不正确的。学生没有正确使用题目中给出的条件 $f(x)=f'(1)e^{x-1}-f(0)x+\\frac{1}{2}x^2$ 来求解 $f(x)$ 的解析式。学生的解析式 $f(x)=e^{x-1}(\\frac{1}{4}x-\\frac{1}{6}x^3+\\frac{1}{4})$ 与标准答案 $f(x)=e^x-x+\\frac{1}{2}x^2$ 不符。因此，学生在求解析式部分得0分。\n\n学生在求单调区间的过程中，由于解析式错误，导致求得的导数表达式错误，进而求得的单调区间也是错误的。因此，学生在求单调区间部分也得0分。\n\n(2) 学生在解析部分没有正确理解题目的要求，没有使用标准答案中的方法来求解不等式 $f(x) \\geqslant \\frac{1}{2}x^2+ax+b$，并且没有正确求解 $(a+1)b$ 的最大值。学生的答案中，对于 $a$ 和 $b$ 的求解过程是基于错误的 $f(x)$ 解析式，因此得出的 $a=-\\frac{1}{2}$，$b=\\frac{1}{4}$ 与标准答案中的 $a=\\sqrt{e}-1$，$b=\\frac{\\sqrt{e}}{2}$ 不符。学生在求 $(a+1)b$ 的最大值部分也得0分。\n\n【得分】\n(1) 解析式得分：0分\n单调区间得分：0分\n(2) $(a+1)b$ 的最大值得分：0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 15,
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "score": 10,
            "question": "23. 选修 4- 4; 坐标系与参数方程\n\n已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\phi \\\\ y=3 \\sin \\phi\\end{array}\\right.$ ( $\\phi$ 为参数), 以坐标原点为极点, $x$ 轴的 正半轴为极轴建立坐标系, 曲线 $C_{2}$ 的坐标系方程是 $\\rho=2$, 正方形 $A B C D$ 的顶 点都在 $C_{2}$ 上, 且 $A, B, C, D$ 依逆时针次序排列, 点 $A$ 的极坐标为 $\\left(2, \\frac{\\pi}{3}\\right)$\n\n(1) 求点 $A, B, C, D$ 的直角坐标;\n\n（2）设 $P$ 为 $C_{1}$ 上任意一点, 求 $|P A|^{2+}|P B|^{2+}|P C|^{2}+|P D|^{2}$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解: $(1)$ 点 $A, B, C, D$ 的极坐标为 $\\left(2, \\frac{\\pi}{3}\\right),\\left(2, \\frac{5 \\pi}{6}\\right),\\left(2, \\frac{4 \\pi}{3}\\right),\\left(2, \\frac{11 \\pi}{6}\\right)$\n\n点 $A, B, C, D$ 的直角坐标为 $(1, \\sqrt{3}),(-\\sqrt{3}, 1),(-1,-\\sqrt{3}),(\\sqrt{3},-1)$\n\n(2) 设 $P\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$, 则 $\\left\\{\\begin{array}{l}x_{0}=2 \\cos \\phi \\\\ y_{0}=3 \\sin \\phi\\end{array}\\right.$ ( $\\phi$ 为参数)\n\n$t=|\\mathrm{PA}|^{2}+|\\mathrm{PB}|^{2}+|\\mathrm{PC}|^{2}+|\\mathrm{PD}|^{2}=4 \\mathrm{x}^{2}+4 \\mathrm{y}^{2}+16=32+20 \\sin ^{2} \\phi$\n\n$\\because \\sin ^{2} \\phi \\in[0,1]$\n\n$\\therefore \\mathrm{t} \\in[32,52]$\n",
            "analysis": "(1) 确定点 A, B, C, D 的极坐标, 即可得点 A, B, C, D 的直角坐标\n\n(2) 利用参数方程设出 $\\mathrm{P}$ 的坐标, 借助于三角函数, 即可求得 $|\\mathrm{PA}|^{2+}|\\mathrm{PB}|^{2+}|\\mathrm{PC}|^{2+}|\\mathrm{PD}|^{2}$ 的取值范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n在极坐标系中，正方形的四个顶点在极轴上的角度应该是等差的，且差值为$\\frac{\\pi}{2}$。所以，点A的极坐标为$(2,\\frac{\\pi}{3})$，则点B、C、D的极坐标分别为$(2,\\frac{5\\pi}{6})$、$(2,\\frac{3\\pi}{2})$、$(2,\\frac{7\\pi}{6})$。\n然后，我们可以将这些极坐标转换为直角坐标。在极坐标系中，$x=\\rho\\cos\\theta$，$y=\\rho\\sin\\theta$。代入各点的极坐标，就可以求出各点的直角坐标。<eoe>\n\n【答案】 \n点A的直角坐标为$(2\\cos\\frac{\\pi}{3},2\\sin\\frac{\\pi}{3})=(1,\\sqrt{3})$，\n点B的直角坐标为$(2\\cos\\frac{5\\pi}{6},2\\sin\\frac{5\\pi}{6})=(-\\sqrt{3},1)$，\n点C的直角坐标为$(2\\cos\\frac{3\\pi}{2},2\\sin\\frac{3\\pi}{2})=(0,-2)$，\n点D的直角坐标为$(2\\cos\\frac{7\\pi}{6},2\\sin\\frac{7\\pi}{6})=(\\sqrt{3},-1)$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n设$P$的坐标为$(2\\cos\\phi,3\\sin\\phi)$，则$|PA|^2=(2\\cos\\phi-1)^2+(3\\sin\\phi-\\sqrt{3})^2$，同理可以求出$|PB|^2$、$|PC|^2$、$|PD|^2$。\n然后求$|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2$的最大值和最小值，就可以得到$|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2$的取值范围。<eoe>\n\n【答案】 \n$|PA|^2=(2\\cos\\phi-1)^2+(3\\sin\\phi-\\sqrt{3})^2$，\n$|PB|^2=(2\\cos\\phi+\\sqrt{3})^2+(3\\sin\\phi-1)^2$，\n$|PC|^2=(2\\cos\\phi)^2+(3\\sin\\phi+2)^2$，\n$|PD|^2=(2\\cos\\phi-\\sqrt{3})^2+(3\\sin\\phi+1)^2$，\n所以$|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=4\\cos^2\\phi+9\\sin^2\\phi+12+2\\sqrt{3}\\cos\\phi-2\\sqrt{3}\\sin\\phi$。\n由于$\\cos^2\\phi+\\sin^2\\phi=1$，所以$|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2$的最大值为$25+2\\sqrt{3}$，最小值为$25-2\\sqrt{3}$，所以$|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2$的取值范围为$[25-2\\sqrt{3},25+2\\sqrt{3}]$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求点C的直角坐标时犯了错误，正确的极坐标应该是$(2,\\frac{4\\pi}{3})$，而学生给出的是$(2,\\frac{3\\pi}{2})$，导致点C的直角坐标计算错误。点A、B、D的直角坐标计算正确。因此，可以给点A、B、D的正确答案各赋部分分，点C的答案错误不得分。\n\n(2) 学生在求$|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2$的过程中，没有正确使用参数方程，且最终的取值范围计算错误。学生的答案与标准答案相差甚远，因此这一部分不得分。\n\n【得分】\n(1) 对于点A、B、D的直角坐标，每个点正确可以给2分，共6分。点C的直角坐标错误，不得分。\n(2) 完全错误，不得分。\n\n【总分】6分",
            "model_correction_score": [
                6.0
            ]
        },
        {
            "index": 16,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "19. (12 分) 一批产品需要进行质量检验, 检验方案是: 先从这批产品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为 $\\mathrm{n}$. 如果 $\\mathrm{n}=3$, 再从这批产品中任 取 4 件作检验, 若都为优质品, 则这批产品通过检验 如果 $n=4$, 再从这批产 品中任取 1 件作检验, 若为优质品, 则这批产品通过检验; 其他情况下, 这 批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 $50 \\%$, 即取出的产品是 优质品的概率都为 $\\frac{1}{2}$, 且各件产品是否为优质品相互独立.\n\n( I ) 求这批产品通过检验的概率;\n\n(II ) 已知每件产品检验费用为 100 元, 凡抽取的每件产品都需要检验, 对这批 产品作质量检验所需的费用记为 $X$ (单位：元）, 求 $X$ 的分布列及数学期望.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 $\\mathrm{A}_{1}$, 第 一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 $\\mathrm{A}_{2}$,\n\n第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 $\\mathrm{B}_{1}$, 第二次取出的 1 件产品是优质品 为事件 $B_{2}$,\n\n这批产品通过检验为事件 $A$, 依题意有 $A=\\left(A_{1} B_{1}\\right) \\cup\\left(A_{2} B_{2}\\right)$, 且 $A_{1} B_{1}$ 与 $A_{2} B_{2}$ 互斥,\n\n所以 $P(A)=P\\left(A_{1} B_{1}\\right)+P\\left(A_{2} B_{2}\\right)=P\\left(A_{1}\\right) P\\left(B_{1} \\mid A_{1}\\right)+P\\left(A_{2}\\right) P\\left(B_{2} \\mid A_{2}\\right)$ $=\\frac{4}{16} \\times \\frac{1}{16}+\\frac{1}{16} \\times \\frac{1}{2}=\\frac{3}{64}$\n\n(II ) $X$ 可能的取值为 $400,500,800$, 并且 $P(X=800)=\\frac{1}{4}, P(X=500)=\\frac{1}{16}$, $\\mathrm{P}(\\mathrm{X}=400)=1-\\frac{1}{16}-\\frac{1}{4}=\\frac{11}{16}$, 故 $\\mathrm{X}$ 的分布列如下：\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline$X$ & 400 & 500 & 800 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline $\\mathrm{P}$ & $\\frac{11}{16}$ & $\\frac{1}{16}$ & $\\frac{1}{4}$ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n故 $\\mathrm{EX}=400 \\times \\frac{11}{16}+500 \\times \\frac{1}{16}+800 \\times \\frac{1}{4}=506.25$\n",
            "analysis": "（II）设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 $\\mathrm{A}_{1}$, 第一次 取出的 4 件产品全是优质品为事件 $\\mathrm{A}_{2}$, 第二次取出的 4 件产品全是优质品为 事件 $\\mathrm{B}_{1}$, 第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 $\\mathrm{B}_{2}$, 这批产品通过检验为事 件 $A$, 依题意有 $A=\\left(A_{1} B_{1}\\right) \\cup\\left(A_{2} B_{2}\\right)$, 且 $A_{1} B_{1}$ 与 $A_{2} B_{2}$ 互斥, 由概率得加法 公式和条件概率, 代入数据计算可得;\n\n(II ) $X$ 可能的取值为 $400,500,800$, 分别求其概率, 可得分布列, 进而可得 期望值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要明确题目中的检验方案。这批产品能够通过检验的情况有两种，一种是首次抽取的四件产品中有三件优质品，然后再抽取四件都为优质品；另一种是首次抽取的四件产品全为优质品，然后再抽取一件也为优质品。这两种情况都满足独立事件的概率相乘原则，所以我们可以分别计算这两种情况的概率，然后相加即可得到这批产品通过检验的概率。\n首次抽取四件产品中有三件优质品的概率为C(4,3)*(1/2)^4，然后再抽取四件都为优质品的概率为(1/2)^4，所以第一种情况的概率为C(4,3)*(1/2)^4*(1/2)^4；\n首次抽取四件产品全为优质品的概率为(1/2)^4，然后再抽取一件也为优质品的概率为1/2，所以第二种情况的概率为(1/2)^4*(1/2)。\n将这两种情况的概率相加即可得到这批产品通过检验的概率。<eoe>\n\n【答案】 \n这批产品通过检验的概率为C(4,3)*(1/2)^4*(1/2)^4+(1/2)^4*(1/2)=0.0146.<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于检验费用的问题，我们需要考虑的是检验的次数。根据题目中的检验方案，首次抽取的四件产品需要检验，然后根据首次检验的结果，可能需要再检验四件产品，也可能需要再检验一件产品。所以，检验的次数可能为4次，5次，或者8次。每次检验的费用为100元，所以检验费用的可能值为400元，500元，或者800元。\n首次抽取四件产品，然后不再抽取的概率为C(4,0)*(1/2)^4+C(4,1)*(1/2)^4+C(4,2)*(1/2)^4+C(4,3)*(1/2)^4；\n首次抽取四件产品，然后再抽取一件产品的概率为(1/2)^4；\n首次抽取四件产品，然后再抽取四件产品的概率为C(4,3)*(1/2)^4。\n所以，检验费用X的分布列为\nX=400，P(X=400)=C(4,0)*(1/2)^4+C(4,1)*(1/2)^4+C(4,2)*(1/2)^4+C(4,3)*(1/2)^4；\nX=500，P(X=500)=(1/2)^4；\nX=800，P(X=800)=C(4,3)*(1/2)^4。\n检验费用X的数学期望为E(X)=400*P(X=400)+500*P(X=500)+800*P(X=800)。<eoe>\n\n【答案】 \n检验费用X的分布列为\nX=400，P(X=400)=C(4,0)*(1/2)^4+C(4,1)*(1/2)^4+C(4,2)*(1/2)^4+C(4,3)*(1/2)^4=0.6875；\nX=500，P(X=500)=(1/2)^4=0.0625；\nX=800，P(X=800)=C(4,3)*(1/2)^4=0.25。\n检验费用X的数学期望为E(X)=400*0.6875+500*0.0625+800*0.25=475元。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在计算这批产品通过检验的概率时，正确地识别了两种情况，但在计算具体概率时出现了错误。学生计算的第一种情况的概率为C(4,3)*(1/2)^4*(1/2)^4，这是正确的。但在计算第二种情况的概率时，学生错误地将(1/2)^4*(1/2)计算为最终概率，而正确的概率应该是(1/2)^4。因此，学生的最终答案0.0146是错误的。正确答案应该是3/64。由于学生的计算过程部分正确，可以给予部分分数。\n\n(2) 子问题(II)中，学生在计算检验费用X的分布列时，对于X=400的概率计算错误，学生将所有不再抽取的情况的概率相加，而实际上只有当首次抽取的四件产品中没有三件或四件优质品时，才不再抽取。学生的计算忽略了这一点。对于X=500和X=800的概率，学生也计算错误。正确的概率应该是P(X=800)=1/4，P(X=500)=1/16。因此，学生的分布列和数学期望的计算都是错误的。正确的数学期望应该是506.25元。由于学生的计算过程完全错误，不给予分数。\n\n【得分】\n(1) 学生在计算这批产品通过检验的概率时，部分过程正确，可以给予一半的分数，即6分的一半，得3分。\n(2) 子问题(II)中，学生的计算完全错误，不给予分数。\n\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 17,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "20. (12 分) 已知圆 $M:(x+1)^{2}+y^{2}=1$, 圆 $N:(x-1)^{2}+y^{2}=9$, 动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切, 圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.\n\n(I ) 求 C 的方程;\n\n(II ) $I$ 是与圆 $P$, 圆 $M$ 都相切的一条直线, $I$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 当圆 $P$ 的半径最长时, 求 $|A B|$.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 由圆 $M:(x+1)^{2}+y^{2}=1$, 可知圆心 $M(-1,0)$; 圆 $N:(x-1$ )$^{2}+y^{2}=9$, 圆心 $N(1,0)$, 半径 3 .\n\n设动圆的半径为 $R$,\n\n$\\because$ 动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切, $\\therefore|P M|+|P N|=R+1+(3-R)=4$,\n\n而 $|N M|=2$, 由椭圆的定义可知: 动点 $P$ 的轨迹是以 $M, N$ 为焦点, 4 为长轴长 的椭圆,\n\n$\\therefore a=2, \\quad c=1, b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$.\n\n$\\therefore$ 曲线 C 的方程为 $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{3}=1 \\quad(x \\neq-2)$.\n\n(II）设曲线 $C$ 上任意一点 $P(x, y)$,\n\n由于 $|P M|-|P N|=2 R-2 \\leqslant 3-1=2$, 所以 $R \\leqslant 2$, 当且仅当 $\\odot P$ 的圆心为 $(2,0)$ $R=2$ 时，其半径最大，其方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$.\n\n(1) $\\mid$ 的倾斜角为 $90^{\\circ}$, 则 $I$ 与 $\\mathrm{y}$ 轴重合, 可得 $|A B|=2 \\sqrt{3}$.\n\n(2)若 $\\mathrm{I}$ 的倾斜角不为 $90^{\\circ}$, 由于 $\\odot M$ 的半径 $1 \\neq R$, 可知 $I$ 与 $x$ 轴不平行, 设 $\\mid$ 与 $x$ 轴的交点为 $Q$, 则 $\\frac{|Q P|}{\\mid Q M}=\\frac{R}{r_{1}}$, 可得 $Q(-4,0)$, 所以可设 $\\mid: y=k(x+4$ ) ,\n\n由 I于 $M$ 相切可得: $\\frac{|3 k|}{\\sqrt{1+k^{2}}}=1$, 解得 $k= \\pm \\frac{\\sqrt{2}}{4}$.\n\n当 $k=\\frac{\\sqrt{2}}{4}$ 时, 联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=\\frac{\\sqrt{2}}{4} x+\\sqrt{2} \\\\ \\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{3}=1\\end{array}\\right.$, 得到 $7 x^{2}+8 x-8=0$.\n\n$\\therefore x_{1}+x_{2}=-\\frac{8}{7}, \\quad x_{1} x_{2}=-\\frac{8}{7}$.\n\n$\\therefore|A B|=\\sqrt{1+k^{2}}\\left|x_{2}-x_{1}\\right|=\\sqrt{1+\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{4}\\right)^{2}} \\sqrt{\\left(-\\frac{8}{7}\\right)^{2}-4 \\times\\left(-\\frac{8}{7}\\right)}=\\frac{18}{7}$\n\n由于对称性可知: 当 $k=-\\frac{\\sqrt{2}}{4}$ 时, 也有 $|A B|=\\frac{18}{7}$.\n\n综上可知: $|A B|=2 \\sqrt{3}$ 或 $\\frac{18}{7}$.\n",
            "analysis": "(1）设动圆的半径为 $R$, 由已知动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切, 可 得 $|P M|+|P N|=R+1+(3-R)=4$, 而 $|N M|=2$, 由椭圆的定义可知: 动点 $P$ 的 轨迹是以 $M, N$ 为焦点, 4 为长轴长的椭圆, 求出即可;\n\n（II）设曲线 $C$ 上任意一点 $P(x, y)$, 由于 $|P M|-|P N|=2 R-2 \\leqslant 4-2=2$, 所以 $R \\leqslant 2$, 当且仅当 $\\odot P$ 的圆心为 $(2,0) R=2$ 时, 其半径最大，其方程为 $(x-2$ )$^{2}+y^{2}=4$. 分 (1) $\\mid$ 的倾斜角为 $90^{\\circ}$, 此时 $\\mid$ 与 $y$ 轴重合, 可得 $|A B|$. (2)若 $\\mid$ 的倾 斜角不为 $90^{\\circ}$, 由于 $\\odot \\mathrm{M}$ 的半径 $1 \\neq \\mathrm{R}$, 可知 $\\mathrm{I}$ 与 $\\mathrm{x}$ 轴不平行, 设 $\\mathrm{I}$ 与 $\\mathrm{x}$ 轴的交 点为 $Q$, 根据 $\\frac{|Q P|}{\\mid Q M} \\mid=\\frac{R}{r_{1}}$, 可得 $Q(-4,0)$, 所以可设 $I: y=k(x+4)$, 与椭 圆的方程联立, 得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出.\n",
            "model_output": "(1)【解析】<eoe>\n首先，我们需要找到动圆P的圆心的坐标。由于圆P与圆M外切，圆P的半径为1-r，其中r为圆P的半径。因此，圆P的圆心的横坐标为-1+1-r=-r。同样，由于圆P与圆N内切，圆P的半径为3-r，因此，圆P的圆心的纵坐标为1-3+r=-2+r。所以，圆P的圆心的坐标为(-r,-2+r)。这个点的轨迹就是曲线C。<eoe>\n\n【答案】\n因此，曲线C的方程为x+y+2=0。<eoa>\n\n(2)【解析】<eoe>\n当圆P的半径最长时，圆P与圆M和圆N都相切。这时，圆P的半径为1和3的平均值，即2。所以，圆P的圆心的坐标为(-2,0)。由于直线I与圆P和圆M都相切，所以直线I的斜率为0，即直线I的方程为y=0。因此，直线I与曲线C的交点A和B的坐标分别为(-2,0)和(2,0)。<eoe>\n\n【答案】\n因此，|AB|=|-2-2|=4。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生没有正确求出曲线C的方程。学生的分析过程中，对于动圆P的圆心坐标的推导是错误的，没有正确理解题目中动圆P与圆M外切和与圆N内切的条件，也没有使用椭圆的定义来求解。因此，这部分给0分。\n\n(2) 学生在求解|AB|时，错误地认为直线I的斜率为0，这是不正确的。学生没有理解题目中的条件，即直线I与圆P和圆M相切，而且没有正确使用椭圆的性质来求解。因此，这部分也给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 18,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "21. （12 分) 已知函数 $f(x)=x^{2}+a x+b, g(x)=e^{x}(c x+d)$, 若曲线 $y=f(x)$ 和 曲线 $y=g(x)$ 都过点 $P(0,2)$, 且在点 $P$ 处有相同的切线 $y=4 x+2$.\n\n(I ) 求 $a, b, c, d$ 的值;\n\n(II ) 若 $x \\geqslant-2$ 时, $f(x) \\leqslant k g(x)$, 求 $k$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 由题意知 $f(0)=2, g(0)=2, f^{\\prime}(0)=4, g^{\\prime}(0)=4$, 而 $f^{\\prime}(x)=2 x+a, g^{\\prime}(x)=e^{x}(c x+d+c)$, 故 $b=2, d=2, a=4, d+c=4$, 从而 $a=4, b=2, c=2, d=2$;\n\n(II ) 由 (I) 知, $f(x)=x^{2}+4 x+2, g(x)=2 e^{x}(x+1)$\n\n设 $F(x)=k g(x)-f(x)=2 k e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x-2$,\n\n则 $F^{\\prime}(x)=2 k e^{x}(x+2)-2 x-4=2(x+2)\\left(k e^{x}-1\\right)$,\n\n由题设得 $F(0) \\geqslant 0$, 即 $k \\geqslant 1$,\n\n令 $F^{\\prime}(x)=0$, 得 $x_{1}=-\\operatorname{lnk}, x_{2}=-2$,\n\n(1)若 $1 \\leqslant k<e^{2}$, 则 $-2<x_{1} \\leqslant 0$, 从而当 $x \\in\\left(-2, x_{1}\\right)$ 时, $F^{\\prime}(x)<0$, 当 $x \\in\\left(x_{1}\\right.$ $,+\\infty)$ 时, $\\mathrm{F}^{\\prime}(\\mathrm{x})>0$,\n\n即 $F(x)$ 在 $\\left(-2, x_{1}\\right)$ 上减, 在 $\\left(x_{1},+\\infty\\right)$ 上是增, 故 $F(x)$ 在 $[-2,+\\infty)$ 上的最小值为 $F\\left(x_{1}\\right)$,\n\n而 $F\\left(x_{1}\\right)=-x_{1}\\left(x_{1}+2\\right) \\geqslant 0, x \\geqslant-2$ 时 $F(x) \\geqslant 0$, 即 $f(x) \\leqslant k g(x)$ 恒成立.\n\n(2)若 $k=e^{2}$, 则 $F^{\\prime}(x)=2 e^{2}(x+2)\\left(e^{x}-e^{-2}\\right)$, 从而当 $x \\in(-2,+\\infty)$ 时, $F^{\\prime}($ x) $>0$,\n\n即 $F(x)$ 在 $(-2,+\\infty)$ 上是增, 而 $F(-2)=0$, 故当 $x \\geqslant-2$ 时, $F(x) \\geqslant 0$, 即 $f(x) \\leqslant k g(x)$ 恒成立.\n\n(3)若 $k>e^{2}$ 时, $F^{\\prime}(x)>2 e^{2}(x+2)\\left(e^{x}-e^{-2}\\right)$,\n\n而 $F(-2)=-2 k e^{-2}+2<0$, 所以当 $x>-2$ 时, $f(x) \\leqslant k g(x)$ 不恒成立,\n\n综上, $k$ 的取值范围是 $\\left[1, \\mathrm{e}^{2}\\right]$.\n",
            "analysis": "( I ) 对 $f(x), g(x)$ 进行求导, 已知在交点处有相同的切线及曲线 $y=f(x)$ 和曲线 $y=g(x)$ 都过点 $P(0,2)$, 从而解出 $a, b, c, d$ 的值;\n\n（II ) 由 (I) 得出 $f(x), g(x)$ 的解析式, 再求出 $F(x)$ 及它的导函数, 通 过对 $k$ 的讨论, 判断出 $F(x)$ 的最值, 从而判断出 $f(x) \\leqslant k g(x)$ 恒成立, 从而求出 $\\mathrm{k}$ 的范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，根据题目条件，函数$f(x)$和$g(x)$都过点$P(0,2)$，即$f(0)=2$和$g(0)=2$。然后，根据题目条件，函数$f(x)$和$g(x)$在点$P$处有相同的切线$y=4x+2$，即$f'(0)=4$和$g'(0)=4$。通过这两个条件，我们可以求出$a, b, c, d$的值。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，将$x=0$代入$f(x)=x^{2}+a x+b$，得到$b=2$。\n然后，求$f(x)$的导数$f'(x)=2x+a$，将$x=0$代入，得到$a=4$。\n接着，将$x=0$代入$g(x)=e^{x}(c x+d)$，得到$d=2$。\n最后，求$g(x)$的导数$g'(x)=e^{x}(c x+d+c)$，将$x=0$代入，得到$c=4$。\n所以，$a=4, b=2, c=4, d=2$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n根据题目条件，当$x \\geqslant-2$时，$f(x) \\leqslant k g(x)$。将$f(x)$和$g(x)$的表达式代入，得到$x^{2}+4x+2 \\leqslant k e^{x}(4x+2)$。由于$x \\geqslant-2$，所以$e^{x} \\geqslant e^{-2}$，即$1/e^{2}$。因此，我们可以得到不等式$x^{2}+4x+2 \\leqslant k (4x+2)/e^{2}$。解这个不等式，我们可以得到$k$的取值范围。<eoe>\n\n【答案】 \n将$f(x)$和$g(x)$的表达式代入不等式，得到$x^{2}+4x+2 \\leqslant k e^{x}(4x+2)$，化简得到$x^{2}+4x+2 \\leqslant k (4x+2)/e^{2}$。\n由于$x \\geqslant-2$，所以$4x+2 \\geqslant 6$，所以$x^{2}+4x+2 \\leqslant 6k/e^{2}$。\n当$x=-2$时，等号成立，所以$k \\geqslant e^{2}/3$。\n所以，$k$的取值范围是$[e^{2}/3, +\\infty)$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(I) 学生在求解 $a, b, c, d$ 的值时，正确得出了 $b=2$ 和 $a=4$，但是在求解 $c$ 和 $d$ 时出现了错误，错误地得出了 $c=4$ 和 $d=2$。正确答案应为 $c=2$ 和 $d=2$。因此，学生在这一部分的答案是部分正确的。由于学生正确求出了 $a$ 和 $b$ 的值，但是 $c$ 和 $d$ 求错，可以给予部分分数。\n\n(II) 学生在求解 $k$ 的取值范围时，没有正确理解题目条件，错误地将 $g(x)$ 的表达式简化为 $k e^{x}(4x+2)$，并且错误地得出了 $k$ 的取值范围为 $[e^{2}/3, +\\infty)$。正确的做法是求出 $F(x)$ 的导数，通过讨论 $F(x)$ 的增减性来确定 $k$ 的取值范围。因此，学生在这一部分的答案是错误的。\n\n【得分】\n(I) 对于 $a, b, c, d$ 的求解，由于学生正确求出了 $a$ 和 $b$，但错误求出了 $c$ 和 $d$，可以给予一半的分数，即 3 分。\n\n(II) 对于 $k$ 的取值范围，学生的答案完全错误，不给分。\n\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 19,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=4+5 \\cos t \\\\ y=5+5 \\sin t\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数), 以坐标原点为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\\rho=2 \\sin \\theta$.\n(1) 把 $C_{1}$ 的参数方程化为极坐标方程;\n(2) 求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标 $(\\rho \\geqslant 0,0 \\leqslant \\theta<2 \\pi)$.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 将 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=4+5 \\cos t \\\\ y=5+5 \\sin t\\end{array}\\right.$, 消去参数 $t$, 化为普通方程 $(x-4)^{2+}(y-5$ )$^{2}=25$\n\n即 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$ ，\n\n将 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\rho \\cos \\theta \\\\ y=\\rho \\sin \\theta\\end{array}\\right.$ 代入 $x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0$,\n\n得 $\\rho^{2}-8 \\rho \\cos \\theta-10 \\rho \\sin \\theta+16=0$.\n\n$\\therefore C_{1}$ 的极坐标方程为 $\\rho^{2}-8 \\rho \\cos \\theta-10 \\rho \\sin \\theta+16=0$.\n\n(2) $\\because$ 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\\rho=2 \\sin \\theta$.\n\n$\\therefore$ 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$,\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-8 x-10 y+16=0 \\\\ x^{2}+y^{2}-2 y=0\\end{array}\\right.$,\n\n解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=1 \\\\ y=1\\end{array}\\right.$ 或 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=0 \\\\ y=2\\end{array}\\right.$,\n\n$\\therefore C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标为 $\\left(\\sqrt{2}, \\frac{\\pi}{4}\\right)$ 和 $\\left(2, \\frac{\\pi}{2}\\right)$.\n",
            "analysis": "(1) 曲线 $C_{1}$ 的参数方程消去参数 $t$, 得到普通方程, 再由 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\rho \\cos \\theta \\\\ y=\\rho \\sin \\theta\\end{array}\\right.$, 能求出 $C_{1}$ 的极坐标方程.\n\n(2) 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程化为直角坐标方程, 与 $C_{1}$ 的普通方程联立, 求出 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标, 由此能求出 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要将曲线C1的参数方程转化为极坐标方程。极坐标与直角坐标的转换公式为：$x=\\rho \\cos \\theta$，$y=\\rho \\sin \\theta$。将曲线C1的参数方程代入这两个公式中，我们可以得到极坐标方程。<eoe>\n【答案】\n曲线C1的参数方程为：\n$x=4+5 \\cos t$\n$y=5+5 \\sin t$\n将其转化为极坐标，我们有：\n$\\rho \\cos \\theta = 4 + 5 \\cos t$\n$\\rho \\sin \\theta = 5 + 5 \\sin t$\n由于$t=\\theta$，我们可以得到：\n$\\rho \\cos \\theta = 4 + 5 \\cos \\theta$\n$\\rho \\sin \\theta = 5 + 5 \\sin \\theta$\n解这个方程组，我们得到：\n$\\rho = \\sqrt{(4+5 \\cos \\theta)^2 + (5+5 \\sin \\theta)^2}$\n这就是曲线C1的极坐标方程。<eoa>\n\n(2)【解析】\n接下来，我们需要求曲线C1和C2的交点。这就需要将C1的极坐标方程和C2的极坐标方程进行比较，找出满足两个方程的点。<eoe>\n【答案】\n曲线C2的极坐标方程为：\n$\\rho = 2 \\sin \\theta$\n将曲线C1的极坐标方程和曲线C2的极坐标方程进行比较，我们得到：\n$\\sqrt{(4+5 \\cos \\theta)^2 + (5+5 \\sin \\theta)^2} = 2 \\sin \\theta$\n这是一个关于$\\theta$的方程，解这个方程，我们可以得到满足条件的$\\theta$值。然后将$\\theta$代入任意一个极坐标方程，就可以得到对应的$\\rho$值。这样就可以得到曲线C1和C2的交点的极坐标。这个方程可能需要借助计算器或者数学软件来求解。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在转化极坐标方程的过程中，错误地将参数 $t$ 直接等同于 $\\theta$，并且没有正确消去参数 $t$ 来得到极坐标方程。学生的答案没有得到正确的极坐标方程，因此这一部分不能给分。\n\n(2) 学生在求解交点的过程中，没有正确使用标准答案中的方法，即没有将 $C_2$ 的极坐标方程转化为直角坐标方程后与 $C_1$ 的直角坐标方程联立求解。学生试图直接比较两个极坐标方程，但这种方法是错误的，因为学生没有得到正确的 $C_1$ 的极坐标方程。因此，这一部分也不能给分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 20,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) $\\triangle A B C$ 在内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $a=b \\cos C+c \\sin B$\n\n(I I) 求 B;\n\n(II ) 若 $b=2$, 求 $\\triangle A B C$ 面积的最大值.\n",
            "standard_answer": "解： ( I ) 由已知及正弦定理得: $\\sin A=\\sin B \\cos C+\\sin B \\sin C(1)$,\n\n$\\because \\sin A=\\sin (B+C)=\\sin B \\cos C+\\cos B \\sin C(2)$,\n\n$\\therefore \\sin \\mathrm{B}=\\cos \\mathrm{B}$, 即 $\\tan \\mathrm{B}=1$,\n\n$\\because B$ 为三角形的内角,\n\n$\\therefore B=\\frac{\\pi}{4}$\n\n( II) $\\mathrm{S}_{\\triangle \\mathrm{ABC}}=\\frac{1}{2} \\mathrm{acsin} \\mathrm{B}=\\frac{\\sqrt{2}}{4} \\mathrm{ac}$,\n\n由已知及余弦定理得: $4=a^{2}+c^{2}-2 \\operatorname{accos} \\frac{\\pi}{4} \\geqslant 2 a c-2 a c \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, 整理得: $a c \\leqslant \\frac{4}{2-\\sqrt{2}}$, 当且仅当 $a=c$ 时, 等号成立, 则 $\\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\\frac{1}{2} \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\times \\frac{4}{2-\\sqrt{2}}=\\frac{1}{2} \\times \\sqrt{2} \\times(2+\\sqrt{2})=\\sqrt{2}+1$.\n",
            "analysis": "( I ) 已知等式利用正弦定理化简, 再利用两角和与差的正弦函数公 式及诱导公式变形, 求出 $\\tan B$ 的值, 由 $B$ 为三角形的内角, 利用特殊角的三 角函数值即可求出 $\\mathrm{B}$ 的度数;\n\n(II) 利用三角形的面积公式表示出三角形 $A B C$ 的面积, 把 $\\sin B$ 的值代入, 得 到三角形面积最大即为 ac 最大, 利用余弦定理列出关系式, 再利用基本不等 式求出 ac 的最大值, 即可得到面积的最大值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n根据题目，我们有 $a=b \\cos C+c \\sin B$，我们可以使用正弦定理 $\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}$ 来解决这个问题。首先，我们将 $a=b \\cos C+c \\sin B$ 转化为关于 $\\sin B$ 和 $\\sin C$ 的表达式，然后通过正弦定理消去 $\\sin A$，最后我们可以得到 $B$ 的表达式。<eoe>\n\n【答案】\n首先，我们将 $a=b \\cos C+c \\sin B$ 转化为关于 $\\sin B$ 和 $\\sin C$ 的表达式，即 $a=b \\sqrt{1-\\sin^2 C}+c \\sin B$。然后，我们通过正弦定理消去 $\\sin A$，得到 $a=\\frac{b}{\\sin B} \\sqrt{1-\\sin^2 C}+c \\sin B$。整理得到 $\\sin B=\\frac{a-b \\sqrt{1-\\sin^2 C}}{c}$。因为 $\\sin B$ 是 $B$ 的函数，所以我们可以通过这个表达式求出 $B$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n根据题目，我们知道 $b=2$。我们可以使用海伦公式 $S=\\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ 来求解 $\\triangle ABC$ 的面积，其中 $p=\\frac{a+b+c}{2}$ 是半周长。我们需要找到 $S$ 的最大值，这可以通过求导并找到导数为零的点来实现。<eoe>\n\n【答案】\n首先，我们将 $b=2$ 代入 $a=b \\cos C+c \\sin B$，得到 $a=2 \\cos C+c \\sin B$。然后，我们将 $a$ 和 $b$ 代入海伦公式，得到 $S=\\sqrt{p(p-2 \\cos C)(p-2)(p-c)}$。我们需要找到 $S$ 的最大值，这可以通过求导并找到导数为零的点来实现。我们对 $S$ 关于 $C$ 求导，得到 $S'=\\frac{p(p-2)(p-c)-p(p-2 \\cos C)(p-c)}{2\\sqrt{p(p-2 \\cos C)(p-2)(p-c)}}$。我们令 $S'=0$，解得 $C=\\arccos\\frac{p(p-2)(p-c)}{p(p-2 \\cos C)(p-c)}$。然后，我们将 $C$ 代入 $S$，得到 $S_{max}=\\sqrt{p(p-2 \\cos C_{max})(p-2)(p-c)}$。这就是 $\\triangle ABC$ 面积的最大值。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分没有正确理解题目的要求，没有使用正弦定理和余弦定理来解题，而是尝试通过正弦定理直接消去 $\\sin A$，这是错误的方法。在答案部分，学生试图通过将 $a$ 表达为 $\\sin B$ 和 $\\sin C$ 的函数来求解 $B$，但这种方法并不正确，因为它没有利用到题目中的条件 $a=b \\cos C+c \\sin B$。因此，这部分答案是错误的，不给分。\n\n(2) 学生在解析部分提到了海伦公式和求导，但这并不是题目要求的解题方法。在答案部分，学生试图通过对面积函数求导来找到最大值，但这种方法不仅复杂且不正确，因为题目中并没有提供足够的信息来构建一个关于 $C$ 的函数并求导。此外，学生没有正确使用余弦定理和题目中的条件来求解。因此，这部分答案也是错误的，不给分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 21,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "21. (12 分) 已知函数 $f(x)=\\mathrm{e}^{\\mathrm{x}}-\\ln (\\mathrm{x}+\\mathrm{m})$\n\n（I）设 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 求 $m$, 并讨论 $f(x)$ 的单调性;\n\n(II）当 $m \\leqslant 2$ 时, 证明 $f(x)>0$. 选考题: (第 22 题～第 24 题为选考题, 考生根据要求作答. 请考生在第 22、\n",
            "standard_answer": "( I ) 解 $\\because f^{\\prime}(x)=e^{x}-\\frac{1}{x+m}, x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, $\\therefore f^{\\prime}(0)=1-\\frac{1}{m}=0$ , 解得 $\\mathrm{m}=1$.\n\n所以函数 $f(x)=e^{x}-\\ln (x+1)$, 其定义域为 $(-1,+\\infty)$.\n\n$\\because f^{\\prime}(x)=e^{x}-\\frac{1}{x+1}=\\frac{e^{x}(x+1)-1}{x+1}$\n\n设 $g(x)=e^{x}(x+1)-1$, 则 $g^{\\prime}(x)=e^{x}(x+1)+e^{x}>0$, 所以 $g(x)$ 在 $(-1,+$ $\\infty$ )上为增函数,\n\n又 $\\because g(0)=0$, 所以当 $x>0$ 时, $g(x)>0$, 即 $f^{\\prime}(x)>0$; 当 $-1<x<0$ 时, $g$ $(x)<0, f^{\\prime}(x)<0$.\n\n所以 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 在 $(-1,0)$ 上为减函数; 在 $(0,+\\infty)$ 上为增函数; （II ) 证明: 当 $m \\leqslant 2, x \\in(-m,+\\infty)$ 时, $\\ln (x+m) \\leqslant \\ln (x+2)$, 故只需证 明当 $m=2$ 时 $f(x)>0$.\n\n当 $m=2$ 时, 函数 $f^{\\prime}(x)=e^{x}-\\frac{1}{x+2}$ 在 $(-2,+\\infty)$ 上为增函数, 且 $f^{\\prime}(-1)<0$ $f^{\\prime}(0)>0$\n\n故 $\\mathrm{f}^{\\prime}(\\mathrm{x})=0$ 在 $(-2,+\\infty)$ 上有唯一实数根 $\\mathrm{x}_{0}$, 且 $\\mathrm{x}_{0} \\in(-1,0)$.\n\n当 $x \\in\\left(-2, x_{0}\\right)$ 时, $f^{\\prime}(x)<0$, 当 $x \\in\\left(x_{0},+\\infty\\right)$ 时, $f^{\\prime}(x)>0$,\n\n从而当 $x=x_{0}$ 时, $f(x)$ 取得最小值.\n\n由 $f^{\\prime}\\left(x_{0}\\right)=0$, 得 $e^{x_{0}}=\\frac{1}{x_{0}+2}, \\ln \\left(x_{0}+2\\right)=-x_{0}$.\n\n故 $f(x) \\geqslant f\\left(x_{0}\\right)=\\frac{1}{x_{0}+2}+x_{0}=\\frac{\\left(x_{0}+1\\right)^{2}}{x_{0}+2}>0$.\n\n综上, 当 $m \\leqslant 2$ 时, $f(x)>0$.\n",
            "analysis": "( I ) 求出原函数的导函数, 因为 $\\mathrm{x}=0$ 是函数 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 的极值点, 由极 值点处的导数等于 0 求出 $\\mathrm{m}$ 的值, 代入函数解析式后再由导函数大于 0 和小 于 0 求出原函数的单调区间;\n\n(II) 证明当 $m \\leqslant 2$ 时, $f(x)>0$, 转化为证明当 $m=2$ 时 $f(x)>0$. 求出当 $m=2$ 时函数的导函数, 可知导函数在 $(-2,+\\infty)$ 上为增函数, 并进一步得到导 函数在 $(-1,0)$ 上有唯一零点 $\\mathrm{x}_{0}$, 则当 $\\mathrm{x}=\\mathrm{x}_{0}$ 时函数取得最小值, 借助于 $\\mathrm{x}_{0}$ 是导函数的零点证出 $f\\left(x_{0}\\right)>0$, 从而结论得证.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$，然后将$x=0$代入$f'(x)$，使其等于0，解出$m$的值。然后讨论$f(x)$的单调性，即求出$f'(x)$的零点，然后根据零点将函数的定义域分段，代入$f'(x)$，判断其正负，从而确定$f(x)$在各段上的单调性。<eoe>\n【答案】对函数$f(x)$求导得到$f'(x)=e^x-\\frac{1}{x+m}$，由题意知$x=0$是$f(x)$的极值点，所以$f'(0)=0$，即$1-\\frac{1}{m}=0$，解得$m=1$。然后讨论$f(x)$的单调性，由$f'(x)=0$得$x=-1$或$x=-m=-1$，所以当$x<-1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调增加；当$-1<x<0$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调减少；当$x>0$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调增加。<eoa>\n\n(2)【解析】当$m \\leqslant 2$时，我们需要证明$f(x)>0$。首先，我们可以观察到当$x>0$时，$e^x>0$，$\\ln(x+m)>0$，所以$f(x)=e^x-\\ln(x+m)>0$。然后我们需要考虑$x\\leq0$的情况。我们可以利用$f(x)$在$x=0$处取得极小值，以及$f(x)$在$x<0$时单调增加的性质，证明$f(x)>0$。<eoe>\n【答案】当$x>0$时，$e^x>0$，$\\ln(x+m)>0$，所以$f(x)=e^x-\\ln(x+m)>0$。当$x\\leq0$时，由于$f(x)$在$x=0$处取得极小值，且$f(x)$在$x<0$时单调增加，所以$f(x)$在$x\\leq0$时的最小值为$f(0)=1-\\ln(1)=0$，所以当$x\\leq0$时，$f(x)\\geq0$。综上，当$m \\leqslant 2$时，$f(x)>0$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地描述了求导和代入 $x=0$ 的过程，但是没有给出具体的计算过程和最终的 $m$ 值。在答案部分，学生正确地求出了 $m=1$，但是在讨论单调性时，学生错误地认为 $f'(x)=0$ 时 $x=-1$ 或 $x=-m=-1$，实际上这是错误的，因为 $f'(x)=0$ 应该是用来求解 $x$ 的值，而不是直接得出 $x=-1$。此外，学生没有正确地讨论 $f(x)$ 在定义域各段上的单调性，缺少了对 $f'(x)$ 符号的具体分析和结论。因此，第一部分给出部分分。\n\n(2) 子问题 (II) 的解析部分学生没有给出正确的证明过程，仅仅是对 $x>0$ 和 $x\\leq0$ 的情况进行了简单的讨论，没有考虑到当 $m=2$ 时的具体情况，也没有正确使用导数性质来证明 $f(x)>0$。在答案部分，学生错误地认为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值，实际上这是错误的，因为 $x=0$ 是极值点，但不一定是极小值点。学生也没有正确地证明 $f(x)>0$，缺少了对导函数零点的分析和最小值的证明。因此，第二部分不给分。\n\n【得分】\n(1) 对于 (I) 部分，学生正确求出了 $m=1$，但单调性分析错误，可以给出 3 分（满分 6 分的一半）。\n(2) 对于 (II) 部分，学生没有给出正确的证明，不给分。\n\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 22,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 已知动点 $P 、 Q$ 都在曲线C: $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\beta \\\\ y=2 \\sin \\beta\\end{array}\\right.$ ( $\\beta$ 为参数) 上, 对应参数分别为 $\\beta=\\alpha$ 与 $\\beta=2 \\alpha(0<\\alpha<2 \\pi), M$ 为 $P Q$ 的中点.\n\n(1) 求 $M$ 的轨迹的参数方程;\n\n(2) 将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\\alpha$ 的函数, 并判断 $M$ 的轨迹是否过坐标 原点.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 依题意有 $P(2 \\cos \\alpha, 2 \\sin \\alpha), Q(2 \\cos 2 \\alpha, 2 \\sin 2 \\alpha)$,\n\n因此 $M(\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha, \\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha)$.\n\n$M$ 的轨迹的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha \\\\ y=\\sin 2 \\alpha+\\sin \\alpha\\end{array}\\right.$ ( $\\alpha$ 为参数, $\\left.0<\\alpha<2 \\pi\\right)$.\n\n(2) $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\\sqrt{2+2 \\cos \\alpha}(0<\\alpha<2 \\pi)$.\n\n当 $\\alpha=\\pi$ 时, $d=0$, 故 $M$ 的轨迹过坐标原点.\n",
            "analysis": "(1) 利用参数方程与中点坐标公式即可得出;\n\n（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要找出点P和点Q的坐标。根据题目，我们知道点P和点Q都在曲线C上，所以它们的坐标可以通过曲线C的参数方程来找出。对于点P，它的参数是α，所以它的坐标是(2cosα, 2sinα)。对于点Q，它的参数是2α，所以它的坐标是(2cos2α, 2sin2α)。然后，我们可以通过这两点的坐标来找出点M的坐标。根据中点公式，点M的坐标是((2cosα+2cos2α)/2, (2sinα+2sin2α)/2)。<eoe>\n【答案】因此，点M的轨迹的参数方程是$\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha \\\\ y=\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha\\end{array}\\right.$。<eoa>\n\n(2)【解析】接下来，我们需要找出点M到坐标原点的距离d。根据距离公式，d=√[(x-0)²+(y-0)²]，其中x和y是点M的坐标。将点M的坐标代入距离公式，我们得到d=√[(cosα+cos2α)²+(sinα+sin2α)²]。然后，我们需要判断M的轨迹是否过坐标原点。如果d可以等于0，那么M的轨迹就会过坐标原点。为了找出d是否可以等于0，我们需要解这个方程：√[(cosα+cos2α)²+(sinα+sin2α)²]=0。<eoe>\n【答案】因此，点M到坐标原点的距离d为$d=\\sqrt{(\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha)^{2}+(\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha)^{2}}$。对于方程$\\sqrt{(\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha)^{2}+(\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha)^{2}}=0$，只有当$\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha=0$且$\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha=0$时，方程才有解。但是，这两个方程无解，所以M的轨迹不过坐标原点。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在分析过程中正确地找出了点P和点Q的坐标，并且正确地使用了中点公式来求解点M的坐标。学生给出的点M的轨迹的参数方程与标准答案一致。因此，学生在这一部分的答案是正确的，应给满分。\n\n(2) 学生在分析过程中正确地使用了距离公式来求解点M到坐标原点的距离d。然而，学生在判断M的轨迹是否过坐标原点时犯了错误。学生认为方程$\\sqrt{(\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha)^{2}+(\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha)^{2}}=0$无解，这是不正确的。实际上，当$\\alpha=\\pi$时，$\\cos \\alpha+\\cos 2 \\alpha=0$且$\\sin \\alpha+\\sin 2 \\alpha=0$，此时d确实等于0，所以M的轨迹过坐标原点。因此，学生在这一部分的答案是错误的，应扣除相应的分数。\n\n【得分】\n(1) 5分\n(2) 2分（学生正确地求出了d的表达式，但是错误地判断了M的轨迹是否过坐标原点，因此扣除一部分分数）\n\n【总分】7分",
            "model_correction_score": [
                7.0
            ]
        },
        {
            "index": 23,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "24.设 $a, b, c$ 均为正数, 且 $a+b+c=1$, 证明:\n\n( I ) $a b+b c+c a \\leqslant \\frac{1}{3}$\n\n(II) $\\frac{a^{2}}{b}+\\frac{b^{2}}{c}+\\frac{c^{2}}{a} \\geqslant 1$.\n",
            "standard_answer": "证明: ( I ) 由 $a^{2}+b^{2} \\geqslant 2 a b, b^{2}+c^{2} \\geqslant 2 b c, c^{2}+a^{2} \\geqslant 2 c a$ 得:\n\n$a^{2}+b^{2}+c^{2} \\geqslant a b+b c+c a$\n\n由题设得 $(a+b+c)^{2}=1$, 即 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a=1$,\n\n所以 $3(a b+b c+c a) \\leqslant 1$, 即 $a b+b c+c a \\leqslant \\frac{1}{3}$.\n\n(II ) 因为 $\\frac{a^{2}}{b}+b \\geqslant 2 a, \\frac{b^{2}}{c}+c \\geqslant 2 b, \\frac{c^{2}}{a}+a \\geqslant 2 c$,\n\n故 $\\frac{a^{2}}{b}+\\frac{b^{2}}{c}+\\frac{c^{2}}{a}+(a+b+c) \\geqslant 2(a+b+c)$ ，即 $\\frac{a^{2}}{b}+\\frac{b^{2}}{c}+\\frac{c^{2}}{a} \\geqslant a+b+c$.\n\n所以 $\\frac{a^{2}}{b}+\\frac{b^{2}}{c}+\\frac{c^{2}}{a} \\geqslant 1$.\n",
            "analysis": "( I ) 依题意, 由 $a+b+c=1 \\Rightarrow(a+b+c)^{2}=1 \\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a=1$, 利用基本不等式可得 $3(a b+b c+c a) \\leqslant 1$, 从而得证;\n\n(II ) 利用基本不等式可证得: $\\frac{a^{2}}{b}+b \\geqslant 2 a, \\frac{b^{2}}{c}+c \\geqslant 2 b, \\frac{c^{2}}{a}+a \\geqslant 2 c$, 三式累加 即可证得结论.\n",
            "model_output": "(1)【解析】对于第一题，我们可以使用柯西不等式来解决。柯西不等式是指对于任意的正实数$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$，有$\\frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2} \\geq \\frac{(b_1+b_2+...+b_n)^2}{b_1^2+b_2^2+...+b_n^2}$。将$a_1=a_2=a_3=a$, $b_1=b$, $b_2=c$, $b_3=a$代入，我们可以得到$a^2 \\geq ab+bc+ca$，由于$a+b+c=1$，我们可以得到$(a+b+c)^2 \\geq 3(ab+bc+ca)$，即$ab+bc+ca \\leq \\frac{1}{3}$。<eoe>\n【答案】根据柯西不等式，我们有$a^2 \\geq ab+bc+ca$，由于$a+b+c=1$，我们可以得到$(a+b+c)^2 \\geq 3(ab+bc+ca)$，即$ab+bc+ca \\leq \\frac{1}{3}$。<eoa>\n\n(2)【解析】对于第二题，我们可以使用柯西不等式的另一种形式来解决。这种形式是指对于任意的正实数$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$，有$(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2 \\geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$。将$a_1=a^2/b$, $a_2=b^2/c$, $a_3=c^2/a$, $b_1=b$, $b_2=c$, $b_3=a$代入，我们可以得到$(a^2/b+b^2/c+c^2/a)^2 \\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)$，由于$a+b+c=1$，我们可以得到$a^2/b+b^2/c+c^2/a \\geq ab+bc+ca$，由于第一题我们已经证明了$ab+bc+ca \\leq \\frac{1}{3}$，所以我们可以得到$a^2/b+b^2/c+c^2/a \\geq 1$。<eoe>\n【答案】根据柯西不等式的另一种形式，我们有$(a^2/b+b^2/c+c^2/a)^2 \\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)$，由于$a+b+c=1$，我们可以得到$a^2/b+b^2/c+c^2/a \\geq ab+bc+ca$，由于第一题我们已经证明了$ab+bc+ca \\leq \\frac{1}{3}$，所以我们可以得到$a^2/b+b^2/c+c^2/a \\geq 1$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在第一部分的解析中错误地应用了柯西不等式，得出了错误的结论 $a^2 \\geq ab+bc+ca$，这是不正确的。正确的应用应该是将 $a^2+b^2+c^2$ 与 $ab+bc+ca$ 相比较。然而，学生在答案部分给出了正确的结论 $ab+bc+ca \\leq \\frac{1}{3}$，但是没有给出正确的推导过程。因此，第一部分的得分应该是部分得分，因为最终结论是正确的，但过程有误。\n\n(2) 学生在第二部分的解析中同样错误地应用了柯西不等式的另一种形式，得出了错误的中间结论 $(a^2/b+b^2/c+c^2/a)^2 \\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)$。然而，学生在答案部分给出了正确的结论 $a^2/b+b^2/c+c^2/a \\geq 1$，但是同样没有给出正确的推导过程。因此，第二部分的得分也应该是部分得分，因为最终结论是正确的，但过程有误。\n\n由于学生在两个部分都给出了正确的结论，但是推导过程有误，可以考虑给予一定的部分分。每个部分可以给予一半的分数，因此：\n\n【得分】\n(1) 2.5分\n(2) 2.5分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 24,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) 已知数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, a_{n} \\neq 0, a_{n} a_{n+1}=\\lambda S_{n}-1$, 其中 $\\lambda$ 为常数.\n\n( I ) 证明: $a_{n+2}-a_{n}=\\lambda$\n\n(II ) 是否存在 $\\lambda$, 使得 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 为等差数列? 并说明理由.\n",
            "standard_answer": "（I ） 证明: $\\because a_{n} a_{n+1}=\\lambda S_{n}-1, a_{n+1} a_{n+2}=\\lambda S_{n+1}-1$,\n\n$\\therefore a_{n+1}\\left(a_{n+2}-a_{n}\\right)=\\lambda a_{n+1}$\n\n$\\because a_{n+1} \\neq 0$\n\n$\\therefore a_{n+2}-a_{n}=\\lambda$\n\n（II ) 解：假设存在 $\\lambda$, 使得 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 为等差数列, 设公差为 $d$.\n\n则 $\\lambda=a_{n+2}-a_{n}=\\left(a_{n+2}-a_{n+1}\\right)+\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right)=2 d$,\n\n$\\therefore d=\\frac{\\lambda}{2}$\n\n$\\therefore a_{n}=1+\\frac{\\lambda(n-1)}{2}, a_{n+1}=1+\\frac{\\lambda_{n}}{2}$\n\n$\\therefore \\lambda S_{n}=1+\\left[1+\\frac{\\lambda(n-1)}{2}\\right]\\left[1+\\frac{\\lambda n}{2}\\right]=\\frac{\\lambda^{2}}{4} n^{2}+\\left(\\lambda-\\frac{\\lambda^{2}}{4}\\right) n+2-\\frac{\\lambda}{2}$,\n\n根据 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 为等差数列的充要条件是 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\lambda \\neq 0 \\\\ 2-\\frac{\\lambda}{2}=0\\end{array}\\right.$, 解得 $\\lambda=4$.\n\n此时可得 $S_{n}=n^{2}, a_{n}=2 n-1$.\n\n因此存在 $\\lambda=4$, 使得 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 为等差数列.\n",
            "analysis": "( I ) 利用 $a_{n} a_{n+1}=\\lambda S_{n}-1, a_{n+1} a_{n+2}=\\lambda S_{n+1}-1$, 相减即可得出;\n\n(II ) 假设存在 $\\lambda$, 使得 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 为等差数列, 设公差为 $d$. 可得 $\\lambda=a_{n+2}-a_{n}=\\left(a_{n+2}-a_{n+1}\\right.$ )$+\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right)=2 d, \\quad d=\\frac{\\lambda}{2}$. 得到 $\\lambda S_{n}=\\frac{\\lambda^{2}}{4} n^{2}+\\left(\\lambda-\\frac{\\lambda^{2}}{4}\\right) n+2-\\frac{\\lambda}{2}$, 根据 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 为等差数列的充要条件是 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\lambda \\neq 0 \\\\ 2-\\frac{\\lambda}{2}=0\\end{array}\\right.$, 解得 $\\lambda$ 即可.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要证明$a_{n+2}-a_{n}=\\lambda$。\n我们可以从给定的条件$a_{n}a_{n+1}=\\lambda S_{n}-1$出发，将其转化为我们需要证明的形式。<eoe>\n\n【答案】\n我们首先将$a_{n}a_{n+1}=\\lambda S_{n}-1$两边同时除以$a_{n}a_{n+1}$，得到\n$1=\\lambda \\frac{S_{n}}{a_{n}a_{n+1}}-\\frac{1}{a_{n}a_{n+1}}$。\n\n由于$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$，我们可以将$\\frac{S_{n}}{a_{n}a_{n+1}}$写为$\\frac{a_{1}}{a_{n}a_{n+1}}+\\frac{a_{2}}{a_{n}a_{n+1}}+...+\\frac{a_{n}}{a_{n}a_{n+1}}$。\n\n然后我们将$\\frac{1}{a_{n}a_{n+1}}$移到等式左边，得到\n$\\frac{1}{a_{n}a_{n+1}}+1=\\lambda \\left(\\frac{a_{1}}{a_{n}a_{n+1}}+\\frac{a_{2}}{a_{n}a_{n+1}}+...+\\frac{a_{n}}{a_{n}a_{n+1}}\\right)$。\n\n将等式左边的$1$写为$\\frac{a_{n+1}}{a_{n}a_{n+1}}$，得到\n$\\frac{1}{a_{n}a_{n+1}}+\\frac{a_{n+1}}{a_{n}a_{n+1}}=\\lambda \\left(\\frac{a_{1}}{a_{n}a_{n+1}}+\\frac{a_{2}}{a_{n}a_{n+1}}+...+\\frac{a_{n}}{a_{n}a_{n+1}}\\right)$。\n\n即$\\frac{a_{n+1}+1}{a_{n}a_{n+1}}=\\lambda \\left(\\frac{a_{1}}{a_{n}a_{n+1}}+\\frac{a_{2}}{a_{n}a_{n+1}}+...+\\frac{a_{n}}{a_{n}a_{n+1}}\\right)$。\n\n将等式两边同时乘以$a_{n}a_{n+1}$，得到\n$a_{n+1}+1=\\lambda \\left(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\\right)$。\n\n由于$a_{1}=1$，我们有\n$a_{n+1}+1=\\lambda \\left(1+a_{2}+...+a_{n}\\right)$。\n\n将等式两边同时减去1，得到\n$a_{n+1}=\\lambda \\left(1+a_{2}+...+a_{n}\\right)-1$。\n\n将等式右边的$-1$移到等式左边，得到\n$a_{n+1}+1=\\lambda \\left(1+a_{2}+...+a_{n}\\right)$。\n\n即$a_{n+2}-a_{n}=\\lambda$，证明完成。<eoa>\n\n(2)【解析】\n接下来，我们需要判断是否存在$\\lambda$，使得$\\left\\{a_{n}\\right\\}$为等差数列。\n我们知道，如果一个数列是等差数列，那么它的任意两项的差应该是常数。由于我们已经证明了$a_{n+2}-a_{n}=\\lambda$，那么我们只需要判断$a_{n+1}-a_{n}$是否也等于$\\lambda$即可。<eoe>\n\n【答案】\n我们已经知道$a_{n+2}-a_{n}=\\lambda$，那么我们可以将其改写为$a_{n+2}=a_{n}+\\lambda$。\n\n然后我们考虑$a_{n+1}-a_{n}$，由于$a_{n+1}=a_{n}+\\lambda$，所以我们有$a_{n+1}-a_{n}=\\lambda$。\n\n因此，我们可以看出，无论$\\lambda$取何值，$\\left\\{a_{n}\\right\\}$都是等差数列。所以，存在$\\lambda$使得$\\left\\{a_{n}\\right\\}$为等差数列。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在证明 $a_{n+2}-a_{n}=\\lambda$ 时，方法不正确，且过程混乱，没有正确使用题目中的条件，也没有得出正确的结论。因此，这部分不能给分。\n\n(2) 子问题二的分析同样错误，学生错误地认为对于任意的 $\\lambda$，数列 $\\{a_n\\}$ 都是等差数列，这与题目要求的证明是否存在特定的 $\\lambda$ 使得数列 $\\{a_n\\}$ 为等差数列不符。学生没有正确使用题目中的条件，也没有得出正确的结论。因此，这部分也不能给分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 25,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "20. （12 分）已知点 $A(0,-2)$, 椭圆 $\\left.E: \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 （ a>b>0\\right)$ 的离心率为 $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ , $F$ 是椭圆的右焦点, 直线 $A F$ 的斜率为 $\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}, O$ 为坐标原点.\n\n(I ) 求 $E$ 的方程;\n\n（II ) 设过点 $A$ 的直线 $I$ 与 $E$ 相交于 $P, Q$ 两点, 当 $\\triangle O P Q$ 的面积最大时, 求 $I$ 的方程.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 设 $\\mathrm{F}(\\mathrm{c}, 0)$, 由条件知 $\\frac{2}{\\mathrm{c}}=\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$, 得 $\\mathrm{c}=\\sqrt{3}$ 又 $\\frac{\\mathrm{c}}{\\mathrm{a}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, 所以 $a=2$ 田, $b^{2}=a^{2}-c^{2}=1$, 故 $E$ 的方程 $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 . \\cdots$. （5 分）\n\n(II ) 依题意当 $I \\perp x$ 轴不合题意, 故设直线 $l: y=k x-2$, 设 $P\\left(x_{1}, y_{1}\\right), Q\\left(x_{2}\\right.$ $\\left.y_{2}\\right)$\n\n将 $y=k x-2$ 代入 $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$, 得 $\\left(1+4 k^{2}\\right) x^{2}-16 k x+12=0$,\n\n当 $\\triangle=16\\left(4 k^{2}-3\\right)>0$, 即 $k^{2}>\\frac{3}{4}$ 时, $x_{1}, 2=\\frac{8 k \\pm 2 \\sqrt{4 k^{2}-3}}{1+4 k^{2}}$\n\n从而 $|P Q|=\\sqrt{k^{2}+1}\\left|x_{1}-x_{2}\\right|=\\frac{4 \\sqrt{k^{2}+1} \\cdot \\sqrt{4 k^{2}-3}}{1+4 k^{2}}$ ?]?\n\n又点 $O$ 到直线 $P Q$ 的距离 $d=\\frac{2}{\\sqrt{k^{2}+1}}$, 所以 $\\triangle O P Q$ 的面积 $S_{\\triangle O P Q}=\\frac{1}{2} d|P Q|=$ \n\n$$\n\\frac{4 \\sqrt{4 k^{2}-3}}{1+4 k^{2}}\n$$\n\n设 $\\sqrt{4 k^{2}-3}=t$, 则 $t>0, S_{\\triangle 0 P Q}=\\frac{4 t}{t^{2}+4}=\\frac{4}{t+\\frac{4}{t}} \\leqslant 1$,\n\n当且仅当 $\\mathrm{t}=2, k= \\pm \\frac{\\sqrt{7}}{2}$ 等号成立, 且满足 $\\triangle>0$,\n\n所以当 $\\triangle O P Q$ 的面积最大时, $\\mathrm{l}$ 的方程为: $y=\\frac{\\sqrt{7}}{2} x-2$ 或 $y=-\\frac{\\sqrt{7}}{2} x-2 . \\ldots$ （12 分\n",
            "analysis": "（I ）通过离心率得到 $a 、 c$ 关系, 通过 $A$ 求出 $a$, 即可求 $E$ 的方程; (II ) 设直线 $1: y=k x-2$, 设 $P\\left(x_{1}, y_{1}\\right), Q\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$ 将 $y=k x-2$ 代入 $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ , 利用 $\\triangle>0$, 求出 $k$ 的范围, 利用弦长公式求出 $|P Q|$, 然后求出 $\\triangle O P Q$ 的面 积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值， 然后求解直线方程.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们知道椭圆的离心率公式为 $e=\\sqrt{1-\\frac{b^{2}}{a^{2}}}$，由题目给出的离心率为 $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$，我们可以得到 $\\frac{b^{2}}{a^{2}}=1-\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}=1-\\frac{3}{4}=\\frac{1}{4}$，即 $b^{2}= \\frac{a^{2}}{4}$。\n\n再者，由于 $F$ 是椭圆的右焦点，所以 $F$ 的坐标为 $(ae,0)=(a\\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2},0)=(\\frac{a\\sqrt{3}}{2},0)$。又因为直线 $AF$ 的斜率为 $\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$，所以我们可以得到 $\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}=\\frac{-2-0}{0-\\frac{a\\sqrt{3}}{2}}=-\\frac{4}{a\\sqrt{3}}$，解得 $a=2\\sqrt{3}$。\n\n代入 $b^{2}= \\frac{a^{2}}{4}$，我们可以得到 $b^{2}=3$，所以椭圆 $E$ 的方程为 $\\frac{x^{2}}{12}+\\frac{y^{2}}{3}=1$。<eoe>\n【答案】 椭圆 $E$ 的方程为 $\\frac{x^{2}}{12}+\\frac{y^{2}}{3}=1$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n设过点 $A$ 的直线 $I$ 的方程为 $y+2=k(x-0)$，其中 $k$ 是直线的斜率。由于直线 $I$ 与椭圆 $E$ 相交，所以我们可以将直线 $I$ 的方程代入椭圆 $E$ 的方程，得到 $\\frac{x^{2}}{12}+\\frac{(kx)^{2}}{3}=1$。解这个二次方程，我们可以得到 $x=\\frac{6}{\\sqrt{3k^{2}+4}}$ 或 $x=-\\frac{6}{\\sqrt{3k^{2}+4}}$。因此，点 $P,Q$ 的坐标分别为 $(\\frac{6}{\\sqrt{3k^{2}+4}},-2+\\frac{6k}{\\sqrt{3k^{2}+4}})$ 和 $(-\\frac{6}{\\sqrt{3k^{2}+4}},-2-\\frac{6k}{\\sqrt{3k^{2}+4}})$。\n\n由于 $\\triangle OPQ$ 的面积公式为 $S=\\frac{1}{2} \\cdot OP \\cdot OQ \\cdot \\sin \\angle POQ$，我们可以得到 $S=\\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot \\frac{6}{\\sqrt{3k^{2}+4}} \\cdot \\frac{6}{\\sqrt{3k^{2}+4}} \\cdot \\sin \\angle POQ$。由于 $\\angle POQ$ 是固定的，所以当 $\\triangle OPQ$ 的面积最大时，$\\frac{6}{\\sqrt{3k^{2}+4}}$ 必须最大，即 $k^{2}$ 必须最小。由于 $k$ 是直线的斜率，所以当 $k=0$ 时，$\\frac{6}{\\sqrt{3k^{2}+4}}$ 最大。所以，当 $\\triangle OPQ$ 的面积最大时，直线 $I$ 的方程为 $y+2=0$。<eoe>\n【答案】 当 $\\triangle OPQ$ 的面积最大时，直线 $I$ 的方程为 $y+2=0$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(I) 学生在计算椭圆的方程时，错误地将焦点坐标 $(ae,0)$ 理解为 $(a\\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2},0)$，并且错误地解出了 $a=2\\sqrt{3}$，这与标准答案中的 $a=2$ 不符。因此，学生的椭圆方程 $\\frac{x^{2}}{12}+\\frac{y^{2}}{3}=1$ 与标准答案 $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 不一致。学生的答案完全错误，不给分。【得分】0分\n\n(II) 学生在求解直线 $I$ 的方程时，错误地假设了直线 $I$ 与 $x$ 轴垂直，即斜率 $k=0$，这与题目要求的直线 $I$ 与椭圆相交并使得 $\\triangle OPQ$ 面积最大的条件不符。学生没有正确地使用题目中给出的条件，也没有正确地求解最大面积问题。因此，学生的答案完全错误，不给分。【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 26,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "21. （12 分）设函数 $f(x)=a e^{x} \\ln x+\\frac{b e^{x-1}}{x}$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处 得切线方程为 $y=e(x-1)+2$.\n(I) 求 $a 、 b$;\n( II ) 证明: $f(x)>1$.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 函数 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 的定义域为 $(0,+\\infty)$,\n\n$f^{\\prime}(x)=a e^{x} \\ln x+\\frac{a}{x} \\cdot e^{x}-\\frac{b}{x^{2}} \\cdot e^{x-1}+\\frac{b}{x} \\cdot e^{x-1}$,\n\n由题意可得 $f(1)=2, f^{\\prime}(1)=e$,\n\n故 $a=1, b=2$; (II) 由 ( I ) 知, $f(x)=e^{x} \\ln x+\\frac{2}{x} \\cdot e^{x-1}$,\n\n$\\because f(x)>1, \\quad \\therefore e^{x} \\ln x+\\frac{2}{x} \\cdot e^{x-1}>1, \\quad \\therefore \\ln x>\\frac{1}{e^{x}}-\\frac{2}{x e}$,\n\n$\\therefore f(x)>1$ 等价于 $x \\ln x>x e^{-x}-\\frac{2}{e}$, 设函数 $g(x)=x \\ln x$, 则 $g^{\\prime}(x)=1+\\ln x$,\n\n$\\therefore$ 当 $x \\in\\left(0, \\frac{1}{e}\\right)$ 时, $g^{\\prime}(x)<0$; 当 $x \\in\\left(\\frac{1}{e},+\\infty\\right)$ 时, $g^{\\prime}(x)>0$.\n\n故 $g(x)$ 在 $\\left(0, \\frac{1}{e}\\right)$ 上单调递减, 在 $\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},+\\infty\\right)$ 上单调递增, 从而 $g(x)$ 在 (\n\n$0,+\\infty)$ 上的最小值为 $g\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}}\\right)=-\\frac{1}{\\mathrm{e}}$.\n\n设函数 $h(x)=x e^{-x}-\\frac{2}{e}$, 则 $h^{\\prime}(x)=e^{-x}(1-x)$.\n\n$\\therefore$ 当 $x \\in(0,1)$ 时, $h^{\\prime}(x)>0$ ；当 $x \\in(1,+\\infty)$ 时, $h^{\\prime}(x)<0$,\n\n故 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增, 在 $(1,+\\infty)$ 上单调递减,\n\n从而 $h(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 上的最大值为 $h(1)=-\\frac{1}{e}$.\n\n综上，当 $x>0$ 时, $g(x)>h(x)$, 即 $f(x)>1$.\n",
            "analysis": "( I ）求出定义域, 导数 $f^{\\prime}(x)$, 根据题意有 $f(1)=2, f^{\\prime}(1)=e$, 解出即可;\n\n(II ) 由 ( I ) 知, $f(x)>1$ 等价于 $x \\ln x>x e^{-x}-\\frac{2}{x}$, 设函数 $g(x)=x \\ln x$, 函 数 $h(x)=x e^{-x}-\\frac{2}{e}$, 只需证明 $g(x)_{\\text {min }}>h(x){ }_{\\max }$, 利用导数可分别求得 $g$ (x) $\\min , h(x)_{\\max }$;\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要找到函数 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程。根据切线的定义，我们知道切线的斜率等于函数在该点的导数。所以我们首先需要找到函数 $f(x)$ 的导数。<eoe>\n\n【答案】\n函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x)=ae^x\\ln x + ae^x/x + be^x/x - be^{x-1}/x^2$。在点 $(1, f(1))$ 处，$f'(1)=a+b$。根据题目，切线的斜率等于 $e$，所以我们有 $a+b=e$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n接下来，我们需要找到函数 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 的值。根据题目，切线的截距等于 $f(1)+1$。所以我们需要找到 $f(1)$ 的值。<eoe>\n\n【答案】\n函数 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 的值为 $f(1)=a+b$。根据题目，切线的截距等于 $2$，所以我们有 $a+b=2$。<eoa>\n\n(3)【解析】\n现在我们有两个方程 $a+b=e$ 和 $a+b=2$。这是一个二元一次方程组，我们可以通过解这个方程组找到 $a$ 和 $b$ 的值。<eoe>\n\n【答案】\n解二元一次方程组 $a+b=e$ 和 $a+b=2$，我们可以得到 $a=1$，$b=1$。<eoa>\n\n(4)【解析】\n接下来，我们需要证明 $f(x)>1$。我们可以通过找到函数 $f(x)$ 的最小值来证明这一点。由于函数 $f(x)$ 是一个指数函数和对数函数的组合，我们知道它在 $(0, \\infty)$ 上是单调递增的。所以，我们只需要找到函数在 $x=1$ 处的值，即 $f(1)$。<eoe>\n\n【答案】\n函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的值为 $f(1)=a+b=2$。所以，对于所有的 $x>1$，我们有 $f(x)>f(1)=2>1$。所以，我们证明了 $f(x)>1$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求导数的过程中正确地写出了导数的表达式，但是在计算 $f'(1)$ 时错误地得出了 $f'(1)=a+b$，实际上应该是 $f'(1)=ae+be^{-1}$。因此，这一部分的分析是错误的。【得分】0分\n\n(2) 学生在计算 $f(1)$ 的值时错误地认为 $f(1)=a+b$，实际上应该是 $f(1)=ae+be^{-1}$。因此，这一部分的分析也是错误的。【得分】0分\n\n(3) 学生在解二元一次方程组时错误地得出了 $a=1$，$b=1$，而正确答案应该是 $a=1$，$b=2$。因此，这一部分的答案是错误的。【得分】0分\n\n(4) 学生在证明 $f(x)>1$ 时错误地认为函数 $f(x)$ 在 $(0, \\infty)$ 上是单调递增的，这是不正确的。实际上，需要通过比较 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的最小值和最大值来证明。学生没有进行这一步骤，因此这一部分的证明是错误的。【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 27,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 已知曲线 C: $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{9}=1$, 直线 $\\mid:\\left\\{\\begin{array}{l}x=2+t \\\\ y=2-2 t\\end{array}\\right.$ (t 为参数 )\n\n( I ) 写出曲线 $\\mathrm{C}$ 的参数方程, 直线 I 的普通方程.\n\n(II) 过曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作与 $I$ 夹角为 $30^{\\circ}$ 的直线, 交 $\\mid$ 于点 $A$, 求 $|P A|$ 的最 大值与最小值.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 对于曲线 $c: \\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{9}=1$, 可令 $\\mathrm{x}=2 \\cos \\theta 、 \\mathrm{y}=3 \\sin \\theta$,\n\n故曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\theta \\\\ y=3 \\sin \\theta\\end{array}\\right.$, ( $\\theta$ 为参数).\n\n对于直线 I: $\\left\\{\\begin{array}{ll}x=2+t & (1) \\\\ y=2-2 t & (2)\\end{array}\\right.$,\n\n由(1)得: $t=x-2$, 代入(2)并整理得: $2 x+y-6=0$;\n\n(II ) 设曲线 $C$ 上任意一点 $P(2 \\cos \\theta, 3 \\sin \\theta)$.\n\n$P$ 到直线 I 的距离为 $\\mathrm{d}=\\frac{\\sqrt{5}}{5}|4 \\cos \\theta+3 \\sin \\theta-6|$.\n\n则 $|P A|=\\frac{d}{\\sin 30^{\\circ}}=\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}|5 \\sin (\\theta+\\alpha)-6|$, 其中 $\\alpha$ 为锐角.\n\n当 $\\sin (\\theta+\\alpha)=-1$ 时, $|P A|$ 取得最大值, 最大值为 $\\frac{22 \\sqrt{5}}{5}$.\n\n当 $\\sin (\\theta+\\alpha)=1$ 时, $|P A|$ 取得最小值, 最小值为 $\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$.\n",
            "analysis": "( I ) 联想三角函数的平方关系可取 $\\mathrm{x}=2 \\cos \\theta 、 \\mathrm{y}=3 \\sin \\theta$ 得曲线 $\\mathrm{C}$ 的参数 方程, 直接消掉参数 $\\mathrm{t}$ 得直线 I 的普通方程;\n\n(II ) 设曲线 $C$ 上任意一点 $P(2 \\cos \\theta, 3 \\sin \\theta)$. 由点到直线的距离公式得到 $P$ 到直线 I 的距离, 除以\n\n$\\sin 30^{\\circ}$ 进一步得到 $|P A|$, 化积后由三角函数的范围求得 $|P A|$ 的最大值与最小值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要将曲线C和直线I的方程转化为参数方程和普通方程。\n\n对于曲线C，它是一个椭圆，我们可以选择角度作为参数，将其转化为参数方程。对于直线I，它是一个参数方程，我们可以消去参数t，将其转化为普通方程。<eoe>\n\n【答案】 \n对于曲线C，选择角度θ作为参数，可以得到参数方程为：x=2cosθ，y=3sinθ。\n\n对于直线I，消去参数t，得到普通方程为：y=-2x+4。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n然后，我们需要求过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线，交I于点A，|PA|的最大值与最小值。\n\n首先，我们需要找到直线I和曲线C的交点，然后通过这些交点，我们可以找到与直线I夹角为30°的直线的方程。然后，我们可以通过这些直线的方程，找到它们与曲线C的交点，即点P。最后，我们可以通过点P和点A的坐标，求出|PA|的最大值和最小值。<eoe>\n\n【答案】 \n将直线I的普通方程y=-2x+4代入曲线C的参数方程x=2cosθ，y=3sinθ，得到-2*2cosθ+4=3sinθ，解得cosθ=1/2，sinθ=√3/2或-√3/2，所以θ=π/3或-π/3。\n\n所以，直线I和曲线C的交点为A1(2cos(π/3),3sin(π/3))和A2(2cos(-π/3),3sin(-π/3))。\n\n过点A1作与直线I夹角为30°的直线的方程为y-3sin(π/3)=tan(60°)(x-2cos(π/3))，解得y=x√3-2√3。\n\n过点A2作与直线I夹角为30°的直线的方程为y-3sin(-π/3)=tan(60°)(x-2cos(-π/3))，解得y=x√3+2√3。\n\n将这两个直线的方程代入曲线C的参数方程，得到P1(2cos(π/3-π/6),3sin(π/3-π/6))和P2(2cos(-π/3-π/6),3sin(-π/3-π/6))。\n\n所以，|PA1|=√[(2cos(π/3-π/6)-2cos(π/3))^2+(3sin(π/3-π/6)-3sin(π/3))^2]=√3，|PA2|=√[(2cos(-π/3-π/6)-2cos(-π/3))^2+(3sin(-π/3-π/6)-3sin(-π/3))^2]=√3。\n\n所以，|PA|的最大值和最小值都是√3。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在第一部分正确地给出了曲线C的参数方程，但是在直线I的普通方程中犯了错误，正确的普通方程应该是$2x+y-6=0$，而学生给出的是$y=-2x+4$。因此，这部分只能给部分分数。\n\n(2) 存在多个错误。首先，学生没有正确理解题目中的条件，即过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线，并没有正确求出这样的直线。其次，学生错误地将直线I与曲线C的交点作为了求解|PA|的最大值与最小值的起点，这与题目要求不符。最后，学生给出的|PA|的最大值和最小值都是√3，这与标准答案中的$\\frac{22\\sqrt{5}}{5}$和$\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$不一致。因此，这部分不能给分。\n\n【得分】\n(1) 参数方程正确，给3分；直线普通方程错误，不给分。共3分。\n(2) 没有正确理解题目要求，计算过程和结果均错误，不给分。\n\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 28,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "24. 若 $a>0, b>0$, 且 $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}=\\sqrt{a b}$.\n\n( I ) 求 $a^{3}+b^{3}$ 的最小值;\n\n（II ) 是否存在 $a, b$, 使得 $2 a+3 b=6$ ? 并说明理由.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) $\\because a>0, b>0$, 且 $\\frac{1}{\\mathrm{a}}+\\frac{1}{\\mathrm{~b}}=\\sqrt{\\mathrm{ab}}$,\n\n$\\therefore \\sqrt{a b}=\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b} \\geqslant 2 \\sqrt{\\frac{1}{a b}}, \\quad \\therefore a b \\geqslant 2$,\n\n当且仅当 $a=b=\\sqrt{2}$ 时取等号.\n\n$\\because a^{3}+b^{3} \\geqslant 2 \\sqrt{(a b)^{3}} \\geqslant 2 \\sqrt{2^{3}}=4 \\sqrt{2}$, 当且仅当 $a=b=\\sqrt{2}$ 时取等号,\n\n$\\therefore a^{3}+b^{3}$ 的最小值为 $4 \\sqrt{2}$.\n\n(II) $\\because 2 a+3 b \\geqslant 2 \\sqrt{2 a \\cdot 3 b}=2 \\sqrt{6 a b}$, 当且仅当 $2 a=3 b$ 时, 取等号.\n\n而由 (1) 可知, $2 \\sqrt{6 a b} \\geqslant 2 \\sqrt{12}=4 \\sqrt{3}>6$,\n\n故不存在 $a, b$, 使得 $2 a+3 b=6$ 成立.\n",
            "analysis": "( I ) 由条件利用基本不等式求得 $a b \\geqslant 2$, 再利用基本不等式求得 $a^{3}+b^{3}$ 的最小值.\n\n(II ) 根据 $a b \\geqslant 2$ 及基本不等式求的 $2 a+3 b>8$, 从而可得不存在 $a, b$, 使得 $2 a+3 b=6$\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n对于求 $a^{3}+b^{3}$ 的最小值，我们可以先将原式子进行变形，使其更易于求解。\n原式子可以变形为 $ab=\\frac{1}{\\sqrt{a b}}$，即 $a^2b^2=1$，即 $ab=1$。\n然后我们可以将 $a^{3}+b^{3}$ 变形为 $(a+b)(a^2-ab+b^2)$，然后代入 $ab=1$，得到 $(a+b)(a^2-1+b^2)$。\n我们知道，当 $a=b$ 时，$a+b$ 取得最小值，所以我们可以将 $a$ 代入 $b$，得到 $2a(2a^2-1)$。\n然后对这个式子求导，得到 $4a^3-2a$，令其等于0，得到 $a=\\frac{1}{\\sqrt[3]{2}}$，代入原式，得到最小值。\n<eoe>\n【答案】 \n首先，我们将原式子变形为 $ab=1$，然后我们将 $a^{3}+b^{3}$ 变形为 $(a+b)(a^2-1+b^2)$，然后代入 $ab=1$，得到 $(a+b)(a^2-1+b^2)$。\n然后我们令 $a=b$，得到 $2a(2a^2-1)$，然后对这个式子求导，得到 $4a^3-2a$，令其等于0，得到 $a=\\frac{1}{\\sqrt[3]{2}}$，代入原式，得到最小值为 $\\frac{4\\sqrt[3]{4}}{3}$。\n<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于是否存在 $a, b$, 使得 $2 a+3 b=6$，我们可以先将这个式子变形为 $a=\\frac{6-3b}{2}$，然后代入原式，看是否有解。\n原式子为 $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}=\\sqrt{a b}$，代入 $a=\\frac{6-3b}{2}$，得到 $\\frac{2}{6-3b}+\\frac{1}{b}=\\sqrt{\\frac{6-3b}{2}b}$。\n然后我们可以对这个式子进行求解，看是否有解。\n<eoe>\n【答案】 \n我们将 $2 a+3 b=6$ 变形为 $a=\\frac{6-3b}{2}$，然后代入原式 $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}=\\sqrt{a b}$，得到 $\\frac{2}{6-3b}+\\frac{1}{b}=\\sqrt{\\frac{6-3b}{2}b}$。\n然后我们对这个式子进行求解，发现这个方程无解，所以不存在 $a, b$，使得 $2 a+3 b=6$。\n<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求 $a^{3}+b^{3}$ 的最小值时，错误地将条件 $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}=\\sqrt{ab}$ 变形为 $ab=1$，这是错误的。正确的变形应该是基于原条件推导出 $ab \\geq 2$。学生的解法没有正确使用条件，因此整个解答过程是错误的。学生的答案与标准答案不符，因此这部分得0分。\n\n(2) 学生在分析是否存在 $a, b$ 使得 $2a+3b=6$ 时，尝试将 $2a+3b=6$ 变形为 $a=\\frac{6-3b}{2}$ 并代入原条件进行求解。虽然学生的方法不是最直接的，但是他们正确地得出了不存在这样的 $a, b$ 的结论。然而，学生没有正确地使用 $ab \\geq 2$ 的结论来直接得出 $2a+3b>6$，而是通过解方程的方法得出结论。由于最终结论是正确的，可以给予部分分数。这部分可以给予3分。\n\n【得分】\n(1) 得分：0分\n(2) 得分：3分\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 29,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) 已知数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}+1$.\n\n（I ) 证明 $\\left\\{a_{n}+\\frac{1}{2}\\right\\}$ 是等比数列, 并求 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式;\n\n（II）证明: $\\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\ldots+\\frac{1}{a_{n}}<\\frac{3}{2}$.\n",
            "standard_answer": "证明 ( I ) $\\frac{a_{n+1}+\\frac{1}{2}}{a_{n}+\\frac{1}{2}}=\\frac{3 a_{n}+1+\\frac{1}{2}}{a_{n}+\\frac{1}{2}}=\\frac{3\\left(a_{n}+\\frac{1}{2}\\right)}{a_{n}+\\frac{1}{2}}=3$,\n\n$\\because a_{1}+\\frac{1}{2}=\\frac{3}{2} \\neq 0$\n\n$\\therefore$ 数列 $\\left\\{a_{n}+\\frac{1}{2}\\right\\}$ 是以首项为 $\\frac{3}{2}$, 公比为 3 的等比数列;\n\n$\\therefore a_{n}+\\frac{1}{2}=\\frac{3}{2} \\times 3^{n-1}=\\frac{3^{n}}{2}$, 即 $a_{n}=\\frac{3^{n}-1}{2}$;\n\n(II ) 由 ( I ) 知 $\\frac{1}{a_{n}}=\\frac{2}{3^{n}-1}$,\n\n当 $n \\geqslant 2$ 时, $\\because 3^{n-} 1>3^{n-} 3^{n-1}, \\therefore \\frac{1}{a_{n}}=\\frac{2}{3^{n}-1}<\\frac{2}{3^{n}-3^{n-1}}=\\frac{1}{3^{n-1}}$,\n\n$\\therefore$ 当 $n=1$ 时, $\\frac{1}{a_{1}}=1<\\frac{3}{2}$ 成立,\n\n当 $n \\geqslant 2$ 时, $\\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\ldots+\\frac{1}{a_{n}}<1+\\frac{1}{3}+\\frac{1}{3^{2}}+\\ldots+\\frac{1}{3^{n-1}}=\\frac{1-\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n}}{1-\\frac{1}{3}}=\\frac{3}{2}\\left(1-\\frac{1}{3^{n}}\\right)<\\frac{3}{2}$.\n\n$\\therefore$ 对 $n \\in N_{+}$时, $\\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\ldots+\\frac{1}{a_{n}}<\\frac{3}{2}$.\n",
            "analysis": "( I ) 根据等比数列的定义, 后一项与前一项的比是常数, 即 $\\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=$ 常 数, 又首项不为 0 , 所以为等比数列;\n\n再根据等比数列的通项化式, 求出 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式;\n\n(II) 将 $\\frac{1}{a_{n}}$ 进行放大, 即将分母缩小, 使得构成一个等比数列, 从而求和, 证 明不等式.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n对于第一问，我们可以通过归纳法来证明$\\left\\{a_{n}+\\frac{1}{2}\\right\\}$是等比数列。首先，当$n=1$时，$a_1+1/2=1+1/2=3/2$，当$n=2$时，$a_2+1/2=3a_1+1+1/2=3(3/2)=9/2$，所以$\\frac{a_2+1/2}{a_1+1/2}=3$。然后，假设当$n=k$时，$\\frac{a_k+1/2}{a_{k-1}+1/2}=3$，我们需要证明当$n=k+1$时，$\\frac{a_{k+1}+1/2}{a_k+1/2}=3$。由于$a_{k+1}=3a_k+1$，所以$\\frac{a_{k+1}+1/2}{a_k+1/2}=\\frac{3a_k+1+1/2}{a_k+1/2}=3$。所以$\\left\\{a_{n}+\\frac{1}{2}\\right\\}$是等比数列，且公比为3。然后，我们可以通过等比数列的通项公式来求$\\left\\{a_{n}\\right\\}$的通项公式。设$b_n=a_n+1/2$，则$b_n=b_1*3^{n-1}$，所以$a_n=b_n-1/2=(3/2)*3^{n-1}-1/2=3^n/2-1/2$。<eoe>\n【答案】 \n对于第一问，$\\left\\{a_{n}+\\frac{1}{2}\\right\\}$是等比数列，其公比为3。$\\left\\{a_{n}\\right\\}$的通项公式为$a_n=3^n/2-1/2$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于第二问，我们可以通过数学归纳法来证明。首先，当$n=1$时，$\\frac{1}{a_1}=\\frac{1}{1}=1<\\frac{3}{2}$，所以不等式成立。然后，假设当$n=k$时，$\\frac{1}{a_1}+\\frac{1}{a_2}+\\ldots+\\frac{1}{a_k}<\\frac{3}{2}$，我们需要证明当$n=k+1$时，$\\frac{1}{a_1}+\\frac{1}{a_2}+\\ldots+\\frac{1}{a_{k+1}}<\\frac{3}{2}$。由于$a_{k+1}=3a_k+1$，所以$\\frac{1}{a_{k+1}}=\\frac{1}{3a_k+1}<\\frac{1}{3a_k}=\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{a_k}$。所以$\\frac{1}{a_1}+\\frac{1}{a_2}+\\ldots+\\frac{1}{a_{k+1}}<\\frac{1}{a_1}+\\frac{1}{a_2}+\\ldots+\\frac{1}{a_k}+\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{a_k}<\\frac{3}{2}+\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{a_k}<\\frac{3}{2}$。所以，对于所有的正整数$n$，都有$\\frac{1}{a_1}+\\frac{1}{a_2}+\\ldots+\\frac{1}{a_n}<\\frac{3}{2}$。<eoe>\n【答案】 \n对于第二问，对于所有的正整数$n$，都有$\\frac{1}{a_1}+\\frac{1}{a_2}+\\ldots+\\frac{1}{a_n}<\\frac{3}{2}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在第一问中正确证明了数列 $\\left\\{a_{n}+\\frac{1}{2}\\right\\}$ 是等比数列，并且正确求出了 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式。学生的解析过程虽然使用了归纳法，但最终得出了正确的结论。因此，第一问可以给满分。\n\n(2) 学生在第二问中尝试使用数学归纳法来证明不等式，但是证明过程不正确。学生没有正确地使用题目中的通项公式来证明不等式，而是错误地使用了 $\\frac{1}{a_{k+1}}<\\frac{1}{3a_k}$ 这一不等式，这是不正确的。学生没有正确地证明不等式，因此第二问不能给分。\n\n【得分】\n(1) 第一问正确，给满分 6 分。\n(2) 第二问错误，给 0 分。\n\n【总分】6分",
            "model_correction_score": [
                6.0
            ]
        },
        {
            "index": 30,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "21. （12 分）已知函数 $f(x)=e^{x}-e^{-x}-2 x$.\n\n(I) 讨论 $f(x)$ 的单调性;\n\n（II）设 $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)$, 当 $x>0$ 时, $g(x)>0$, 求 $b$ 的最大值; (III) 已知 $1.4142<\\sqrt{2}<1.4143$, 估计 $\\ln 2$ 的近似值（精确到 0.001 ）. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计 分, 作答时请写清题号.【选修 4-1：几何证明选讲】\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 由 $f(x)$ 得 $f^{\\prime}(x)=e^{x}+e^{-x}-2 \\geqslant 2 \\sqrt{e^{x} \\cdot e^{-x}}-2=0$,\n\n即 $f^{\\prime}(x) \\geqslant 0$, 当且仅当 $e^{x}=e^{-x}$ 即 $x=0$ 时, $f^{\\prime}(x)=0$,\n\n$\\therefore$ 函数 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 在 $\\mathrm{R}$ 上为增函数.\n\n( II ) $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)=e^{2 x}-e^{-2 x}-4 b\\left(e^{x}-e^{-x}\\right)+(8 b-4) x$,\n\n则 $g^{\\prime}(x)=2\\left[e^{2 x}+e^{-2 x}-2 b\\left(e^{x}+e^{-x}\\right)+(4 b-2)\\right]$\n\n$=2\\left[\\left(e^{x}+e^{-x}\\right)^{2}-2 b\\left(e^{x}+e^{-x}\\right)+(4 b-4)\\right]$\n\n$=2\\left(e^{x}+e^{-x}-2\\right)\\left(e^{x}+e^{-x}+2-2 b\\right)$.\n\n(1) $\\because e^{x}+e^{-x}>2, e^{x}+e^{-x}+2>4$,\n\n$\\therefore$ 当 $2 b \\leqslant 4$, 即 $b \\leqslant 2$ 时, $g^{\\prime}(x) \\geqslant 0$, 当且仅当 $x=0$ 时取等号,\n\n从而 $\\mathrm{g}(\\mathrm{x})$ 在 $\\mathrm{R}$ 上为增函数, 而 $\\mathrm{g}(0)=0$,\n\n$\\therefore \\mathrm{x}>0$ 时, $\\mathrm{g}(\\mathrm{x})>0$, 符合题意. (2) 当 $b>2$ 时, 若 $x$ 满 足 $2<e^{x+e^{-x}}<2 b-2$ 即 $\\left\\{\\begin{array}{l}2<e^{x}+e^{-x} \\\\ e^{x}+e^{-x}<2 b-2\\end{array}\\right.$, 得 $\\ln \\left(b-1-\\sqrt{b^{2}-2 b}\\right)<x<\\ln \\left(b-1+\\sqrt{b^{2}-2 b}\\right)$, 此时, $g^{\\prime}(x)<0$,\n\n又由 $g(0)=0$ 知, 当 $0<x \\leqslant \\ln \\left(b-1+\\sqrt{b^{2}-2 b}\\right)$ 时, $g(x)<0$, 不符合题意.\n\n综合(1)、(2)知, $b \\leqslant 2$, 得 $b$ 的最大值为 2 .\n\n(III) $\\because 1.4142<\\sqrt{2}<1.4143$, 根据（II ) 中 $g(x)=e^{2 x}-e^{-2 x}-4 b\\left(e^{x}-e^{-x}\\right)$ $+(8 b-4) x$,\n\n为了凑配 $\\ln 2$, 并利用 $\\sqrt{2}$ 的近似值, 故将 $\\ln \\sqrt{2}$ 即 $\\frac{1}{2} \\ln 2$ 代入 $g(x)$ 的解析式中, 得 $g(\\ln \\sqrt{2})=\\frac{3}{2}-2 \\sqrt{2} b+2(2 b-1) \\ln 2$.\n\n当 $b=2$ 时, 由 $g(x)>0$, 得 $g(\\ln \\sqrt{2})=\\frac{3}{2}-4 \\sqrt{2}+6 \\ln 2>0$,\n\n从而 $\\ln 2>\\frac{8 \\sqrt{2}-3}{12}>\\frac{8 \\times 1.4142-3}{12}=0.6928$;\n\n令 $\\ln \\left(b-1+\\sqrt{b^{2}-2 b}\\right)=\\ln \\sqrt{2}$, 得 $b=\\frac{3 \\sqrt{2}}{4}+1>2$, 当 $0<x \\leqslant \\ln \\left(b-1+\\sqrt{b^{2}-2 b}\\right)$ 时,\n\n由 $g(x)<0$, 得 $g(\\ln \\sqrt{2})=-\\frac{3}{2}-2 \\sqrt{2}+(3 \\sqrt{2}+2) \\ln 2<0$, 得 $\\ln 2<\\frac{18+\\sqrt{2}}{28}<\\frac{18+1.4143}{28}<0.6934$.\n\n所以 $\\ln 2$ 的近似值为 0.693 .\n",
            "analysis": "对第 ( I ) 问, 直接求导后, 利用基本不等式可达到目的;\n\n对第 (II) 问, 先验证 $g(0)=0$, 只需说明 $g(x)$ 在 $[0+\\infty)$ 上为增函数即可,\n\n从而问题转化为“判断 $g^{\\prime}(x)>0$ 是否成立”的问题;\n\n对第 (III) 问, 根据第 (II) 问的结论, 设法利用 $\\sqrt{2}$ 的近似值, 并寻求 $\\ln 2$, 于\n\n是在 $b=2$ 及 $b>2$ 的情况下分别计算g $(\\ln \\sqrt{2})$, 最后可估计 $\\ln 2$ 的近似值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n(I) 讨论 $f(x)$ 的单调性;\n首先，我们需要找到函数的导数。函数的导数可以帮助我们确定函数在哪些区间上是增加的，以及在哪些区间上是减少的。这是因为，如果导数在某个区间上是正的，那么函数在那个区间上是增加的。相反，如果导数在某个区间上是负的，那么函数在那个区间上是减少的。<eoe>\n\n【答案】\n首先，我们找到函数的导数。$f'(x)=e^{x}+e^{-x}-2$。\n然后，我们找到导数等于零的点，即解方程 $e^{x}+e^{-x}-2=0$，得到 $x=0$。\n当 $x<0$ 时，$f'(x)=e^{x}+e^{-x}-2<0$，所以函数在区间 $(-\\infty,0)$ 上是减少的。\n当 $x>0$ 时，$f'(x)=e^{x}+e^{-x}-2>0$，所以函数在区间 $(0,+\\infty)$ 上是增加的。\n所以，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\\infty,0)$ 上是单调减少的，在区间 $(0,+\\infty)$ 上是单调增加的。<eoa>\n\n(2)【解析】\n（II）设 $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)$, 当 $x>0$ 时, $g(x)>0$, 求 $b$ 的最大值;\n首先，我们需要找到使 $g(x)>0$ 的 $b$ 的值。我们可以通过将 $f(2x)$ 和 $4bf(x)$ 相减，并将结果设置为大于零来实现这一点。然后，我们可以解出 $b$，并找到使得不等式成立的 $b$ 的最大值。<eoe>\n\n【答案】\n首先，我们将 $f(x)$ 代入 $g(x)$，得到 $g(x)=e^{2x}-e^{-2x}-4x-4b(e^{x}-e^{-x}-2x)$。\n然后，我们将 $g(x)>0$，即 $e^{2x}-e^{-2x}-4x>4b(e^{x}-e^{-x}+2x)$。\n由于 $x>0$，所以 $e^{2x}-e^{-2x}-4x$ 是增函数，$4b(e^{x}-e^{-x}+2x)$ 是减函数，所以当它们在 $x=0$ 处相等时，$b$ 取最大值。\n所以，我们解方程 $e^{2*0}-e^{-2*0}-4*0=4b(e^{0}-e^{-0}+2*0)$，得到 $b=0$。\n所以，$b$ 的最大值是 $0$。<eoa>\n\n(3)【解析】\n(III) 已知 $1.4142<\\sqrt{2}<1.4143$, 估计 $\\ln 2$ 的近似值（精确到 0.001 ）.\n我们知道，$\\ln 2$ 是自然对数的基数 $e$ 需要乘以多少次才能得到 $2$。我们可以通过使用已知的 $\\sqrt{2}$ 的近似值来估计 $\\ln 2$。因为 $e^{\\ln 2} = 2$，我们可以将 $\\ln 2$ 看作是满足 $e^x = 2$ 的 $x$ 的值。因此，我们可以通过解这个方程来找到 $\\ln 2$ 的近似值。<eoe>\n\n【答案】\n我们知道，$\\ln 2 = \\ln(\\sqrt{2}*\\sqrt{2}) = 2\\ln\\sqrt{2}$。\n因为 $\\sqrt{2}$ 的近似值在 $1.4142$ 和 $1.4143$ 之间，所以 $\\ln\\sqrt{2}$ 的近似值在 $\\ln1.4142$ 和 $\\ln1.4143$ 之间。\n我们可以使用对数的性质和近似计算来得到 $\\ln\\sqrt{2}$ 的近似值，然后将其乘以 $2$ 来得到 $\\ln 2$ 的近似值。\n通过计算，我们可以得到 $\\ln1.4142 \\approx 0.346$ 和 $\\ln1.4143 \\approx 0.347$，所以 $\\ln\\sqrt{2}$ 的近似值在 $0.346$ 和 $0.347$ 之间。\n因此，$\\ln 2$ 的近似值在 $2*0.346 = 0.692$ 和 $2*0.347 = 0.694$ 之间。\n所以，$\\ln 2$ 的近似值（精确到 $0.001$）可以取为 $0.693$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(I) 学生在分析过程中没有正确地求出导数 $f'(x)$ 的符号，也没有正确地讨论函数的单调性。学生错误地认为当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$，这与标准答案中的 $f'(x) \\geqslant 0$ 相矛盾。因此，该部分给分为0分。\n\n(II) 学生在分析过程中没有正确地处理函数 $g(x)$，并且错误地得出了 $b$ 的最大值为0，这与标准答案中的 $b$ 的最大值为2相矛盾。因此，该部分给分为0分。\n\n(III) 学生正确地使用了 $\\sqrt{2}$ 的近似值来估计 $\\ln 2$ 的近似值，并且得出了正确的结果 $0.693$。该部分给分为满分。\n\n【得分】\n(I) 0分\n(II) 0分\n(III) 12分\n\n【总分】12分",
            "model_correction_score": [
                12.0
            ]
        },
        {
            "index": 31,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 在直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\\rho=2 \\cos \\theta, \\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$\n\n(I) 求 C 的参数方程;\n\n(II ) 设点 $D$ 在半圆 $C$ 上, 半圆 $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $I: y=\\sqrt{3} x+2$ 垂直, 根据 （1）中你得到的参数方程, 求直线 $C D$ 的倾斜角及 $D$ 的坐标. 六、解答题（共 1 小题, 满分 0 分）\n",
            "standard_answer": "解 (1) 由半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\\rho=2 \\cos \\theta, \\theta \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$, 即 $\\rho^{2}=2 \\rho \\cos \\theta$ , 可得 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1(0 \\leqslant y \\leqslant 1)$.\n\n可得 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=1+\\cos t \\\\ y=\\sin t\\end{array}(t\\right.$ 为参数, $0 \\leqslant t \\leqslant \\pi)$. (2) 设 $D(1+\\cos t, \\sin t)$, 由 (1) 知 $C$ 是以 $C(1,0)$ 为圆心, 1 为半径的 上半圆，\n\n$\\because$ 直线 $C D$ 的斜率与直线 $\\mathrm{l}$ 的斜率相等, $\\therefore \\operatorname{tant}=\\sqrt{3}, \\mathrm{t}=\\frac{\\pi}{3}$.\n\n故 $D$ 的直角坐标为 $\\left(1+\\cos \\frac{\\pi}{3}, \\sin \\frac{\\pi}{3}\\right)$, 即 $\\left(\\frac{3}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$.\n",
            "analysis": "（1）利用 $\\left\\{\\begin{array}{c}\\rho^{2}=x^{2}+y^{2} \\\\ x=\\rho \\cos \\theta\\end{array}\\right.$ 即可得出直角坐标方程, 利用 $\\cos ^{2} t+\\sin ^{2} t=1$ 进 而得出参数方程.\n\n(2) 利用半圆 $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $\\mid: y=\\sqrt{3} x+2$ 垂直, 则直线 $C D$ 的斜率与直 线 I 的斜率相等, 即可得出直线 $C D$ 的倾斜角及 $D$ 的坐标.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要将极坐标方程转换为参数方程。在极坐标系中，我们有两个参数，即半径ρ和角度θ。我们已经知道ρ=2cosθ，θ∈[0,π/2]。我们可以将这个极坐标方程转换为参数方程，方法是使用极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ。将ρ=2cosθ代入这两个公式，我们就可以得到参数方程。<eoe>\n\n【答案】 \n参数方程为：x=2cos^2θ，y=2cosθsinθ，其中θ∈[0,π/2]。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n我们知道，如果两条直线垂直，那么它们的斜率的乘积应该是-1。给定直线I的方程为y=√3x+2，所以它的斜率是√3。因此，半圆C在点D处的切线的斜率应该是-1/√3。我们可以通过求参数方程的导数来找到半圆C的斜率。然后，我们可以通过将斜率设置为-1/√3来找到θ的值，然后将θ的值代入参数方程，就可以找到点D的坐标。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们求参数方程的导数。对于x=2cos^2θ，我们有dx/dθ=-4cosθsinθ；对于y=2cosθsinθ，我们有dy/dθ=2cos^2θ-2sin^2θ。因此，dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=(2cos^2θ-2sin^2θ)/(-4cosθsinθ)=-1/(2tanθ)。我们将这个斜率设置为-1/√3，解得θ=π/6。将θ=π/6代入参数方程，我们得到点D的坐标为(x,y)=(3/2,√3/2)。因此，直线CD的倾斜角为π/6，点D的坐标为(3/2,√3/2)。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在转换极坐标方程到参数方程时，使用了正确的方法，但是在计算过程中出现了错误。正确的参数方程应该是 $x=1+\\cos t$ 和 $y=\\sin t$，而学生给出的是 $x=2\\cos^2\\theta$ 和 $y=2\\cos\\theta\\sin\\theta$。这是一个计算错误，但是学生理解了如何从极坐标转换到参数方程的方法。因此，可以给予部分分数。对于这一部分，可以给予3分。\n\n(2) 学生在求解切线斜率和点D坐标的过程中，正确地使用了导数的概念，但是在计算过程中出现了错误。正确的θ值应该是 $\\frac{\\pi}{3}$，而学生给出的是 $\\frac{\\pi}{6}$。此外，学生没有正确地使用参数方程来求解点D的坐标。因此，这一部分的答案是错误的。但是，学生理解了如何使用导数来求解切线斜率，并尝试解决问题。因此，可以给予部分分数。对于这一部分，可以给予2分。\n\n【得分】\n(1) 3分\n(2) 2分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 32,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "24. 设函数 $f(x)=\\left|x+\\frac{1}{a}\\right|+|x-a|(a>0)$.\n\n( I ) 证明: $f(x) \\geqslant 2$;\n\n(II) 若 $\\mathrm{f}(3)<5$, 求 $\\mathrm{a}$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 证明: $\\because a>0, f(x)=\\left|x+\\frac{1}{a}\\right|+|x-a| \\geqslant \\mid\\left(x+\\frac{1}{a}\\right)-(x-a$ ) $|=| a+\\frac{1}{a} \\mid=a+\\frac{1}{a} \\geqslant 2 \\sqrt{a \\cdot \\frac{1}{a}}=2$,\n\n故不等式 $f(x) \\geqslant 2$ 成立.\n\n( II ) $\\because f(3)=\\left|3+\\frac{1}{a}\\right|+|3-a|<5$,\n\n$\\therefore$ 当 $a>3$ 时, 不等式即 $a+\\frac{1}{a}<5$, 即 $a^{2}-5 a+1<0$, 解得 $3<a<\\frac{5+\\sqrt{21}}{2}$.\n\n当 $0<a \\leqslant 3$ 时, 不等式即 $6-a+\\frac{1}{a}<5$, 即 $a^{2}-a-1>0$, 求得 $\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}<a \\leqslant 3$.\n\n综上可得, $\\mathrm{a}$ 的取值范围 $\\left(\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}, \\frac{5+\\sqrt{21}}{2}\\right)$.\n",
            "analysis": "（I ）由 $a>0, f(x)=\\left|x+\\frac{1}{a}\\right|+|x-a|$, 利用绝对值三角不等式、基本 不等式证得 $f(x) \\geqslant 2$ 成立.\n\n(II) 由 $f(3)=\\left|3+\\frac{1}{a}\\right|+|3-a|<5$, 分当 $a>3$ 时和当 $0<a \\leqslant 3$ 时两种情况, 分 别去掉绝对值, 求得不等式的解集, 再取并集, 即得所求.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要证明$f(x) \\geqslant 2$。\n我们知道，绝对值函数的性质是：$|x| \\geqslant 0$，并且当$x=0$时，$|x|=0$。\n所以，我们可以得到$|x+\\frac{1}{a}| \\geqslant 0$，$|x-a| \\geqslant 0$。\n因此，$f(x)=\\left|x+\\frac{1}{a}\\right|+|x-a| \\geqslant 0+0=0$。\n然后，我们需要找到一个$x$，使得$f(x) = 2$。\n我们可以尝试$x=a$，此时$f(x)=\\left|a+\\frac{1}{a}\\right|+|a-a|=1+0=1$，这并不满足$f(x) \\geqslant 2$。\n我们再尝试$x=-\\frac{1}{a}$，此时$f(x)=\\left|-\\frac{1}{a}+\\frac{1}{a}\\right|+|-(-\\frac{1}{a}-a)|=0+|a+\\frac{1}{a}|=1+1=2$，这满足$f(x) \\geqslant 2$。\n所以，我们可以得出结论，$f(x) \\geqslant 2$。<eoe>\n【答案】证明完成。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n接下来，我们需要求出满足$f(3)<5$的$a$的取值范围。\n我们将$x=3$代入$f(x)$，得到$f(3)=\\left|3+\\frac{1}{a}\\right|+|3-a|$。\n我们需要找到$a$，使得$\\left|3+\\frac{1}{a}\\right|+|3-a|<5$。\n我们可以将这个不等式分为两部分来考虑，即$\\left|3+\\frac{1}{a}\\right|<5$和$|3-a|<5$。\n解这两个不等式，我们可以得到$a$的取值范围。<eoe>\n【答案】\n首先，我们解$\\left|3+\\frac{1}{a}\\right|<5$，得到$-5<3+\\frac{1}{a}<5$，解这个不等式，我们得到$\\frac{1}{8}<a<-\\frac{1}{2}$或$a>\\frac{1}{2}$。\n然后，我们解$|3-a|<5$，得到$-5<3-a<5$，解这个不等式，我们得到$-2<a<8$。\n综合以上两个结果，我们得到$a$的取值范围为$-2<a<-\\frac{1}{2}$或$\\frac{1}{2}<a<8$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在证明$f(x) \\geqslant 2$时的分析过程中，没有正确使用绝对值的三角不等式和基本不等式，而是错误地认为只需要找到一个$x$使得$f(x)=2$即可。学生没有正确证明对于所有的$x$，$f(x) \\geqslant 2$都成立。因此，这部分的证明是错误的。【得分】0分。\n\n(2) 学生在求$a$的取值范围时，没有正确理解题目中的条件$f(3)<5$，错误地将其分解为两个独立的不等式$\\left|3+\\frac{1}{a}\\right|<5$和$|3-a|<5$，并且解得的$a$的取值范围也是错误的。正确的做法应该是考虑$a>3$和$0<a \\leqslant 3$两种情况，然后分别去掉绝对值求解。学生的答案与标准答案不符，因此这部分也是错误的。【得分】0分。\n\n【总分】0分。",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 33,
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) $S_{n}$ 为数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_{n}>0, a_{n}{ }^{2}+2 a_{n}=4 S_{n}+3$\n\n(1) 求 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式:\n\n(II ) 设 $b_{n}=\\frac{1}{a_{n} a_{r+1}}$, 求数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 由 $a_{n}{ }^{2}+2 a_{n}=4 S_{n}+3$, 可知 $a_{n+1}{ }^{2}+2 a_{n+1}=4 S_{n+1}+3$\n\n两式相减得 $a_{n+1}{ }^{2}-a_{n}{ }^{2}+2\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right)=4 a_{n+1}$,\n\n即 $2\\left(a_{n+1}+a_{n}\\right)=a_{n+1}{ }^{2}-a_{n}{ }^{2}=\\left(a_{n+1}+a_{n}\\right)\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right)$,\n\n$\\because a_{n}>0, \\quad \\therefore a_{n+1}-a_{n}=2$,\n\n$\\because a_{1}^{2}+2 a_{1}=4 a_{1}+3$\n\n$\\therefore a_{1}=-1$ （舍）或 $a_{1}=3$,\n\n则 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是首项为 3 , 公差 $d=2$ 的等差数列,\n\n$\\therefore\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式 $a_{n}=3+2(n-1)=2 n+1$ :\n\n( II ) $\\because a_{n}=2 n+1$,\n\n$\\therefore b_{n}=\\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\\frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{2 n+1}-\\frac{1}{2 n+3}\\right)$,\n\n$\\therefore$ 数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{5}+\\frac{1}{5}-\\frac{1}{7}+\\ldots+\\frac{1}{2 n+1}-\\frac{1}{2 n+3}\\right)=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2 n+3}\\right)=$ $\\frac{\\mathrm{n}}{3(2 \\mathrm{n}+3)}$\n",
            "analysis": "(1）根据数列的递推关系, 利用作差法即可求 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式: (III) 求出 $b_{n}=\\frac{1}{a_{n} a_{r+1}}$, 利用裂项法即可求数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要找到数列$\\left\\{a_{n}\\right\\}$的通项公式。根据题目给出的条件，我们有$a_{n}{ }^{2}+2 a_{n}=4 S_{n}+3$。我们可以将这个等式重写为$a_{n}{ }^{2}+2 a_{n}-4 S_{n}=3$。然后，我们可以将这个等式重写为$(a_{n}+1)^{2}-4(S_{n}+1)=4$。这是一个完全平方的形式，我们可以通过求解这个等式来找到$a_{n}$的值。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们将等式$(a_{n}+1)^{2}-4(S_{n}+1)=4$重写为$(a_{n}+1)^{2}=4(S_{n}+1)+4$。然后，我们取平方根，得到$a_{n}+1=2\\sqrt{S_{n}+1}$。因此，$a_{n}=2\\sqrt{S_{n}+1}-1$。这就是数列$\\left\\{a_{n}\\right\\}$的通项公式。<eoa>\n\n(II)【解析】 \n接下来，我们需要找到数列$\\left\\{b_{n}\\right\\}$的前$n$项和。根据题目给出的条件，我们有$b_{n}=\\frac{1}{a_{n} a_{r+1}}$。我们可以将这个等式重写为$b_{n}=\\frac{1}{(2\\sqrt{S_{n}+1}-1)(2\\sqrt{S_{n+1}+1}-1)}$。然后，我们可以通过求和公式来找到数列$\\left\\{b_{n}\\right\\}$的前$n$项和。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们将等式$b_{n}=\\frac{1}{(2\\sqrt{S_{n}+1}-1)(2\\sqrt{S_{n+1}+1}-1)}$重写为$b_{n}=\\frac{1}{4(S_{n}+1)(S_{n+1}+1)-4(S_{n}+S_{n+1})+1}$。然后，我们可以通过求和公式来找到数列$\\left\\{b_{n}\\right\\}$的前$n$项和。我们可以看到，这是一个等差数列的和公式，所以我们可以直接使用公式来求解。因此，数列$\\left\\{b_{n}\\right\\}$的前$n$项和为$\\frac{n}{4(S_{n}+1)(S_{n+1}+1)-4(S_{n}+S_{n+1})+1}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分没有正确理解题目中的递推关系，错误地将给定的关系式重写为 $(a_{n}+1)^2-4(S_{n}+1)=4$，这是不正确的。学生没有使用作差法来求解通项公式，而是错误地尝试通过解方程来求解 $a_n$ 的值。学生给出的通项公式 $a_{n}=2\\sqrt{S_{n}+1}-1$ 是错误的。因此，第一部分得0分。\n\n(II) 学生在解析部分没有正确理解题目中的递推关系，错误地将 $b_n$ 表达为 $\\frac{1}{(2\\sqrt{S_{n}+1}-1)(2\\sqrt{S_{n+1}+1}-1)}$，这是不正确的。学生没有使用裂项法来求解数列 $\\{b_{n}\\}$ 的前 $n$ 项和，而是错误地尝试通过求和公式来求解。学生给出的数列 $\\{b_{n}\\}$ 的前 $n$ 项和的表达式也是错误的。因此，第二部分得0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 34,
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "20. (12 分) 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C: y=\\frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $:: y=k x+a(a>0)$ 交 于 $M, N$ 两点.\n\n(I) 当 $k=0$ 时, 分別求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程.\n\n( II) $y$ 轴上是否存在点 $P$, 使得当 $k$ 变动时, 总有 $\\angle O P M=\\angle O P N$ ? （说明理由 )\n",
            "standard_answer": "解：（1）联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=a \\\\ y=\\frac{x^{2}}{4}\\end{array}\\right.$ 不妨取 $M(2 \\sqrt{a}, a), N(-2 \\sqrt{a}, a)$,\n\n由曲线 $C: y=\\frac{x^{2}}{4}$ 可得: $y^{\\prime}=\\frac{x}{2}$,\n\n$\\therefore$ 曲线 C 在 $M$ 点处的切线斜率为 $\\frac{2 \\sqrt{a}}{2}=\\sqrt{a}$, 其切线方程为: $y^{-} a=\\sqrt{a}(x-2 \\sqrt{a})$, 化为 $\\sqrt{a} x-y-a=0$.\n\n同理可得曲线 $C$ 在点 $N$ 处的切线方程为: $\\sqrt{a} x+y+a=0$.\n\n(II) 存在符合条件的点 $(0,-a)$, 下面给出证明:\n\n设 $P(0, b)$ 满足 $\\angle O P M=\\angle O P N . M\\left(x_{1}, y_{1}\\right), N\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$, 直线 $P M, P N$ 的 斜率分别为: $k_{1}, k_{2}$.\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=k x+a \\\\ y=\\frac{x^{2}}{4}\\end{array}\\right.$, 化为 $x^{2}-4 k x-4 a=0$,\n\n$\\therefore x_{1}+x_{2}=4 k, x_{1} x_{2}=-4 a$.\n\n$\\therefore \\mathrm{k}_{1}+\\mathrm{k}_{2}=\\frac{\\mathrm{y}_{1}-\\mathrm{b}}{\\mathrm{x}_{1}}+\\frac{\\mathrm{y}_{2}-\\mathrm{b}}{\\mathrm{x}_{2}}=\\frac{2 \\mathrm{kx} \\mathrm{x}_{1}+(\\mathrm{a}-\\mathrm{b})\\left(\\mathrm{x}_{1}+\\mathrm{x}_{2}\\right)}{\\mathrm{x}_{1} \\mathrm{x}_{2}}=\\frac{\\mathrm{k}(\\mathrm{a}+\\mathrm{b})}{\\mathrm{a}}$.\n\n当 $b=-a$ 时, $k_{1}+k_{2}=0$, 直线 PM, PN 的倾斜角互补, $\\therefore \\angle \\mathrm{OPM}=\\angle \\mathrm{OPN}$\n\n$\\therefore$ 点 $P(0,-a)$ 符合条件.\n",
            "analysis": "(1) 联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=a \\\\ y=\\frac{x^{2}}{4}\\end{array}\\right.$, 可得交点 $M, N$ 的坐标, 由曲线 $C: y=\\frac{x^{2}}{4}$, 利用导 数的运算法则可得: $y^{\\prime}=\\frac{x}{2}$, 利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程.\n\n(II) 存在符合条件的点 $(0,-a)$, 设 $P(0, b)$ 满足 $\\angle O P M=\\angle O P N . M\\left(x_{1}\\right.$, $\\left.y_{1}\\right), N\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$, 直线 PM, PN 的斜率分别为: $k_{1}, k_{2}$. 直线方程与抛物线 方程联立化为 $x^{2}-4 k x-4 a=0$, 利用根与系数的关系、斜率计算公式可得 $k_{1}+k_{2}=$ $\\frac{k(a+b)}{a} \\cdot k_{1}+k_{2}=0 \\Leftrightarrow$ 直线 PM, $P N$ 的倾斜角互补 $\\Leftrightarrow \\angle O P M=\\angle O P N$. 即可证明.\n",
            "model_output": "(1)【解析】当k=0时，直线方程为y=a，与曲线C交于M，N两点，即满足y=a和y=x^2/4，解这个方程组可以得到M，N的坐标。然后利用导数求出曲线C在M，N两点处的切线方程。<eoe>\n【答案】\n首先，解方程组y=a和y=x^2/4，得到x^2=4a，所以x=2√a或x=-2√a，所以M，N的坐标为(2√a,a)和(-2√a,a)。\n曲线C的导数为y'=x/2，所以在M，N两点的切线斜率为√a和-√a，所以M，N两点处的切线方程分别为y=a+√a*(x-2√a)和y=a-√a*(x+2√a)。<eoa>\n\n(2)【解析】对于直线y=kx+a，当k变动时，直线的斜率变动，所以直线与x轴的夹角变动，所以∠OPM和∠OPN也会变动。所以，y轴上不存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN。<eoe>\n【答案】不存在。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生没有给出完整的解答过程，仅仅是描述了解题的思路，没有给出具体的计算和最终的切线方程。因此，这部分不能给分。\n(2) 学生的答案与标准答案不符，学生认为不存在这样的点P，但实际上存在点P(0, -a)满足条件。因此，这部分也不能给分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 35,
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "21. (12 分) 已知函数 $f(x)=x^{3}+a x+\\frac{1}{4}, g(x)=-\\ln x$\n\n(i) 当 $a$ 为何值时, $x$ 轴为曲线 $y=f(x)$ 的切线;\n\n（ii）用 $\\min \\{m, n\\}$ 表示 $m, n$ 中的最小值，设函数 $h(x)=\\min \\{f(x) ， g （ x)$ \\}$(x>0)$, 讨论 $h(x)$ 零点的个数.\n",
            "standard_answer": "解: （i） $f^{\\prime}(x)=3 x^{2}+a$.\n\n设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴相切于点 $P\\left(x_{0}, 0\\right)$, 则 $f\\left(x_{0}\\right)=0, f^{\\prime}\\left(x_{0}\\right)=0$,\n\n$$\n\\therefore\\left\\{\\begin{array}{l}\nx_{0}^{3}+a x_{0}+\\frac{1}{4}=0 \\\\\n3 x_{0}^{2}+a=0\n\\end{array} \\text {, 解得 } x_{0}=\\frac{1}{2}, a=-\\frac{3}{4} .\\right.\n$$\n\n因此当 $a=-\\frac{3}{4}$ 时, $x$ 轴为曲线 $y=f(x)$ 的切线;\n\n（ii）当 $x \\in(1,+\\infty)$ 时, $g(x)=-\\ln x<0$,\n\n$\\therefore$ 函数 $\\mathrm{h}(\\mathrm{x})=\\min \\{\\mathrm{f}(\\mathrm{x}), \\mathrm{g}(\\mathrm{x})\\}<0$,\n\n故 $h(x)$ 在 $x \\in(1,+\\infty)$ 时无零点.\n\n当 $x=1$ 时, 若 $a \\geqslant-\\frac{5}{4}$, 则 $f(1)=a+\\frac{5}{4} \\geqslant 0$,\n\n$\\therefore \\mathrm{h}(\\mathrm{x})=\\min \\{f(1), g(1)\\}=g(1)=0$, 故 $\\mathrm{x}=1$ 是函数 $\\mathrm{h}(\\mathrm{x})$ 的一个零点; 若 $a<-\\frac{5}{4}$, 则 $f(1)=a+\\frac{5}{4}<0, \\therefore h(x)=\\min \\{f(1), g(1)\\}=f(1)<0$, 故 $x=1$ 不是函数 $h(x)$ 的零点;\n\n当 $x \\in(0,1)$ 时, $g(x)=-\\ln x>0$, 因此只考虑 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内的零点个 数即可.\n\n(1)当 $a \\leqslant-3$ 或 $a \\geqslant 0$ 时, $f^{\\prime}(x)=3 x^{2}+a$ 在 $(0,1)$ 内无零点, 因此 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内单调,\n\n而 $f(0)=\\frac{1}{4}, f(1)=a+\\frac{5}{4} ， \\therefore$ 当 $a \\leqslant-3$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有一 个零点，\n\n当 $a \\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内没有零点.\n\n(2)当 $-3<a<0$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $\\left(0, \\sqrt{\\frac{-a}{3}}\\right)$ 内单调递减, 在 $\\left(\\sqrt{\\frac{-a}{3}}, 1\\right)$ 内单调 递增, 故当 $x=\\sqrt{\\frac{-a}{3}}$ 时, $f(x)$ 取得最小值 $f\\left(\\sqrt{\\frac{-a}{3}}\\right)=\\frac{2 a}{3} \\sqrt{\\frac{-a}{3}}+\\frac{1}{4}$. 若 $\\mathrm{f}\\left(\\sqrt{\\frac{-\\mathrm{a}}{3}}\\right)>0$, 即 $-\\frac{3}{4}<\\mathrm{a}<0$, 则 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 在 $(0,1)$ 内无零点. 若 $f\\left(\\sqrt{\\frac{-a}{3}}\\right)=0$, 即 $a=-\\frac{3}{4}$, 则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有唯一零点. 若 $\\mathrm{f}\\left(\\sqrt{\\frac{-\\mathrm{a}}{3}}\\right)<0$, 即 $-3<a<-\\frac{3}{4}$, 由 $\\mathrm{f}(0)=\\frac{1}{4}, f(1)=\\mathrm{a}+\\frac{5}{4}$, $\\therefore$ 当 $-\\frac{5}{4}<a<-\\frac{3}{4}$ 时, $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有两个零点. 当 $-3<a \\leqslant-\\frac{5}{4}$ 时, $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有一个零点.\n\n综上可得: $a<-\\frac{5}{4}$ 时, 函数 $h(x)$ 有一个零点.\n\n当 $a>-\\frac{3}{4}$ 时, $h(x)$ 有一个零点; 当 $a=-\\frac{3}{4}$ 或 $-\\frac{5}{4}$ 时, $h(x)$ 有两个零点;\n\n当 $-\\frac{5}{4}<a<-\\frac{3}{4}$ 时, 函数 $h(x)$ 有三个零点.\n",
            "analysis": "(i) $f^{\\prime}(x)=3 x^{2}+a$. 设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴相切于点 $P\\left(x_{0}, 0\\right)$, 则 $f($ $\\left.x_{0}\\right)=0, f^{\\prime}\\left(x_{0}\\right)=0$ 解出即可.\n\n（ii）对 $x$ 分类讨论: 当 $x \\in(1,+\\infty)$ 时, $g(x)=-\\ln x<0$, 可得函数 $h(x)=\\min$ $\\{f(x), g(x)\\} \\leqslant g(x)<0$, 即可得出零点的个数.\n\n当 $x=1$ 时，对 $a$ 分类讨论： $a \\geqslant-\\frac{5}{4}, a<-\\frac{5}{4}$, 即可得出零点的个数;\n\n当 $x \\in(0,1)$ 时, $g(x)=-\\ln x>0$, 因此只考虑 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内的零点个 数即可. 对 $a$ 分类讨论: (1)当 $a \\leqslant-3$ 或 $a \\geqslant 0$ 时, (2)当 $-3<a<0$ 时, 利用导 数研究其单调性极值即可得出.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n对于第一问，由题意知，$x$轴为曲线$y=f(x)$的切线，即存在$x_0$，使得$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=0$。我们可以先求出$f(x)$的导数，然后令$f(x)$和$f'(x)$等于0，解出$x_0$和$a$的值。<eoe>\n【答案】 \n首先，求出$f(x)$的导数$f'(x)=3x^2+a$。然后，令$f(x_0)=0$和$f'(x_0)=0$，得到\n$x_0^3+ax_0+\\frac{1}{4}=0$和$3x_0^2+a=0$。\n解这个方程组，得到$x_0=\\pm\\frac{1}{\\sqrt{3}}$，$a=-1$。\n所以，当$a=-1$时，$x$轴为曲线$y=f(x)$的切线。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于第二问，函数$h(x)=\\min\\{f(x),g(x)\\}$的零点即为$f(x)$和$g(x)$的交点。我们可以先求出$f(x)$和$g(x)$的交点，然后根据$a$的值讨论零点的个数。<eoe>\n【答案】 \n首先，令$f(x)=g(x)$，得到$x^3+ax+\\frac{1}{4}=-\\ln x$。\n当$a=-1$时，方程为$x^3-x+\\frac{1}{4}=-\\ln x$，解这个方程，得到$x=1$是方程的解，所以$h(x)$有一个零点。\n当$a\\neq-1$时，由于$f(x)$是一个上开口的立方函数，$g(x)$是一个下降的对数函数，所以$f(x)$和$g(x)$至少有一个交点，即$h(x)$至少有一个零点。\n所以，无论$a$取何值，$h(x)$的零点个数至少为1。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(i) 学生在解答第一问时，正确地求出了导数 $f'(x)=3x^2+a$，但是在解方程组时犯了错误，错误地得出了 $x_0=\\pm\\frac{1}{\\sqrt{3}}$ 和 $a=-1$。正确答案应该是 $x_0=\\frac{1}{2}$ 和 $a=-\\frac{3}{4}$。因此，学生的答案是错误的。第一问的分值为6分，由于学生的答案完全错误，因此给0分。\n\n(ii) 学生在解答第二问时，没有正确理解题目中的函数 $h(x)$ 的定义，也没有按照题目要求讨论 $h(x)$ 零点的个数。学生错误地认为 $h(x)$ 的零点个数至少为1，没有考虑到 $a$ 的不同取值对零点个数的影响。正确答案应该是根据 $a$ 的不同取值，$h(x)$ 的零点个数可能为1、2或3。因此，学生的答案是错误的。第二问的分值为6分，由于学生的答案完全错误，因此给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 36,
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}:\\left\\{\\begin{array}{l}x=t \\cos \\alpha \\\\ y=t \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数, $\\left.t \\neq 0\\right)$, 其中 $0 \\leqslant \\alpha$ $\\leqslant \\pi$, 在以 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 $C_{2}: \\rho=2 \\sin \\theta, C_{3}$ $: \\rho=2 \\sqrt{3} \\cos \\theta$\n\n(1) 求 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 交点的直角坐标; (2) 若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于点 $A, C_{1}$ 与 $C_{3}$ 相交于点 $B$, 求 $|A B|$ 的最大值.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 由曲线 $C_{2}: \\rho=2 \\sin \\theta$, 化为 $\\rho^{2}=2 \\rho \\sin \\theta$,\n\n$\\therefore x^{2}+y^{2}=2 y$.\n\n同理由 $C_{3}: \\rho=2 \\sqrt{3} \\cos \\theta$. 可得直角坐标方程: $x^{2}+y^{2}=2 \\sqrt{3} x$, 联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 y=0 \\\\ x^{2}+y^{2}-2 \\sqrt{3} x=0\\end{array}\\right.$,\n\n解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=0 \\\\ y=0\\end{array},\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\ y=\\frac{3}{2}\\end{array}\\right.\\right.$,\n\n$\\therefore C_{2}$ 与 $C_{3}$ 交点的直角坐标为 $(0,0),\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\frac{3}{2}\\right)$.\n\n(2) 曲线 $C_{1}:\\left\\{\\begin{array}{l}x=t \\cos \\alpha \\\\ y=t \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数, $\\left.t \\neq 0\\right)$, 化为普通方程: $y=x \\tan \\alpha$, 其中 0 $\\leqslant \\alpha \\leqslant \\pi, \\alpha \\neq \\frac{\\pi}{2} ; \\alpha=\\frac{\\pi}{2}$ 时, 为 $x=0(y \\neq 0)$. 其极坐标方程为: $\\theta=\\alpha(\\rho \\in R$, $\\rho \\neq 0)$\n\n$\\because A, B$ 都在 $C_{1}$ 上,\n\n$\\therefore A(2 \\sin \\alpha, \\alpha), B(2 \\sqrt{3} \\cos \\alpha, \\alpha)$.\n\n$\\therefore|A B|=|2 \\sin \\alpha-2 \\sqrt{3} \\cos \\alpha|=4\\left|\\sin \\left(\\alpha-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\right|$,\n\n当 $\\alpha=\\frac{5 \\pi}{6}$ 时, $|A B|$ 取得最大值 4 .\n",
            "analysis": "(1) 由曲线 $C_{2}: \\rho=2 \\sin \\theta$, 化为 $\\rho^{2}=2 \\rho \\sin \\theta$, 把 $\\left\\{\\begin{array}{c}\\rho^{2}=x^{2}+y^{2} \\\\ y=\\rho \\sin \\theta\\end{array}\\right.$ 代入可得直 角坐标方程. 同理由 $C_{3}: \\rho=2 \\sqrt{3} \\cos \\theta$. 可得直角坐标方程, 联立解出可得 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 交点的直角坐标.\n\n(2) 由曲线 $C_{1}$ 的参数方程, 消去参数 $t$, 化为普通方程: $y=x \\tan \\alpha$, 其中 $0 \\leqslant \\alpha \\leqslant$ $\\pi, \\alpha \\neq \\frac{\\pi}{2} ; \\alpha=\\frac{\\pi}{2}$ 时, 为 $x=0(y \\neq 0)$. 其极坐标方程为: $\\theta=\\alpha(\\rho \\in R, \\rho \\neq 0)$ , 利用 $|A B|=\\mid 2 \\sin \\alpha-2 \\sqrt{3} \\cos \\alpha$ 即可得出.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要找到曲线$C_2$和$C_3$的交点。由于这两个曲线都是在极坐标系中定义的，我们可以通过设置它们的极坐标等式相等来找到交点。即，我们需要解决以下等式：$2\\sin\\theta = 2\\sqrt{3}\\cos\\theta$。解这个等ation，我们可以找到满足条件的$\\theta$值。然后，我们可以使用极坐标到直角坐标的转换公式$x = \\rho\\cos\\theta$和$y = \\rho\\sin\\theta$，将这些$\\theta$值转换为直角坐标。<eoe>\n\n【答案】设$2\\sin\\theta = 2\\sqrt{3}\\cos\\theta$，解得$\\tan\\theta = \\sqrt{3}$，所以$\\theta = \\frac{\\pi}{3}$或$\\theta = \\frac{4\\pi}{3}$。当$\\theta = \\frac{\\pi}{3}$时，$\\rho = 2\\sin\\frac{\\pi}{3} = \\sqrt{3}$，所以交点的直角坐标为$(\\sqrt{3}\\cos\\frac{\\pi}{3}, \\sqrt{3}\\sin\\frac{\\pi}{3}) = (\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\frac{3}{2})$。当$\\theta = \\frac{4\\pi}{3}$时，$\\rho = 2\\sin\\frac{4\\pi}{3} = -\\sqrt{3}$，所以交点的直角坐标为$(-\\sqrt{3}\\cos\\frac{4\\pi}{3}, -\\sqrt{3}\\sin\\frac{4\\pi}{3}) = (\\frac{\\sqrt{3}}{2}, -\\frac{3}{2})$。<eoa>\n\n(2)【解析】我们需要找到曲线$C_1$与$C_2$和$C_3$的交点，然后计算这两个交点之间的距离。由于$C_1$是在直角坐标系中定义的，而$C_2$和$C_3$是在极坐标系中定义的，我们需要将$C_2$和$C_3$的极坐标等式转换为直角坐标等式，然后将这些等式与$C_1$的等式相等，以找到交点。然后，我们可以使用两点之间的距离公式计算这两个交点之间的距离。<eoe>\n\n【答案】将$C_2$和$C_3$的极坐标等式转换为直角坐标等式，得到$C_2: x^2 + y^2 = 4y$和$C_3: x^2 + y^2 = 12x$。将这两个等式与$C_1$的等式相等，得到$t\\cos\\alpha = 2\\sin\\alpha$和$t\\cos\\alpha = 2\\sqrt{3}\\cos\\alpha$。解这两个等式，得到$t = 2\\sqrt{3}$和$t = 2$。所以，$A$的坐标为$(2\\cos\\alpha, 2\\sin\\alpha)$，$B$的坐标为$(2\\sqrt{3}\\cos\\alpha, 2\\sqrt{3}\\sin\\alpha)$。使用两点之间的距离公式，得到$|AB| = \\sqrt{(2\\sqrt{3}\\cos\\alpha - 2\\cos\\alpha)^2 + (2\\sqrt{3}\\sin\\alpha - 2\\sin\\alpha)^2} = 2\\sqrt{3 - 1} = 2\\sqrt{2}$。所以，$|AB|$的最大值为$2\\sqrt{2}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地提出了解决方案，但是在计算过程中出现了错误。学生正确地得出了$\\tan\\theta = \\sqrt{3}$，但是在计算交点的直角坐标时，学生没有考虑到$\\theta = \\frac{4\\pi}{3}$时，$\\rho$应该是负值，因此交点的坐标应该是$(0,0)$，而不是$(\\frac{\\sqrt{3}}{2}, -\\frac{3}{2})$。因此，学生的答案部分正确，但是遗漏了原点这个交点。对于这一部分，可以给予一半的分数。\n\n(2) 子在解析部分正确地提出了解决方案，但是在计算过程中出现了错误。学生没有正确地将$C_1$的方程与$C_2$和$C_3$的方程联立求解，而是错误地将$C_2$和$C_3$的极坐标方程直接转换为直角坐标方程，并且错误地解出了$t$的值。此外，学生在计算$|AB|$的最大值时，没有正确地使用$|AB|=\\mid 2 \\sin \\alpha-2 \\sqrt{3} \\cos \\alpha$的公式，而是错误地使用了两点之间的距离公式，并且得出了错误的最大值$2\\sqrt{2}$。因此，这一部分学生的答案完全错误。\n\n【得分】\n(1) 由于学生的答案部分正确，可以给予一半的分数，即5分的一半，得2.5分。\n(2) 学生的答案完全错误，不得分。\n\n【总分】2.5分",
            "model_correction_score": [
                2.5
            ]
        },
        {
            "index": 37,
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "24. 设 $a, b, c, d$ 均为正数, 且 $a+b=c+d$, 证明:\n\n(1) 若 $a b>c d$, 则 $\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$;\n\n(2) $\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$ 是 $|a-b|<|c-d|$ 的充要条件.\n",
            "standard_answer": "证明: (1) 由于 $(\\sqrt{a}+\\sqrt{b})^{2}=a+b+2 \\sqrt{a b}$, $(\\sqrt{c}+\\sqrt{d})^{2}=c+d+2 \\sqrt{c d}$,\n\n由 $a, b, c, d$ 均为正数, 且 $a+b=c+d, a b>c d$, 则 $\\sqrt{a b}>\\sqrt{c d}$,\n\n即有 $(\\sqrt{a}+\\sqrt{b})^{2}>(\\sqrt{c}+\\sqrt{d})^{2}$, 则 $\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$;\n\n(2) (1)若 $\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$, 则 $(\\sqrt{a}+\\sqrt{b})^{2}>(\\sqrt{c}+\\sqrt{d})^{2}$, 即为 $a+b+2 \\sqrt{a b}>c+d+2 \\sqrt{c d}$,\n\n由 $a+b=c+d$, 则 $a b>c d$,\n\n于是 $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$,\n\n$(c-d)^{2}=(c+d)^{2}-4 c d$,\n\n即有 (a-b) ${ }^{2}<(c-d)^{2}$, 即为 $|a-b|<|c-d|$;\n\n(2)若 $|a-b|<|c-d|$, 则 (a- b ${ }^{2}<(c-d)^{2}$,\n\n即有 $(a+b)^{2}-4 a b<(c+d)^{2}-4 c d$,\n\n由 $a+b=c+d$, 则 $a b>c d$,\n\n则有 $(\\sqrt{a}+\\sqrt{b})^{2}>(\\sqrt{c}+\\sqrt{d})^{2}$.\n\n综上可得, $\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$ 是 $|a-b|<|c-d|$ 的充要条件.\n",
            "analysis": "(1）运用不等式的性质, 结合条件 $a, b, c, d$ 均为正数, 且 $a+b=c+d$ , $a b>c d$, 即可得证;\n\n（2）从两方面证, (1)若 $\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$, 证得 $|a-b|<|c-d|$, (2)若 $|a-b|<$ $|c-d|$, 证得 $\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$, 注意运用不等式的性质, 即可得证.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们知道$a+b=c+d$，所以我们可以将$c$和$d$表示为$a$和$b$的函数，即$c=a-x$，$d=b+x$，其中$x$为正数。然后，我们可以将原不等式$a b>c d$转化为$a b>(a-x)(b+x)$，即$a b>a b+x^2$，这是不可能的，因以此我们可以得出$x=0$，即$c=a$，$d=b$。然后我们可以将原不等式$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$转化为$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{a}+\\sqrt{b}$，这是显然成立的。所以，原不等式成立。<eoe>\n【答案】\n设$x=a-c=b-d$，则$a=c+x$，$b=d+x$，其中$x$为正数。原不等式$a b>c d$可转化为$(c+x)(d+x)>c d$，即$x^2+x(c+d)>0$，由于$c+d=a+b$，所以$x^2+x(a+b)>0$，由于$a,b,c,d$均为正数，所以$x>0$，即$c=a$，$d=b$。原不等式$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$可转化为$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{a}+\\sqrt{b}$，显然成立。所以，原不等式成立。<eoa>\n\n(2)【解析】\n首先，我们知道$a+b=c+d$，所以我们可以将$c$和$d$表示为$a$和$b$的函数，即$c=a-x$，$d=b+x$，其中$x$为正数。然后，我们可以将原不等式$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$转化为$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{a-x}+\\sqrt{b+x}$，即$x<\\sqrt{a}-\\sqrt{b}+\\sqrt{b}-\\sqrt{a-x}$，这是显然成立的，所以原不等式成立。另一方面，如果原不等式成立，那么我们可以得出$x<\\sqrt{a}-\\sqrt{b}+\\sqrt{b}-\\sqrt{a-x}$，即$|a-b|<|c-d|$，所以原不等式是$|a-b|<|c-d|$的充要条件。<eoe>\n【答案】\n设$x=a-c=b-d$，则$a=c+x$，$b=d+x$，其中$x$为正数。原不等式$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$可转化为$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{a-x}+\\sqrt{b+x}$，即$x<\\sqrt{a}-\\sqrt{b}+\\sqrt{b}-\\sqrt{a-x}$，显然成立。所以，原不等式成立。另一方面，如果原不等式成立，那么我们可以得出$x<\\sqrt{a}-\\sqrt{b}+\\sqrt{b}-\\sqrt{a-x}$，即$|a-b|<|c-d|$，所以原不等式是$|a-b|<|c-d|$的充要条件。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的解析和答案中，错误地假设了$c=a$和$d=b$，这是不正确的，因为题目中并没有给出这样的条件。学生的解法没有正确理解题目的要求，也没有正确应用不等式的性质。因此，这部分的解答是错误的，不给分。\n\n(2) 学生的解析和答案同样错误地假设了$c=a$和$d=b$，并且没有正确证明$\\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{c}+\\sqrt{d}$是$|a-b|<|c-d|$的充要条件。学生的解法没有正确运用不等式的性质，也没有按照标准答案的步骤进行证明。因此，这部分的解答也是错误的，不给分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 38,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $2 \\cos C$ ( $a \\cos B+b \\cos A)=c$.\n\n(I) 求 C;\n\n(II ) 若 $\\mathrm{c}=\\sqrt{7}, \\triangle \\mathrm{ABC}$ 的面积为 $\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}$, 求 $\\triangle \\mathrm{ABC}$ 的周长.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) $\\because$ 在 $\\triangle \\mathrm{ABC}$ 中, $0<C<\\pi, \\therefore \\sin C \\neq 0$\n\n已知等式利用正弦定理化简得: $2 \\cos C(\\sin A \\cos B+\\sin B \\cos A)=\\sin C$,\n\n整理得: $2 \\cos C \\sin (A+B)=\\sin C$,\n\n即 $2 \\cos C \\sin (\\pi-(A+B))=\\sin C$\n\n$2 \\cos C \\sin C=\\sin C$\n\n$\\therefore \\cos \\mathrm{C}=\\frac{1}{2}$,\n\n$\\therefore \\mathrm{C}=\\frac{\\pi}{3}$\n\n(II) 由余弦定理得 $7=\\mathrm{a}^{2}+\\mathrm{b}^{2}-2 \\mathrm{ab} \\cdot \\frac{1}{2}$,\n\n$\\therefore(a+b)^{2}-3 a b=7$\n\n$\\because \\mathrm{S}=\\frac{1}{2} \\mathrm{absinc}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} \\mathrm{ab}=\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}$,\n\n$\\therefore a b=6$,\n\n$\\therefore(a+b)^{2}-18=7$\n\n$\\therefore a+b=5$,\n\n$\\therefore \\triangle \\mathrm{ABC}$ 的周长为 $5+\\sqrt{7}$.\n",
            "analysis": "（Ｉ）已知等式利用正弦定理化简, 整理后利用两角和与差的正弦函数 公式及诱导公式化简, 根据 $\\sin C$ 不为 0 求出 $\\cos C$ 的值, 即可确定出出 $C$ 的度 数;\n\n(2) 利用余弦定理列出关系式, 利用三角形面积公式列出关系式, 求出 $\\mathrm{a}+\\mathrm{b}$ 的 值, 即可求 $\\triangle A B C$ 的周长.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n根据题目条件，我们可以将等式 $2 \\cos C (a \\cos B+b \\cos A)=c$ 转化为 $2 \\cos C (a \\cos B+b \\cos A)=2c \\cos C$。然后，我们可以利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos C$ 来求解 C。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们将等式 $2 \\cos C (a \\cos B+b \\cos A)=2c \\cos C$ 简化为 $a \\cos B+b \\cos A=c \\cos C$。然后，我们将这个等式代入余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos C$，得到 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos (\\frac{a \\cos B+b \\cos A}{c})$。解这个方程，我们可以得到 $C = \\arccos(\\frac{a \\cos B+b \\cos A}{c})$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n根据题目条件，我们知道 $\\triangle ABC$ 的面积为 $\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}$，并且 $c=\\sqrt{7}$。我们可以利用海伦公式 $S=\\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ 来求解 $\\triangle ABC$ 的周长，其中 $p$ 是半周长。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们将已知的 $S$ 和 $c$ 代入海伦公式，得到 $\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}=\\sqrt{p(p-a)(p-b)(\\sqrt{7})}$。解这个方程，我们可以得到 $p=\\frac{a+b+\\sqrt{7}}{2}$。然后，我们将 $p$ 代入周长的公式 $P=2p$，得到 $P=a+b+\\sqrt{7}$。所以，$\\triangle ABC$ 的周长为 $a+b+\\sqrt{7}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(I) 学生的解析过程没有正确使用正弦定理和余弦定理的关系，而是错误地将题目中的等式转化为了 $2 \\cos C (a \\cos B+b \\cos A)=2c \\cos C$，这是错误的。学生的答案中使用了错误的方法来求解 $C$，得到了错误的表达式 $C = \\arccos(\\frac{a \\cos B+b \\cos A}{c})$。这与标准答案中的方法和结果都不相符。因此，这部分给0分。\n\n(II) 学生的解析过程中提到了海伦公式，但是海伦公式在这里并不适用，因为我们没有三边的长度，而是有面积和一边的长度。学生的答案中错误地使用了海伦公式，并且没有正确求出 $a+b$ 的值，也没有正确求出周长。这与标准答案中的方法和结果都不相符。因此，这部分给0分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 39,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=a \\cos t \\\\ y=1+\\operatorname{asin} t\\end{array}(t\\right.$ 为参数, $a>0$ ) . 在以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 $C_{2}: \\rho=4 \\cos \\theta$. ( I ) 说明 $C_{1}$ 是哪种曲线, 并将 $C_{1}$ 的方程化为极坐标方程;\n\n(II ) 直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $\\theta=\\alpha_{0}$, 其中 $\\alpha_{0}$ 满足 $\\tan \\alpha_{0}=2$, 若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公 共点都在 $\\mathrm{C}_{3}$ 上, 求 $a$.\n",
            "standard_answer": "解 （I ) 由 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=a \\operatorname{cost} \\\\ y=1+a \\sin t\\end{array}\\right.$, 得 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=a \\operatorname{cost} \\\\ y-1=a \\sin t\\end{array}\\right.$, 两式平方相加得, $x^{2}+(y-1$ )$^{2}=a^{2}$.\n\n$\\therefore C_{1}$ 为以 $(0,1)$ 为圆心, 以 $a$ 为半径的圆.\n\n化为一般式: $x^{2}+y^{2}-2 y+1-a^{2}=0$. (1)\n\n由 $x^{2}+y^{2}=\\rho^{2}, y=\\rho \\sin \\theta$, 得 $\\rho^{2}-2 \\rho \\sin \\theta+1-a^{2}=0$;\n\n( II ) $C_{2}: \\rho=4 \\cos \\theta$, 两边同时乘 $\\rho$ 得 $\\rho^{2}=4 \\rho \\cos \\theta$, $\\therefore x^{2}+y^{2}=4 x,(2)$\n\n即 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$.\n\n由 $C_{3}: \\theta=\\alpha_{0}$, 其中 $\\alpha_{0}$ 满足 $\\tan \\alpha_{0}=2$, 得 $y=2 x$,\n\n$\\because$ 曲线 $\\mathrm{C}_{1}$ 与 $\\mathrm{C}_{2}$ 的公共点都在 $\\mathrm{C}_{3}$ 上,\n\n$\\therefore y=2 x$ 为圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦所在直线方程,\n\n(1)- (2)得: $4 x-2 y+1-a^{2}=0$, 即为 $C_{3}$,\n\n$\\therefore 1-a^{2}=0$,\n\n$\\therefore a=1(a>0)$.\n",
            "analysis": "（I）把曲线 $C_{1}$ 的参数方程变形, 然后两边平方作和即可得到普通方 程, 可知曲线 $C_{1}$ 是圆, 化为一般式, 结合 $x^{2}+y^{2}=\\rho^{2}, y=\\rho \\sin \\theta$ 化为极坐标方程\n\n(II) 化曲线 $C_{2} 、 C_{3}$ 的极坐标方程为直角坐标方程, 由条件可知 $y=x$ 为圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦所在直线方程, 把 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的方程作差, 结合公共弦所在直线方程为 $y=2 x$ 可得 $1-a^{2}=0$, 则 $a$ 值可求.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要确定曲线$C_{1}$的类型。由于$x=a \\cos t$和$y=1+a\\sin t$，我们可以看出这是一个以$(0,1)$为中心，$a$为半径的圆的参数方程。然后，我们需要将$C_{1}$的方程转换为极坐标方程。我们知道，极坐标和直角坐标之间的关系是$x=\\rho\\cos\\theta$，$y=\\rho\\sin\\theta$。将$x=a \\cos t$和$y=1+a\\sin t$代入，我们可以得到极坐标方程。<eoe>\n【答案】由$x=a \\cos t$和$y=1+a\\sin t$，我们可以得到$x^2+(y-1)^2=a^2$，这是一个以$(0,1)$为中心，$a$为半径的圆的方程。然后，我们将$x=\\rho\\cos\\theta$，$y=\\rho\\sin\\theta$代入$x^2+(y-1)^2=a^2$，得到$\\rho^2\\cos^2\\theta+(\\rho\\sin\\theta-1)^2=a^2$，这就是曲线$C_{1}$的极坐标方程。<eoa>\n\n(2)【解析】根据题目，曲线$C_{1}$与$C_{2}$的公共点都在$C_{3}$上，也就是说，这些公共点的极角都等于$\\alpha_{0}$。由于$\\tan \\alpha_{0}=2$，我们可以得到$\\sin \\alpha_{0}=\\frac{2}{\\sqrt{5}}$，$\\cos \\alpha_{0}=\\frac{1}{\\sqrt{5}}$。然后，我们将$\\theta=\\alpha_{0}$代入曲线$C_{1}$和$C_{2}$的极坐标方程，解出$a$。<eoe>\n【答案】将$\\theta=\\alpha_{0}$代入曲线$C_{1}$的极坐标方程$\\rho^2\\cos^2\\theta+(\\rho\\sin\\theta-1)^2=a^2$，得到$\\rho^2\\cos^2\\alpha_{0}+(\\rho\\sin\\alpha_{0}-1)^2=a^2$。再将$\\theta=\\alpha_{0}$代入曲线$C_{2}$的极坐标方程$\\rho=4 \\cos \\theta$，得到$\\rho=4 \\cos \\alpha_{0}$。将$\\rho=4 \\cos \\alpha_{0}$代入$\\rho^2\\cos^2\\alpha_{0}+(\\rho\\sin\\alpha_{0}-1)^2=a^2$，得到$16\\cos^2\\alpha_{0}+(\\rho\\sin\\alpha_{0}-1)^2=a^2$。将$\\sin \\alpha_{0}=\\frac{2}{\\sqrt{5}}$，$\\cos \\alpha_{0}=\\frac{1}{\\sqrt{5}}$代入，得到$16(\\frac{1}{\\sqrt{5}})^2+((4\\cos\\alpha_{0})\\frac{2}{\\sqrt{5}}-1)^2=a^2$，解出$a=\\sqrt{5}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在第一部分正确地识别了曲线$C_{1}$是一个圆，并且正确地将其参数方程转换为极坐标方程。但是在最后的转换过程中，学生没有给出完整的极坐标方程，而是在解析中提到了转换的方法，然后直接给出了答案。因此，学生在这一部分的解答不完整，不能给满分。对于这一部分，可以给予部分分数，例如4分。\n\n(2) 学生在第二部分的解析中正确地使用了$\\tan \\alpha_{0}=2$来找到$\\sin \\alpha_{0}$和$\\cos \\alpha_{0}$的值，但是在将$\\theta=\\alpha_{0}$代入曲线$C_{1}$和$C_{2}$的极坐标方程时，学生没有正确地解出$a$的值。学生得出的$a=\\sqrt{5}$与标准答案中的$a=1$不符。因此，这一部分的答案是错误的，不能给分。\n\n【得分】\n(1) 4分\n(2) 0分\n【总分】4分",
            "model_correction_score": [
                4.0
            ]
        },
        {
            "index": 40,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) $S_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $a_{1}=1, S_{7}=28$, 记 $b_{n}=\\left[\\lg a_{n}\\right]$, 其 中 $[\\mathrm{x}]$ 表示不超过 $\\mathrm{x}$ 的最大整数, 如 $[0.9]=0,[\\lg 99]=1$.\n\n(I) 求 $b_{1}, b_{11}, b_{101}$ ；\n\n(II) 求数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 1000 项和.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) $s_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $a_{1}=1, S_{7}=28,7 a_{4}=28$.\n\n可得 $a_{4}=4$, 则公差 $d=1$.\n\n$a_{n}=n$,\n\n$b_{n}=[\\operatorname{lgn}]$, 则 $b_{1}=[\\lg 1]=0$,\n\n$b_{11}=[\\lg 11]=1$,\n\n$\\mathrm{b}_{101}=[\\lg 101]=2$.\n\n( II ) 由 ( I ) 可知: $b_{1}=b_{2}=b_{3}=\\ldots=b_{9}=0, b_{10}=b_{11}=b_{12}=\\ldots=b_{99}=1$.\n\n$b_{100}=b_{101}=b_{102}=b_{103}=\\ldots=b_{999}=2, b_{10,00}=3$.\n\n数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 1000 项和为: $9 \\times 0+90 \\times 1+900 \\times 2+3=1893$.\n",
            "analysis": "( I ) 利用已知条件求出等差数列的公差, 求出通项公式, 然后求解 $b_{1}$, $b_{11}, b_{101}$;\n\n(II) 找出数列的规律, 然后求数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 1000 项和.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要找出等差数列的公差。由于 $S_{7}=28$，我们知道等差数列的前7项和为28。等差数列的前n项和的公式为 $S_{n}=\\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})$，所以我们可以将已知的值代入公式，得到 $\\frac{7}{2}(1+a_{7})=28$。解这个方程，我们可以得到 $a_{7}=7$。由于这是一个等差数列，我们可以通过减去第一项的值来找出公差，即 $d=a_{7}-a_{1}=7-1=6$。然后我们可以通过公式 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ 来找出 $a_{11}$ 和 $a_{101}$ 的值。最后，我们可以通过取对数并向下取整来找出 $b_{1}$，$b_{11}$ 和 $b_{101}$ 的值。<eoe>\n【答案】\n首先，我们找出公差 $d=a_{7}-a_{1}=7-1=6$。然后我们通过公式 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ 来找出 $a_{11}$ 和 $a_{101}$ 的值，得到 $a_{11}=1+(11-1)6=61$ 和 $a_{101}=1+(101-1)6=601$。然后我们取对数并向下取整，得到 $b_{1}=[\\lg 1]=0$，$b_{11}=[\\lg 61]=1$ 和 $b_{101}=[\\lg 601]=2$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于求和问题，我们首先需要找出数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的规律。我们知道 $b_{n}=[\\lg a_{n}]$，并且 $a_{n}=1+(n-1)d$。由于公差 $d=6$，我们可以看出当 $n$ 从 1 增加到 167 时，$a_{n}$ 的值会从 1 增加到 1001，所以 $b_{n}$ 的值会从 0 增加到 3。因此，我们可以将数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 分为四个部分来求和：$b_{n}=0$ 时的部分，$b_{n}=1$ 时的部分，$b_{n}=2$ 时的部分和 $b_{n}=3$ 时的部分。每个部分的和可以通过乘以对应的 $b_{n}$ 值和该值出现的次数来得到。<eoe>\n【答案】\n我们将数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 分为四个部分来求和：\n当 $b_{n}=0$ 时，$n$ 的值从 1 到 2，所以这部分的和为 $0*(2-1+1)=0$；\n当 $b_{n}=1$ 时，$n$ 的值从 3 到 17，所以这部分的和为 $1*(17-3+1)=15$；\n当 $b_{n}=2$ 时，$n$ 的值从 18 到 166，所以这部分的和为 $2*(166-18+1)=298$；\n当 $b_{n}=3$ 时，$n$ 的值从 167 到 1000，所以这部分的和为 $3*(1000-167+1)=2502$。\n所以，数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 1000 项和为 $0+15+298+2502=2815$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(I) 学生在求公差时错误地将 $a_7$ 计算为7，而实际上应该是 $a_4=4$，因此公差 $d=1$。学生的计算基于错误的公差，导致 $b_{11}$ 和 $b_{101}$ 的计算结果错误。因此，学生在这一部分的得分为0分。\n\n(II) 由于学生在(I)部分的公差计算错误，导致在(II)部分的数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的前 1000 项和的计算也是错误的。学生没有正确地找出数列的规律，计算过程和结果均不正确。因此，学生在这一部分的得分也为0分。\n\n【得分】\n(I) 0分\n(II) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 41,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "20. (12 分) 已知椭圆 $E: \\frac{x^{2}}{t}+\\frac{y^{2}}{3}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上, $A$ 是 $E$ 的左顶点, 斜率 为 $k(k>0)$ 的直线交 $E$ 于 $A, M$ 两点, 点 $N$ 在 $E$ 上, $M A \\perp N A$.\n\n（I ) 当 $t=4,|A M|=|A N|$ 时, 求 $\\triangle A M N$ 的面积;\n\n（II）当 $2|\\mathrm{AM}|=|\\mathrm{AN}|$ 时, 求 $\\mathrm{k}$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) 方法一、 $\\mathrm{t}=4$ 时, 椭圆 $\\mathrm{E}$ 的方程为 $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{3}=1, A(-2,0)$\n\n直线 $A M$ 的方程为 $y=k(x+2)$, 代入椭圆方程, 整理可得 $\\left(3+4 k^{2}\\right)$\n\n$$\nx^{2}+16 k^{2} x+16 k^{2}-12=0\n$$\n\n解得 $x=-2$ 或 $x=-\\frac{8 k^{2}-6}{3+4 k^{2}}$, 则 $|A M|=\\sqrt{1+k^{2}} \\cdot\\left|2-\\frac{8 k^{2}-6}{3+4 k^{2}}\\right|=\\sqrt{1+k^{2}} \\cdot \\frac{12}{3+4 k^{2}}$,\n\n由 $A N \\perp A M$, 可得 $|A N|=\\sqrt{1+\\left(-\\frac{1}{k}\\right)^{2}} \\cdot \\frac{12}{3+4 \\cdot\\left(\\frac{-1}{k}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+k^{2}} \\cdot \\frac{12}{3|k|+\\frac{4}{|k|}}$,\n\n由 $|\\mathrm{AM}|=|\\mathrm{AN}|, \\mathrm{k}>0$, 可得 $\\sqrt{1+k^{2}} \\cdot \\frac{12}{3+4 k^{2}}=\\sqrt{1+k^{2}} \\cdot \\frac{12}{3 k+\\frac{4}{k}}$,\n\n整理可得 $(k-1)\\left(4 k^{2}+k+4\\right)=0$, 由 $4 k^{2}+k+4=0$ 无实根, 可得 $k=1$, 即有 $\\triangle A M N$ 的面积为 $\\frac{1}{2}|A M|^{2}=\\frac{1}{2}\\left(\\sqrt{1+1} \\cdot \\frac{12}{3+4}\\right){ }^{2}=\\frac{144}{49}$;\n\n方法二、由 $|A M|=|A N|$, 可得 $M, N$ 关于 $x$ 轴对称,\n\n由 $M A \\perp N A$. 可得直线 $A M$ 的斜率为 1 , 直线 $A M$ 的方程为 $y=x+2$,\n\n代入椭圆方程 $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{3}=1$, 可得 $7 x^{2}+16 x+4=0$,\n\n解得 $x=-2$ 或 $-\\frac{2}{7}, M\\left(-\\frac{2}{7}, \\frac{12}{7}\\right), N\\left(-\\frac{2}{7},-\\frac{12}{7}\\right)$,\n\n则 $\\triangle A M N$ 的面积为 $\\frac{1}{2} \\times \\frac{24}{7} \\times\\left(-\\frac{2}{7}+2\\right)=\\frac{144}{49}$;\n\n( II ) 直线 AM 的方程为 $y=k(x+\\sqrt{t})$, 代入陏圆方程,\n\n可得 $\\left(3+t k^{2}\\right) x^{2}+2 t \\sqrt{t} k^{2} x+t^{2} k^{2}-3 t=0$,\n\n解得 $x=-\\sqrt{t}$ 或 $x=-\\frac{t \\sqrt{t} k^{2}-3 \\sqrt{t}}{3+t k^{2}}$,\n\n即有 $|A M|=\\sqrt{1+k^{2}} \\cdot\\left|\\frac{t \\sqrt{t} k^{2}-3 \\sqrt{t}}{3+t k^{2}}-\\sqrt{t}\\right|=\\sqrt{1+k^{2}} \\cdot \\frac{6 \\sqrt{t}}{3+t k^{2}}$,\n\n$|\\mathrm{AN}|=\\sqrt{1+\\frac{1}{\\mathrm{k}^{2}}} \\cdot \\frac{6 \\sqrt{t}}{3+\\frac{t}{k^{2}}}=\\sqrt{1+\\mathrm{k}^{2}} \\cdot \\frac{6 \\sqrt{t}}{3 \\mathrm{k}+\\frac{\\mathrm{t}}{\\mathrm{k}}}$,\n\n由 $2|A M|=|A N|$, 可得 $2 \\sqrt{1+k^{2}} \\cdot \\frac{6 \\sqrt{t}}{3+k^{2}}=\\sqrt{1+k^{2}} \\cdot \\frac{6 \\sqrt{t}}{3 k+\\frac{t}{k}}$,\n\n整理得 $\\mathrm{t}=\\frac{6 \\mathrm{k}^{2}-3 \\mathrm{k}}{\\mathrm{k}^{3}-2}$,\n\n由椭圆的焦点在 $x$ 轴上, 则 $\\mathrm{t}>3$, 即有 $\\frac{6 k^{2}-3 k}{k^{3}-2}>3$, 即有 $\\frac{\\left(k^{2}+1\\right)(k-2)}{k^{3}-2}<0$,\n\n可得 $\\sqrt[3]{2}<k<2$, 即 $k$ 的取值范围是 $(\\sqrt[3]{2}, 2)$.\n",
            "analysis": "( I ) 方法一、求出 $\\mathrm{t}=4$ 时, 椭圆方程和顶点 $\\mathrm{A}$, 设出直线 $A M$ 的方程 , 代入椭圆方程, 求交点 $M$, 运用弦长公式求得 $|A M|$, 由垂直的条件可得 $|A N|$ , 再由 $|A M|=|A N|$, 解得 $k=1$, 运用三角形的面积公式可得 $\\triangle A M N$ 的面积; 方法二、运用椭圆的对称性, 可得直线 $A M$ 的斜率为 1 , 求得 $A M$ 的方程代入椭 圆方程, 解方程可得 $M, N$ 的坐标, 运用三角形的面积公式计算即可得到; (II ) 直线 $A M$ 的方程为 $y=k(x+\\sqrt{t})$, 代入椭圆方程, 求得交点 $M$, 可得 $|A M|$ , $|A N|$, 再由 $2|A M|=|A N|$, 求得 $t$, 再由椭圆的性质可得 $t>3$, 解不等式 即可得到所求范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们知道椭圆的一般方程为$\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其中$a$和$b$是椭圆的半长轴和半短轴，焦点在$x$轴上，所以$a$是椭圆的半长轴，$b$是椭圆的半短轴。根据题目给出的椭圆方程，我们可以得到$a=\\sqrt{t}$，$b=\\sqrt{3}$。因为$A$是椭圆的左顶点，所以$A$的坐标为$(-\\sqrt{t},0)$。\n\n对于（I），我们知道$|AM|=|AN|$，所以$M$和$N$是关于$A$对称的点，所以$M$，$A$，$N$三点在一条直线上，$\\triangle AMN$的面积为0。\n\n对于（II），我们知道$2|AM|=|AN|$，所以$M$，$A$，$N$三点构成一个等腰直角三角形，我们需要找到满足这个条件的$k$。根据直角三角形的性质，我们知道$AM$的斜率乘以$AN$的斜率等于-1，所以我们可以通过解这个方程来找到$k$的取值范围。<eoe>\n\n(1)【答案】 \n对于（I），$\\triangle AMN$的面积为0。\n\n对于（II），我们设$M$的坐标为$(x_1,y_1)$，$N$的坐标为$(x_2,y_2)$。因为$M$和$N$都在椭圆上，所以他们满足椭圆的方程，我们有$\\frac{x_1^{2}}{t}+\\frac{y_1^{2}}{3}=1$，$\\frac{x_2^{2}}{t}+\\frac{y_2^{2}}{3}=1$。因为$M$，$A$，$N$构成一个等腰直角三角形，所以$AM=AN$，我们有$(x_1+\\sqrt{t})^2+y_1^2=(x_2+\\sqrt{t})^2+y_2^2$。又因为$AM$的斜率乘以$AN$的斜率等于-1，所以我们有$\\frac{y_1}{x_1+\\sqrt{t}}\\cdot\\frac{y_2}{x_2+\\sqrt{t}}=-1$。解这个方程组，我们可以得到$k$的取值范围为$k>0$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生在（I）部分的解答中错误地认为三点 $A, M, N$ 在一条直线上，这与题目中的条件 $MA \\perp NA$ 矛盾，因此学生的答案是错误的。学生没有给出正确的计算过程或结果，因此在这一部分得0分。\n\n在（II）部分，学生没有正确理解题目条件，没有给出正确的解题过程或答案。学生的解答没有涉及到正确的方程建立和解题步骤，也没有得出正确的 $k$ 的取值范围。因此在这一部分也得0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
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        },
        {
            "index": 42,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "21. （12 分) ( I ) 讨论函数 $f(x)=\\frac{x-2}{x+2} e^{x}$ 的单调性, 并证明当 $x>0$ 时, $(x-2$ $e^{x}+x+2>0$\n\n（II) 证明: 当 $a \\in[0,1)$ 时, 函数 $g(x)=\\frac{e^{x}-a x-a}{x^{2}}(x>0)$ 有最小值. 设 $g($ $\\mathrm{x}$ )的最小值为 $\\mathrm{h}(\\mathrm{a} ＼mathrm{~, ~ 求 函 数 ~} \\mathrm{~h}$ (a）的值域.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 证明: $f(x)=\\frac{x-2}{x+2} e^{x}$\n\n$f^{\\prime}(x)=e^{x}\\left(\\frac{x-2}{x+2}+\\frac{4}{(x+2)^{2}}\\right)=\\frac{x^{2} e^{x}}{(x+2)^{2}}$\n\n$\\because$ 当 $x \\in(-\\infty,-2) \\cup(-2,+\\infty)$ 时, $f^{\\prime}(x) \\geqslant 0$\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $(-\\infty,-2)$ 和 $(-2,+\\infty)$ 上单调递增\n\n$\\therefore x>0$ 时, $\\frac{x-2}{x+2} e^{x}>f(0)=-1$\n\n即 $(x-2) e^{x+x+2}>0$\n\n(2) $g^{\\prime}(x)=\\frac{\\left(e^{x}-a\\right) x^{2}-2 x\\left(e^{x}-a x-a\\right)}{x^{4}}$\n\n$=\\frac{x\\left(x e^{x}-2 e^{x}+a x+2 a\\right)}{x^{4}}=\\frac{(x+2)\\left(\\frac{x-2}{x+2} \\cdot e^{x}+a\\right)}{x^{3}}$\n\n$\\mathrm{a} \\in[0,1)$\n\n由 (1) 知, 当 $x>0$ 时, $f(x)=\\frac{x-2}{x+2} e^{x}$ 的值域为 $(-1,+\\infty)$, 只有一解使得 $\\frac{t-2}{t+2} \\cdot e^{t}=-a$,\n\n只需 $\\frac{t-2}{t+2} \\bullet e^{t} \\leqslant 0$ 恒成立, 可得 $-2<t \\leqslant 2$,\n\n由 $x>0$, 可得\n\n$t \\in(0,2]$\n\n当 $x \\in(0, t)$ 时, $g^{\\prime}(x)<0, g(x)$ 单调减;\n\n当 $x \\in(t,+\\infty), g^{\\prime}(x)>0, g(x)$ 单调增; $h(a)=\\frac{e^{t}-a(t+1)}{t^{2}}=\\frac{e^{t}+(t+1) \\frac{t-2}{t+2} \\cdot e^{t}}{t^{2}}=\\frac{e^{t}}{t+2}$\n\n记 $k(t)=\\frac{e^{t}}{t+2}$, 在 $t \\in(0,2]$ 时, $k^{\\prime}(t)=\\frac{e^{t}(t+1)}{(t+2)^{2}}>0$,\n\n故 $k(t)$ 单调递增,\n\n所以 $h(a)=k(t) \\in\\left(\\frac{1}{2}, \\frac{e^{2}}{4}\\right]$.\n",
            "analysis": "从导数作为切入点探求函数的单调性, 通过函数单调性来求得函数的 值域, 利用复合函数的求导公式进行求导, 然后逐步分析即可\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要找出函数$f(x)=\\frac{x-2}{x+2} e^{x}$的导数，然后通过导数的符号来判断函数的单调性。然后，我们需要证明当$x>0$时，$(x-2)e^{x}+x+2>0$。<eoe>\n\n【答案】 \n对函数$f(x)=\\frac{x-2}{x+2} e^{x}$求导，得到$f'(x)=\\frac{4}{(x+2)^2}e^x$。因为$e^x$在$x$的整个定义域内都大于0，所以$f'(x)$的符号取决于$\\frac{4}{(x+2)^2}$。当$x>-2$时，$\\frac{4}{(x+2)^2}>0$，所以函数$f(x)$在$x>-2$时单调增加。\n\n接下来，我们需要证明当$x>0$时，$(x-2)e^{x}+x+2>0$。因为当$x>0$时，$e^x$是增函数，所以$(x-2)e^{x}$是增函数，且当$x=2$时，$(x-2)e^{x}=0$。所以当$x>2$时，$(x-2)e^{x}>0$。而当$0<x<2$时，$(x-2)e^{x}<0$，但是$x+2>2$，所以$(x-2)e^{x}+x+2>0$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于函数$g(x)=\\frac{e^{x}-a x-a}{x^{2}}(x>0)$，我们首先需要找出其导数，然后通过导数的符号来判断函数的单调性，从而找出函数的最小值。然后，我们需要求出函数$h(a)$的值域。<eoe>\n\n【答案】 \n对函数$g(x)=\\frac{e^{x}-a x-a}{x^{2}}(x>0)$求导，得到$g'(x)=\\frac{2ax-e^x(x^2-2)}{x^3}$。因为$x>0$，所以$g'(x)$的符号取决于$2ax-e^x(x^2-2)$。当$a \\in [0,1)$时，$2ax<2x$，而$e^x(x^2-2)$当$x>2$时大于0，当$0<x<2$时小于0。所以当$x>2$时，$g'(x)<0$，当$0<x<2$时，$g'(x)>0$。所以函数$g(x)$在$x=2$处取得最小值，即$h(a)=g(2)=\\frac{e^{2}-2a-a}{4}$。\n\n因此，函数$h(a)$的值域为$h(a)\\in[\\frac{e^2-3}{4},+\\infty)$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求导过程中犯了错误，导数计算不正确，因此无法正确判断函数的单调性。学生的证明过程也不完整，没有正确使用导数来证明当$x>0$时，$(x-2)e^{x}+x+2>0$。因此，这部分不能给分。\n\n(2) 学生在求导过程中同样犯了错误，导数计算不正确，因此无法正确判断函数的单调性和最小值。学生对于$h(a)$的值域的求解也是错误的，没有正确使用导数和单调性来求解。因此，这部分也不能给分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 43,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 在直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $C$ 的方程为 $(x+6)^{2}+y^{2}=25$.\n\n( I ) 以坐标原点为极点, $\\mathrm{x}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求 $\\mathrm{C}$ 的极坐标方程\n\n(II) 直线 $\\mid$ 的参数方程是 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=t \\cos \\alpha \\\\ y=t \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数), $I$ 与 $C$ 交与 $A, B$ 两点, $|A B|=$ $\\sqrt{10}$, 求 $\\mathrm{I}$ 的斜率.\n",
            "standard_answer": "解: ( I ) $\\because$ 圆 C 的方程为 $(x+6)^{2}+y^{2}=25$,\n\n$\\therefore x^{2}+y^{2}+12 x+11=0$,\n\n$\\because \\rho^{2}=x^{2}+y^{2}, x=\\rho \\cos \\alpha, y=\\rho \\sin \\alpha$\n\n$\\therefore C$ 的极坐标方程为 $\\rho^{2}+12 \\rho \\cos \\alpha+11=0$.\n\n( II ) $\\because$ 直线 I 的参数方程是 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=t \\cos \\alpha \\\\ y=t \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数）,\n\n$\\therefore t=\\frac{x}{\\cos \\alpha}$, 代入 $y=t \\sin \\alpha$, 得: 直线 I 的一般方程 $y=\\tan \\alpha \\cdot x$,\n\n$\\because I$ 与 $C$ 交与 $A, B$ 两点, $|A B|=\\sqrt{10}$, 圆 $C$ 的圆心 $C(-6,0)$, 半径 $r=5$,\n\n圆心到直线的距离 $\\mathrm{d}=\\sqrt{\\mathrm{r}^{2}-\\left(\\frac{|\\mathrm{AB}|}{2}\\right)^{2}}$.\n\n$\\therefore$ 圆心 C $(-6,0)$ 到直线距离 $\\mathrm{d}=\\frac{|-6 \\tan \\alpha|}{\\sqrt{1+\\tan ^{2} \\alpha}}=\\sqrt{25-\\frac{10}{4}}$,\n\n解得 $\\tan ^{2} \\alpha=\\frac{5}{3}, \\therefore \\tan \\alpha= \\pm \\sqrt{\\frac{5}{3}}= \\pm \\frac{\\sqrt{15}}{3}$.\n\n$\\therefore 1$ 的斜率 $\\mathrm{k}= \\pm \\frac{\\sqrt{15}}{3}$.\n",
            "analysis": "（I ）把圆 C 的标准方程化为一般方程, 由此利用 $\\rho^{2}=x^{2}+y^{2}, x=\\rho \\cos \\alpha$, $y=\\rho \\sin \\alpha$, 能求出圆 $\\mathrm{C}$ 的极坐标方程.\n\n(II ) 由直线 I 的参数方程求出直线 I 的一般方程, 再求出圆心到直线距离, 由 此能求出直线 1 的斜率.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要知道极坐标与直角坐标的转换关系，即 $x=r\\cos\\theta, y=r\\sin\\theta$，其中$r$是点到原点的距离，$\\theta$是点与x轴正半轴的夹角。将这个关系代入圆的方程，我们可以得到极坐标方程。<eoe>\n【答案】 \n将 $x=r\\cos\\theta, y=r\\sin\\theta$ 代入 $(x+6)^{2}+y^{2}=25$ 得到 $(r\\cos\\theta+6)^{2}+(r\\sin\\theta)^{2}=25$，化简得到 $r^{2}\\cos^{2}\\theta+12r\\cos\\theta+36+r^{2}\\sin^{2}\\theta=25$。由于 $\\cos^{2}\\theta+\\sin^{2}\\theta=1$，所以 $r^{2}+12r\\cos\\theta+36=25$，进一步化简得到 $r^{2}+12r\\cos\\theta=11$，即 $r=6\\cos\\theta\\pm\\sqrt{36\\cos^{2}\\theta-11}$。这就是圆C的极坐标方程。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n我们知道，两点间的距离公式是 $\\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。由于直线I与圆C交于A,B两点，我们可以设A,B的坐标分别为 $(t_{1}\\cos\\alpha, t_{1}\\sin\\alpha), (t_{2}\\cos\\alpha, t_{2}\\sin\\alpha)$。将这两个坐标代入距离公式，并利用已知的距离 $\\sqrt{10}$，我们可以得到一个关于 $t_{1}, t_{2}$ 的方程。然后，我们再将这个方程与圆的方程联立，解出 $t_{1}, t_{2}$。最后，我们利用直线的斜率公式 $k=\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$，我们就可以求出直线I的斜率。<eoe>\n【答案】 \n设A,B的坐标分别为 $(t_{1}\\cos\\alpha, t_{1}\\sin\\alpha), (t_{2}\\cos\\alpha, t_{2}\\sin\\alpha)$，代入距离公式得到 $(t_{2}-t_{1})^{2}=10$。又因为A,B都在圆C上，所以 $(t_{1}\\cos\\alpha+6)^{2}+(t_{1}\\sin\\alpha)^{2}=25$，$(t_{2}\\cos\\alpha+6)^{2}+(t_{2}\\sin\\alpha)^{2}=25$。将这两个方程相减，得到 $2(t_{2}-t_{1})(\\cos\\alpha+6)=0$。由于 $(t_{2}-t_{1})^{2}=10$，所以 $t_{2}-t_{1}\\neq 0$，因此 $\\cos\\alpha=-6$。但是，$\\cos\\alpha$ 的取值范围是 $[-1,1]$，所以这个结果是不可能的。因此，直线I与圆C不可能有两个交点距离为 $\\sqrt{10}$，所以无法求出直线I的斜率。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求极坐标方程的过程中，正确地将直角坐标转换为极坐标，并代入圆的方程中。但是在化简过程中出现了错误，学生得到的极坐标方程是 $r=6\\cos\\theta\\pm\\sqrt{36\\cos^{2}\\theta-11}$，这与标准答案 $\\rho^{2}+12 \\rho \\cos \\alpha+11=0$ 不符。学生的答案没有正确地化简到最终形式，因此不能给满分。但由于学生使用了正确的方法，可以给予部分分数。对于这一部分，可以给3分。\n\n(2) 学生在求直线I的斜率时，没有正确理解题目条件，错误地认为直线I与圆C不可能有两个交点距离为 $\\sqrt{10}$，这与标准答案中的解法完全不同。学生没有使用正确的方法来求解直线的斜率，因此这一部分不能给分。\n\n【得分】\n(1) 3分\n(2) 0分\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 44,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "24. 已知函数 $f(x)=\\left|x-\\frac{1}{2}\\right|+\\left|x+\\frac{1}{2}\\right|, M$ 为不等式 $f(x)<2$ 的解集.\n(I ) 求 $M$;\n(II ) 证明: 当 $a, b \\in M$ 时, $|a+b|<|1+a b|$.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 当 $x<-\\frac{1}{2}$ 时, 不等式 $f(x)<2$ 可化为: $\\frac{1}{2}-x-x-\\frac{1}{2}<2$,\n\n解得: $x>-1$,\n\n$\\therefore-1<x<-\\frac{1}{2}$,\n\n当 $-\\frac{1}{2} \\leqslant x \\leqslant \\frac{1}{2}$ 时, 不等式 $f(x)<2$ 可化为: $\\frac{1}{2}-x+x+\\frac{1}{2}=1<2$,\n\n此时不等式恒成立,\n\n$\\therefore-\\frac{1}{2} \\leqslant x \\leqslant \\frac{1}{2}$,\n\n当 $x>\\frac{1}{2}$ 时, 不等式 $f(x)<2$ 可化为: $-\\frac{1}{2}+x+x+\\frac{1}{2}<2$,\n\n解得: $x<1$,\n\n$\\therefore \\frac{1}{2}<x<1$,\n\n综上可得: $M=(-1,1)$;\n\n证明：（II) 当 $a, b \\in M$ 时,\n\n$\\left(a^{2}-1\\right)\\left(b^{2}-1\\right)>0$,\n\n即 $a^{2} b^{2}+1>a^{2}+b^{2}$,\n\n即 $a^{2} b^{2}+1+2 a b>a^{2}+b^{2}+2 a b$,\n\n即 $(a b+1)^{2}>(a+b)^{2}$,\n\n即 $|a+b|<|1+a b|$.\n",
            "analysis": "(1） 分当 $x<-\\frac{1}{2}$ 时, 当 $-\\frac{1}{2} \\leqslant x \\leqslant \\frac{1}{2}$ 时, 当 $x>\\frac{1}{2}$ 时三种情况, 分别求解 不等式, 综合可得答案;\n\n(II) 当 $a, b \\in M$ 时, （a- $\\left.a^{2}\\right)\\left(b^{2}-1\\right)>0$, 即 $a^{2} b^{2}+1>a^{2}+b^{2}$, 配方后, 可 证得结论.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要找到函数$f(x)$的解集$M$，使得$f(x)<2$。由于$f(x)$由两个绝对值函数组成，我们需要分别考虑$x$在不同区间的情况。我们可以将$x$分为三个区间：$x<-1/2$，$-1/2\\leq x\\leq 1/2$，$x>1/2$。在每个区间中，我们可以去掉绝对值符号，然后求解不等式。<eoe>\n\n【答案】\n当$x<-1/2$时，$f(x)=-(x-\\frac{1}{2})-(x+\\frac{1}{2})=-2x$，所以$f(x)<2$即$-2x<2$，解得$x>-1$，与$x<-1/2$矛盾，所以此区间内无解。\n\n当$-1/2\\leq x\\leq 1/2$时，$f(x)=-(x-\\frac{1}{2})+(x+\\frac{1}{2})=1$，所以$f(x)<2$在此区间内恒成立，解集为$[-1/2,1/2]$。\n\n当$x>1/2$时，$f(x)=(x-\\frac{1}{2})+(x+\\frac{1}{2})=2x$，所以$f(x)<2$即$2x<2$，解得$x<1$，与$x>1/2$相符，所以此区间内的解集为$(1/2,1)$。\n\n综上，$M=(-1/2,1/2]\\cup(1/2,1)$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n接下来，我们需要证明当$a, b \\in M$时，$|a+b|<|1+ab|$。我们可以分别考虑$a$和$b$在$M$的不同区间的情况。由于$M$的区间为$(-1/2,1/2]$和$(1/2,1)$，我们需要分别考虑$a$和$b$在这两个区间的情况。然后，我们可以利用绝对值的性质和不等式的性质来证明这个命题。<eoe>\n\n【答案】\n由于$M=(-1/2,1/2]\\cup(1/2,1)$，我们可以分别考虑以下四种情况：\n\n(1) 当$a, b \\in (-1/2,1/2]$时，$|a+b|\\leq |a|+|b|\\leq 1<|1+ab|$，因为$ab\\geq -1/4$，所以$1+ab>1$。\n\n(2) 当$a \\in (-1/2,1/2]$，$b \\in (1/2,1)$时，$|a+b|\\leq |a|+|b|< 1+1=2$，而$|1+ab|\\geq |1-ab|\\geq |1-1/2|=1/2$，因为$ab\\geq -1/4$，所以$1+ab\\geq 3/4$，所以$|1+ab|>2$。\n\n(3) 当$a \\in (1/2,1)$，$b \\in (-1/2,1/2]$时，同理可证$|a+b|<|1+ab|$。\n\n(4) 当$a, b \\in (1/2,1)$时，$|a+b|\\leq |a|+|b|< 1+1=2$，而$|1+ab|\\geq |1-ab|\\geq |1-1/2|=1/2$，因为$ab\\geq 1/4$，所以$1+ab\\geq 5/4$，所以$|1+ab|>2$。\n\n所以，对于任意的$a, b \\in M$，都有$|a+b|<|1+ab|$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地分析了函数 $f(x)$ 的三个区间，并且正确地去掉了绝对值符号。但是在求解第一个区间时，学生错误地认为此区间内无解，实际上应该是 $-1<x<-\\frac{1}{2}$。在第二个区间的求解中，学生正确地得出了不等式恒成立，但是解集应该是 $(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2})$ 而不是 $[-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}]$。在第三个区间的求解中，学生正确地得出了解集 $(\\frac{1}{2}, 1)$。因此，学生的最终答案 $M=(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}]\\cup(\\frac{1}{2}, 1)$ 是错误的，正确答案应该是 $M=(-1, 1)$。由于学生的解集部分有错误，但是方法基本正确，可以给予部分分数。\n\n(2) 学生在证明部分没有使用正确的方法，而是尝试了分情况讨论，这是不必要的，因为题目要求的是对于任意的 $a, b \\in M$，都有 $|a+b|<|1+ab|$。学生的证明方法不正确，且结论也是错误的。因此，这部分不能给分。\n\n【得分】\n(1) 对于解集部分，由于学生的方法基本正确，但是答案有误，可以给予一半的分数，即5分。\n(2) 对于证明部分，由于学生的方法和结论都是错误的，不能给分。\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 45,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) 已知数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=1+\\lambda a_{n}$, 其中 $\\lambda \\neq 0$.\n(1) 证明 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等比数列, 并求其通项公式;\n(2) 若 $S_{5}=\\frac{31}{32}$, 求 $\\lambda$.\n",
            "standard_answer": "解: (1) $\\because S_{n}=1+\\lambda a_{n}, \\lambda \\neq 0$.\n\n$\\therefore \\mathrm{a}_{\\mathrm{n}} \\neq 0$\n\n当 $n \\geqslant 2$ 时, $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=1+\\lambda a_{n}-1-\\lambda a_{n-1}=\\lambda a_{n}-\\lambda a_{n-1}$,\n\n即 $(\\lambda-1) a_{n}=\\lambda a_{n-1}$,\n\n$\\because \\lambda \\neq 0, a_{n} \\neq 0 . \\quad \\therefore \\lambda-1 \\neq 0$. 即 $\\lambda \\neq 1$,\n\n即 $\\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\\frac{\\lambda}{\\lambda-1},(n \\geqslant 2)$ ，\n\n$\\therefore\\left\\{\\mathrm{a}_{\\mathrm{n}}\\right\\}$ 是等比数列, 公比 $\\mathrm{q}=\\frac{\\lambda}{\\lambda-1}$,\n\n当 $n=1$ 时, $S_{1}=1+\\lambda a_{1}=a_{1}$,\n\n即 $a_{1}=\\frac{1}{1-\\lambda}$,\n\n$\\therefore \\mathrm{a}_{n}=\\frac{1}{1-\\lambda} \\cdot\\left(\\frac{\\lambda}{\\lambda-1}\\right)^{n-1}$.\n\n(2) 若 $\\mathrm{S}_{5}=\\frac{31}{32}$,\n\n则若 $S_{5}=1+\\lambda\\left[\\frac{1}{1-\\lambda} \\cdot\\left(\\frac{\\lambda}{\\lambda-1}\\right)^{4}\\right]=\\frac{31}{32}$,\n\n即 $\\left(\\frac{\\lambda}{1-\\lambda}\\right)^{5}=\\frac{31}{32}-1=-\\frac{1}{32}$,\n\n则 $\\frac{\\lambda}{1-\\lambda}=-\\frac{1}{2}$, 得 $\\lambda=-1$.\n",
            "analysis": "(1) 根据数列通项公式与前 $\\mathrm{n}$ 项和公式之间的关系进行递推, 结合等 比数列的定义进行证明求解即可.\n\n(2) 根据条件建立方程关系进行求解就可.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们知道数列的前n项和$S_n$的定义为$S_n=a_1+a_2+...+a_n$，那么我们可以得到$a_n=S_n-S_{n-1}$。\n根据题目已知，我们可以将$S_n$和$S_{n-1}$代入上述公式，得到$a_n=(1+\\lambda a_n)-(1+\\lambda a_{n-1})$，化简得到$\\lambda a_{n-1}=\\lambda a_n - 1$。\n将上述公式两边同时除以$\\lambda$，得到$a_{n-1}=a_n-\\frac{1}{\\lambda}$，这就说明数列$\\left\\{a_{n}\\right\\}$是等差数列。\n然而题目要求证明$\\left\\{a_{n}\\right\\}$是等比数列，这就需要我们进一步转化。\n我们可以将$a_{n-1}=a_n-\\frac{1}{\\lambda}$转化为$a_n=a_{n-1}+\\frac{1}{\\lambda}$，然后将$a_{n-1}$代入$a_n$，得到$a_n=a_{n-2}+\\frac{2}{\\lambda}$，以此类推，我们可以得到$a_n=a_1+\\frac{n-1}{\\lambda}$。\n我们可以看到，$a_n$与$n$的关系是线性的，这就说明数列$\\left\\{a_{n}\\right\\}$是等差数列，而不是等比数列。\n然而，我们可以发现，如果我们将$\\frac{1}{\\lambda}$看作是公差，那么$a_n$就可以看作是等比数列的通项公式，即$a_n=a_1\\cdot q^{n-1}$，其中$q=1+\\frac{1}{\\lambda}$，$a_1=1$。\n这样，我们就证明了$\\left\\{a_{n}\\right\\}$是等比数列，且其通项公式为$a_n=a_1\\cdot q^{n-1}$。<eoe>\n【答案】\n数列$\\left\\{a_{n}\\right\\}$的通项公式为$a_n=a_1\\cdot q^{n-1}$，其中$q=1+\\frac{1}{\\lambda}$，$a_1=1$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n根据题目已知，$S_5=\\frac{31}{32}$，我们可以将其代入$S_n=1+\\lambda a_n$，得到$1+\\lambda a_5=\\frac{31}{32}$。\n然后，我们可以将$a_5$的通项公式$a_5=a_1\\cdot q^{5-1}$代入上述公式，得到$1+\\lambda \\cdot 1\\cdot q^{5-1}=\\frac{31}{32}$。\n解这个方程，我们可以得到$\\lambda$的值。<eoe>\n【答案】 \n解方程$1+\\lambda \\cdot 1\\cdot q^{5-1}=\\frac{31}{32}$，得到$\\lambda=\\frac{1}{16}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在证明数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等比数列时出现了错误。学生错误地将数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 证明为等差数列，而不是等比数列，并且在推导过程中出现了错误的逻辑推理。学生的通项公式也是错误的，因为他们错误地假设了公比 $q=1+\\frac{1}{\\lambda}$，而实际上公比应该是 $\\frac{\\lambda}{\\lambda-1}$。因此，第一问学生的答案完全错误，不得分。\n\n(2) 学生在求解 $\\lambda$ 时，使用了错误的通项公式，并且得出了错误的结果 $\\lambda=\\frac{1}{16}$。正确的结果应该是 $\\lambda=-1$。因此，第二问学生的答案也是错误的，不得分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 46,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "21. (12 分) 设函数 $f(x)=a \\cos 2 x+(a-1)(\\cos x+1)$, 其中 $a>0$, 记f $(x)$ |的最大值为 $A$. \n(I) 求 $f^{\\prime}(X)$;\n(II) 求 $A$;\n(III) 证明: If' $(x) \\mid \\leqslant 2 A$.\n",
            "standard_answer": "(I) 解: $f^{\\prime}(x)=-2 \\operatorname{asin} 2 x-(a-1) \\sin x$.\n\n（II) 当 $a \\geqslant 1$ 时, If $(x)|=| a \\cos 2 x+(a-1) \\quad(\\cos x+1)|\\leqslant a| \\cos 2 x|+(a-1)|$ $(\\cos x+1) \\quad|\\leqslant a| \\cos 2 x|+(a-1) \\quad(|\\cos x|+1)| \\leqslant a+2(a-1)=3 a-2=f(0)$,\n\n因此 $A=3 a-2$.\n\n当 $0<a<1$ 时, $f(x)=\\operatorname{acos} 2 x+(a-1)(\\cos x+1)=2 \\operatorname{acos}^{2} x+(a-1) \\cos x$ $-1$\n\n今 $g(t)=2 a t^{2}+(a-1) t-1$,\n\n则 $A$ 是 $\\operatorname{gn}(t)$ |在 $[-1,1]$ 上的最大值, $g(-1)=a, g(1)=3 a-2$,\n\n且当 $t=\\frac{1-a}{4 a}$ 时, $g(t)$ 取得极小值, 极小值为 $g\\left(\\frac{1-a}{4 a}\\right)=-\\frac{(a-1)^{2}}{8 a}-1=-\\frac{a^{2}+6 a+1}{8 a}$,\n\n(二次函数在对称轴处取得极值)\n\n令 $-1<\\frac{1-a}{4 a}<1$, 得 $a<-\\frac{1}{3}$ (舍) 或 $a>\\frac{1}{5}$.\n\n(1)当 $0<a \\leqslant \\frac{1}{5}$ 时, $g(t)$ 在 $(-1,1)$ 内无极值点, $|g(-1)|=a,|g(1)|=2$ $-3 a, \\lg (-1)|<\\lg (1)|$,\n\n$\\therefore \\mathrm{A}=2-3 \\mathrm{a}$\n\n(2)当 $\\frac{1}{5}<a<1$ 时, 由 $g(-1)-g(1)=2(1-a)>0$, 得 $g(-1)>g$\n\n$$\n>\\mathrm{g}\\left(\\frac{1-\\mathrm{a}}{4 \\mathrm{a}}\\right)\n$$\n\n又 g $\\left(\\frac{1-a}{4 a}\\right)|-\\lg (-1)|=\\frac{(1-a)(1+7 a)}{8 a}>0$,\n\n$\\therefore \\mathrm{A}=\\lg \\left(\\frac{1-\\mathrm{a}}{4 \\mathrm{a}}\\right) \\quad \\mid=\\frac{\\mathrm{a}^{2}+6 \\mathrm{a}+1}{8 \\mathrm{a}}$,\n\n综上, $\\mathrm{A}=\\left\\{\\begin{array}{ll}2-3 a, & 0<a \\leqslant \\frac{1}{5} \\\\ \\frac{a^{2}+6 a+1}{8 a}, & \\frac{1}{5}<a<1 \\\\ 3 a-2, & a \\geqslant 1\\end{array}\\right.$.\n\n(III) 证明: 由 (I) 可得: |f' ( $x)|=|-2 a \\sin 2 x-(a-1) \\sin x|\\leqslant 2 a+| a-1 \\mid$,\n\n当 $0<a \\leqslant \\frac{1}{5}$ 时, If' $(x) \\mid<1+a \\leqslant 2-4 a<2(2-3 a)=2 A$,\n\n当 $\\frac{1}{5}<a<1$ 时, $A=\\frac{a^{2}+6 a+1}{8 a}=\\frac{a}{8}+\\frac{1}{8 a}+\\frac{3}{4}>1$,\n\n$\\therefore f^{\\prime}(x) \\quad 1 \\leqslant 1+a \\leqslant 2 A$,\n\n当 $a \\geqslant 1$ 时, If' $(x) \\quad \\mid \\leqslant 3 a-1 \\leqslant 6 a-4=2 A$,\n\n综上: If' $(x) \\mid \\leqslant 2 A$.\n",
            "analysis": "(I) 根据复合函数的导数公式进行求解即可求 $f^{\\prime}(\\mathrm{x})$;\n\n(II) 讨论 $\\mathrm{a}$ 的取值, 利用分类讨论的思想方法, 结合换元法, 以及一元二次函 数的最值的性质进行求解;\n\n(III) 由 (I), 结合绝对值不等式的性质即可证明: |f' $(x) \\quad \\mid \\leqslant 2 A$.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要求函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，我们有：\n$f'(x) = \\frac{d}{dx} (a \\cos 2x + (a-1)(\\cos x + 1))$<eoe>\n【答案】 \n利用三角函数的导数公式，我们可以得到：\n$f'(x) = -2a \\sin 2x - (a-1) \\sin x$<eoa>\n(2)【解析】 \n接下来，我们需要求函数 $f(x)$ 的最大值 $A$。根据极值的性质，函数在极值点处的导数为0，即 $f'(x) = 0$。解这个方程，我们可以找到可能的极值点，然后通过比较这些点和端点处的函数值，我们可以找到函数的最大值。<eoe>\n【答案】 \n将 $f'(x) = 0$，我们得到 $-2a \\sin 2x - (a-1) \\sin x = 0$。解这个方程，我们得到 $x = 0, \\pi$。然后我们比较 $f(0)$, $f(\\pi)$ 和 $f(-\\pi)$ 的值，得到 $f(0) = 2a$, $f(\\pi) = 2a-2$ 和 $f(-\\pi) = 2a-2$。因此，函数的最大值为 $A = 2a$。<eoa>\n(3)【解析】 \n最后，我们需要证明 $|f'(x)| \\leq 2A$。根据三角不等式，我们有 $|\\sin x| \\leq 1$ 和 $|\\sin 2x| \\leq 1$。因此，我们有 $|-2a \\sin 2x - (a-1) \\sin x| \\leq 2a + |a-1|$。我们需要证明这个不等式右边小于等于 $2A$。<eoe>\n【答案】 \n由于 $A = 2a$，所以我们需要证明 $2a + |a-1| \\leq 4a$。这个不等式显然是成立的，因为 $|a-1| \\leq a$。因此，我们证明了 $|f'(x)| \\leq 2A$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(I) 学生正确求出了 $f'(x)$ 的表达式，与标准答案一致，给满分。【得分】4分。\n\n(II) 学生在求最大值 $A$ 的过程中，错误地认为最大值为 $2a$，没有考虑到 $a$ 的不同取值范围以及函数的实际最大值，与标准答案不符，给0分。【得分】0分。\n\n(III) 学生在证明 $|f'(x)| \\leq 2A$ 时，错误地使用了 $A = 2a$，这与标准答案中 $A$ 的表达式不一致。学生的证明过程基于错误的最大值假设，因此证明不正确，给0分。【得分】0分。\n\n【总分】4分。",
            "model_correction_score": [
                4.0
            ]
        },
        {
            "index": 47,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 10,
            "question": "24. 已知函数 $f(x)=|2 x-a|+a$.\n\n(1) 当 $a=2$ 时, 求不等式 $f(x) \\leqslant 6$ 的解集;\n\n(2) 设函数 $g(x)=|2 x-1|$, 当 $x \\in R$ 时, $f(x)+g(x) \\geqslant 3$, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 当 $a=2$ 时, $f(x)=|2 x-2|+2$,\n\n$\\because f(x) \\leqslant 6, \\quad \\therefore|2 x-2|+2 \\leqslant 6$,\n\n$|2 x-2| \\leqslant 4,|x-1| \\leqslant 2$\n\n$\\therefore-2 \\leqslant x-1 \\leqslant 2$\n\n解得 $-1 \\leqslant x \\leqslant 3$,\n\n$\\therefore$ 不等式 $f(x) \\leqslant 6$ 的解集为 $\\{x \\mid-1 \\leqslant x \\leqslant 3\\}$.\n\n(2) $\\because g(x)=|2 x-1|$\n\n$\\therefore f(x)+g(x)=|2 x-1|+|2 x-a|+a \\geqslant 3$,\n\n$2\\left|x-\\frac{1}{2}\\right|+2\\left|x-\\frac{a}{2}\\right|+a \\geqslant 3$\n\n$\\left|x-\\frac{1}{2}\\right|+\\left|x-\\frac{a}{2}\\right| \\geqslant \\frac{3-a}{2}$\n\n当 $a \\geqslant 3$ 时, 成立,\n\n当 $a<3$ 时, $\\left|x-\\frac{1}{2}\\right|+\\left|x-\\frac{a}{2}\\right| \\geqslant \\frac{1}{2}|a-1| \\geqslant \\frac{3-a}{2}>0$,\n\n$\\therefore(a-1)^{2} \\geqslant(3-a)^{2}$,\n\n解得 $2 \\leqslant a<3$,\n\n$\\therefore \\mathrm{a}$ 的取值范围是 $[2,+\\infty)$.\n",
            "analysis": "(1) 当 $a=2$ 时, 由已知得 $2 x-2 \\mid+2 \\leqslant 6$, 由此能求出不等式 $f(x) \\leqslant 6$ 的解集.\n\n(2) 由 $f(x)+g(x)=|2 x-1|+|2 x-a|+a \\geqslant 3$, 得 $\\left|x-\\frac{1}{2}\\right|+\\left|x-\\frac{a}{2}\\right| \\geqslant \\frac{3-a}{2}$, 由此能 求出 $\\mathrm{a}$ 的取值范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，将$a$代入$f(x)$中，得到$f(x)=|2x-2|+2$。然后，解不等式$f(x) \\leqslant 6$，即$|2x-2|+2 \\leqslant 6$，化简得$|2x-2| \\leqslant 4$。这是一个绝对值不等式，可以转化为两个不等式求解。<eoe>\n\n【答案】 \n将$|2x-2| \\leqslant 4$转化为两个不等式，得到$-4 \\leqslant 2x-2 \\leqslant 4$。解这个不等式，得到$-1 \\leqslant x \\leqslant 3$。所以，当$a=2$时，不等式$f(x) \\leqslant 6$的解集为$[-1,3]$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n首先，将$g(x)$代入不等式$f(x)+g(x) \\geqslant 3$中，得到$f(x)+|2x-1| \\geqslant 3$。然后，将$f(x)$的表达式代入，得到$|2x-a|+a+|2x-1| \\geqslant 3$。这是一个包含绝对值的不等式，需要分情况讨论。<eoe>\n\n【答案】 \n将$|2x-a|+a+|2x-1| \\geqslant 3$分情况讨论：\n\n情况1：$2x-a \\geq 0$且$2x-1 \\geq 0$，即$x \\geq \\frac{a}{2}$且$x \\geq \\frac{1}{2}$。此时，不等式化为$2x-a+a+2x-1 \\geq 3$，即$4x \\geq 3$，得到$x \\geq \\frac{3}{4}$。由于$x \\geq \\frac{a}{2}$且$x \\geq \\frac{1}{2}$，所以$a \\leq 1.5$。\n\n情况2：$2x-a < 0$且$2x-1 < 0$，即$x < \\frac{a}{2}$且$x < \\frac{1}{2}$。此时，不等式化为$-2x+a+a-2x+1 \\geq 3$，即$-4x+2a+1 \\geq 3$，得到$x \\leq \\frac{2a-2}{4}$。由于$x < \\frac{a}{2}$且$x < \\frac{1}{2}$，所以$a \\geq 1$。\n\n综上，$a$的取值范围为$[1, 1.5]$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地将$a$代入$f(x)$中，并且正确地解出了不等式$f(x) \\leqslant 6$的解集。在答案部分，学生正确地将绝对值不等式转化为两个不等式，并且正确解出了$x$的取值范围。因此，第(1)部分给满分。\n\n(2) 学生在解析部分正确地将$g(x)$代入不等式中，并且正确地将$f(x)$的表达式代入，得到了包含绝对值的不等式。但是，在答案部分，学生在分情况讨论时出现了错误。学生没有正确理解绝对值不等式的分情况讨论方法，导致得出了错误的$a$的取值范围。正确的取值范围应该是$[2,+\\infty)$，而学生得出的是$[1, 1.5]$。因此，第(2)部分给0分。\n\n【得分】\n(1) 5分\n(2) 0分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 48,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\\triangle A B C$ 的面积 为 $\\frac{a^{2}}{3 \\sin A}$.\n\n(1) 求 $\\sin B \\sin C ;$\n\n(2) 若 $6 \\cos B \\cos C=1, a=3$, 求 $\\triangle A B C$ 的周长.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 由三角形的面积公式可得 $S_{\\triangle A B C}=\\frac{1}{2} a \\operatorname{acsin} B=\\frac{a^{2}}{3 \\sin A}$,\n\n$\\therefore 3 c \\sin B \\sin A=2 a$,\n\n由正弦定理可得 $3 \\sin C \\sin B \\sin A=2 \\sin A$,\n\n$\\because \\sin A \\neq 0$,\n\n$\\therefore \\sin B \\sin C=\\frac{2}{3}$;\n\n(2) $\\because 6 \\cos \\mathrm{B} \\cos \\mathrm{C}=1$,\n\n$\\therefore \\cos \\mathrm{B} \\cos \\mathrm{C}=\\frac{1}{6}$,\n\n$\\therefore \\cos B \\cos C-\\sin B \\sin C=\\frac{1}{6}-\\frac{2}{3}=-\\frac{1}{2}$,\n\n$\\therefore \\cos (\\mathrm{B}+\\mathrm{C})=-\\frac{1}{2}$,\n\n$\\therefore \\cos A=\\frac{1}{2}$,\n\n$\\because 0<\\mathrm{A}<\\pi$,\n\n$\\therefore A=\\frac{\\pi}{3}$\n\n$\\because \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R=\\frac{3}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}}=2 \\sqrt{3}$,\n\n$\\therefore \\sin B \\sin C=\\frac{b}{2 R} \\cdot \\frac{c}{2 R}=\\frac{b c}{(2 \\sqrt{3})^{2}}=\\frac{b c}{12}=\\frac{2}{3}$, $\\therefore b c=8$\n\n$\\because a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A$,\n\n$\\therefore b^{2}+c^{2}-b c=9$,\n\n$\\therefore(b+c)^{2}=9+3 c b=9+24=33$,\n\n$\\therefore b+c=\\sqrt{33}$\n\n$\\therefore$ 周长 $\\mathrm{a}+\\mathrm{b}+\\mathrm{c}=3+\\sqrt{33}$.\n",
            "analysis": "(1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,\n\n(2) 根据两角余弦公式可得 $\\cos A=\\frac{1}{2}$, 即可求出 $A=\\frac{\\pi}{3}$, 再根据正弦定理可得 $b c=8$ , 根据余弦定理即可求出 $b+c$, 问题得以解决.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n根据题目，我们知道三角形的面积可以用公式$S=\\frac{1}{2}ab\\sin C$表示，其中$S$是三角形的面积，$a$和$b$是两边的长度，$C$是这两边所夹的角。根据题目，我们有$S=\\frac{a^{2}}{3 \\sin A}$，所以我们可以得到$\\frac{1}{2}ab\\sin C=\\frac{a^{2}}{3 \\sin A}$。将这个等式两边同时除以$\\frac{1}{2}a$，我们可以得到$b\\sin C=\\frac{2a}{3 \\sin A}$。由于$\\sin B=\\frac{a\\sin C}{b}$，我们可以将$b\\sin C$代入这个等式，得到$\\sin B=\\frac{2a}{3b \\sin A}$。所以，$\\sin B \\sin C=\\frac{2a\\sin C}{3b \\sin A}=\\frac{2a}{3b \\sin A}*\\frac{2a}{3 \\sin A}=\\frac{4a^2}{9b}$.<eoe>\n\n【答案】 $\\sin B \\sin C=\\frac{4a^2}{9b}$<eoa>\n\n(2)【解析】 \n根据题目，我们知道$6 \\cos B \\cos C=1$，所以$\\cos B \\cos C=\\frac{1}{6}$。根据三角形的余弦定理，我们知道$\\cos B=\\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，$\\cos C=\\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。将这两个等式代入$\\cos B \\cos C=\\frac{1}{6}$，我们可以得到$\\frac{(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{4a^2bc}=\\frac{1}{6}$。由于题目给出$a=3$，我们可以将$a$代入这个等式，得到$\\frac{(9+c^2-b^2)(9+b^2-c^2)}{4*9bc}=\\frac{1}{6}$。解这个等式，我们可以得到$b^2+c^2=18$。由于三角形的周长是$a+b+c$，我们可以得到$a+b+c=3+\\sqrt{18}+\\sqrt{18}=3+2\\sqrt{18}$.<eoe>\n\n【答案】 $\\triangle ABC$的周长为$3+2\\sqrt{18}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的分析过程错误地将面积公式中的$\\sin C$与$\\sin A$混淆，并且错误地得出了$\\sin B \\sin C$的表达式。学生的答案与标准答案不符，因此该部分得0分。\n\n(2) 学生在分析过程中错误地应用了余弦定理，并且在计算过程中出现了错误，导致得出了错误的$b^2+c^2$的值。最终得出的周长表达式与标准答案不符，因此该部分得0分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 49,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "19. (12 分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生 产线上随机抽取 16 个零件, 并测量其尺寸（单位 $\\mathrm{cm}$ ）. 根据长期生产经验 ，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right.$ ) .\n\n（1）假设生产状态正常, 记 $X$ 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在（ $\\mu-3 \\sigma$ $, \\mu+3 \\sigma)$ 之外的零件数, 求 $P(X \\geqslant 1)$ 及 $X$ 的数学期望;\n\n（2）一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在（ $\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma)$ 之外的零件, 就 认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产 过程进行检查.\n\n（i ）试说明上述监控生产过程方法的合理性;\n\n(ii ) 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 9.95 & 10.12 & 9.96 & 9.96 & 10.01 & 9.92 & 9.98 & 10.04 \\\\\n\\hline 10.26 & 9.91 & 10.13 & 10.02 & 9.22 & 10.04 & 10.05 & 9.95 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n经计算得 $\\bar{x}=\\frac{1}{16} \\sum_{i=1}^{16} x_{i}=9.97, s=\\sqrt{\\frac{1}{16} \\sum_{i=1}^{16}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{16}\\left(\\sum_{i=1}^{16} x_{i}{ }^{2}-16 \\bar{x}^{2}\\right)} \\approx 0.212$, 其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸, $i=1,2, \\ldots, 16$.\n\n用样本平均数 $\\bar{x}$ 作为 $\\mu$ 的估计值 $\\mu$, 用样本标准差 $s$ 作为 $\\sigma$ 的估计值 $\\sigma$, 利用估 计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma)$ 之 外的数据, 用剩下的数据估计 $\\mu$ 和 $\\sigma$ （精确到 0.01 ）.\n\n附: 若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\\left(\\mu, \\sigma^{2}\\right)$, 则 $P(\\mu-3 \\sigma<Z<\\mu+3 \\sigma)=0.9974$, $0.9974^{16} \\approx 0.9592, \\sqrt{0.008} \\approx 0.09$\n",
            "standard_answer": "解：（1）由题可知尺寸落在 $(\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma)$ 之内的概率为 0.9974 ,\n\n则落在 $(\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma)$ 之外的概率为 $1-0.9974=0.0026$,\n\n因为 $P(X=0)=C_{16}^{0} \\times(1-0.9974){ }^{0} \\times 0.9974^{16} \\approx 0.9592$,\n\n所以 $P(X \\geqslant 1)=1-P(X=0)=0.0408$,\n\n又因为 $X \\sim B(16,0.0026)$,\n\n所以 $E(X)=16 \\times 0.0026=0.0416$;\n\n（2）（i ) 如果生产状态正常, 一个零件尺寸在 $(\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma)$ 之外的 概率只有 0.0026 , 一天内抽取的 16 个零件中, 出现尺寸在 $\\left(\\mu-3 \\sigma, \\mu^{-} \\mu^{+3}\\right.$ G）之外的零件的概率只有 0.0408 , 发生的概率很小. 因此一旦发生这种状 况, 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需 对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.\n\n(ii) 由 $\\bar{x}=9.97, s \\approx 0.212$, 得 $\\mu$ 的估计值为 $\\mu=9.97, \\sigma$ 的估计值为 $\\sigma=0.212$, 由样本数据可以看出一个\n\n零件的尺寸在 $(\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma)$ 之外, 因此需对当天的生产过程进行检查.\n\n剔除 $(\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma ）$ 之外的数据 9.22 , 剩下的数据的平均数为 $\\frac{1}{15}(16 \\times 9.97-9.22)=10.02$\n\n因此 $\\mu$ 的估计值为 10.02 .\n\n$\\sum_{i=1}^{16} x_{i}^{2}=16 \\times 0.212^{2}+16 \\times 9.97^{2} \\approx 1591.134$\n\n剔除 $(\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma)$ 之外的数据 9.22 , 剩下的数据的样本方差为 $\\frac{1}{15}\\left(1591.134-9.22^{2}-15 \\times 10.02^{2}\\right) \\approx 0.008$,\n\n因此 $\\sigma$ 的估计值为 $\\sqrt{0.008} \\approx 0.09$.\n",
            "analysis": "(1) 通过 $P(X=0)$ 可求出 $P(X \\geqslant 1)=1-P(X=0)=0.0408$, 利用二项 分布的期望公式计算可得结论;\n\n（2）（i ）由（1）及知落在 $(\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma)$ 之外为小概率事件可知该监控生 产过程方法合理;\n\n(ii ) 通过样本平均数 $\\bar{x}$ 、样本标准差 s估计 $\\mu 、 \\sigma$ 可知 $(\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma)$ $=(9.334,10.606)$, 进而需剔除 $(\\mu-3 \\sigma, \\mu+3 \\sigma)$ 之外的数据 9.22, 利 用公式计算即得结论.\n",
            "model_output": "(1)【解析】根据题目，随机变量$X$的分布为二项分布，$X$~$B(16, 1-0.9974)$，其中$1-0.9974$为一个零件尺寸在$(\\mu-3\\sigma, \\mu+3\\sigma)$之外的概率。因此，$P(X \\geqslant 1) = 1 - P(X = 0)$。又因为$P(X = 0) = (0.9974)^{16}$，所以$P(X \\geqslant 1) = 1 - (0.9974)^{16}$。二项分布的数学期望为$np$，所以$X$的数学期望为$16*(1-0.9974)$。<eoe>\n\n【答案】$P(X \\geqslant 1) = 1 - (0.9974)^{16} \\approx 0.0408$，$X$的数学期望为$16*(1-0.9974) \\approx 0.0416$。<eoa>\n\n(2)(i)【解析】正态分布的特性是，大部分数据（约99.74%）会落在均值$\\mu$的$3\\sigma$范围内，也就是在$(\\mu-3\\sigma, \\mu+3\\sigma)$之间。如果出现了尺寸在这个范围之外的零件，那么这个零件的尺寸就是一个异常值，这可能意味着生产过程出现了问题。因此，这种监控生产过程的方法是合理的。<eoe>\n\n【答案】正态分布的特性是，大部分数据（约99.74%）会落在均值$\\mu$的$3\\sigma$范围内，也就是在$(\\mu-3\\sigma, \\mu+3\\sigma)$之间。如果出现了尺寸在这个范围之外的零件，那么这个零件的尺寸就是一个异常值，这可能意味着生产过程出现了问题。因此，这种监控生产过程的方法是合理的。<eoa>\n\n(ii)【解析】根据题目，样本平均数$\\bar{x}=9.97$，样本标准差$s=0.212$。因此，$(\\mu-3\\sigma, \\mu+3\\sigma)$的范围就是$(9.97-3*0.212, 9.97+3*0.212)$，即$(9.334, 10.606)$。从数据中可以看出，只有一个数据$9.22$在这个范围之外，因此，需要对当天的生产过程进行检查。剔除这个数据后，用剩下的数据重新计算$\\mu$和$\\sigma$。<eoe>\n\n【答案】$(\\mu-3\\sigma, \\mu+3\\sigma)$的范围就是$(9.97-3*0.212, 9.97+3*0.212)$，即$(9.334, 10.606)$。从数据中可以看出，只有一个数据$9.22$在这个范围之外，因此，需要对当天的生产过程进行检查。剔除这个数据后，重新计算$\\mu$和$\\sigma$的值为$\\mu = \\frac{1}{15} \\sum_{i=1}^{15} x_{i}$，$\\sigma = \\sqrt{\\frac{1}{15} \\sum_{i=1}^{15}(x_{i}-\\mu)^{2}}$，具体数值需要根据实际计算结果给出。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n（1）学生在计算 $P(X \\geqslant 1)$ 时，正确地使用了 $1 - P(X = 0)$ 的方法，并且正确地使用了 $(0.9974)^{16}$ 来计算 $P(X = 0)$，得出了正确的概率 $0.0408$。在计算 $X$ 的数学期望时，学生正确地使用了二项分布的期望公式 $np$，得出了正确的期望 $0.0416$。因此，第（1）部分学生的答案完全正确。\n\n（2）（i）学生正确地解释了正态分布的特性，并且合理地说明了监控生产过程方法的合理性，答案正确。\n\n（ii）学生正确地使用了样本平均数和样本标准差来估计 $\\mu$ 和 $\\sigma$，并且正确地计算出了 $(\\mu-3\\sigma, \\mu+3\\sigma)$ 的范围。学生指出了需要对当天的生产过程进行检查，并且提出了剔除异常值后重新计算 $\\mu$ 和 $\\sigma$ 的方法。但是，学生没有给出具体的计算结果，而是给出了计算的公式。根据标准答案，需要计算剔除异常值后的 $\\mu$ 和 $\\sigma$ 的具体数值，学生未能完成这一步骤。\n\n【得分】\n（1）正确计算 $P(X \\geqslant 1)$ 和 $X$ 的数学期望，得满分 4 分。\n（2）（i）正确说明监控生产过程方法的合理性，得满分 2 分。\n（2）（ii）正确使用样本平均数和样本标准差估计 $\\mu$ 和 $\\sigma$，并指出需要检查生产过程，但未给出具体的计算结果，扣 2 分（给出了计算方法，但未完成计算）。\n\n【总分】8分",
            "model_correction_score": [
                8.0
            ]
        },
        {
            "index": 50,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "20. （12 分) 已知椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, 四点 $P_{1}(1,1), P_{2}(0,1$ ), $P_{3}\\left(-1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right), P_{4}\\left(1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.\n\n(1) 求 C 的方程;\n\n(2) 设直线 $I$ 不经过 $P_{2}$ 点且与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点. 若直线 $P_{2} A$ 与直线 $P_{2} B$ 的斜 率的和为 -1 , 证明: 1 过定点.\n",
            "standard_answer": "解： （1）根据椭圆的对称性, $P_{3}\\left(-1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right), P_{4}\\left(1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$ 两点必在 椭圆 C上,\n\n又 $P_{4}$ 的横坐标为 $1, \\therefore$ 椭圆必不过 $P_{1}(1,1)$,\n\n$\\therefore P_{2}(0,1), P_{3}\\left(-1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right), P_{4}\\left(1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$ 三点在椭圆 $C$ 上.\n\n把 $P_{2}(0,1), P_{3}\\left(-1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$ 代入椭圆 $C$, 得:\n\n$\\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{1}{b^{2}}=1 \\\\ \\frac{1}{a^{2}}+\\frac{3}{4 b^{2}}=1\\end{array}\\right.$, 解得 $a^{2}=4, b^{2}=1$,\n\n$\\therefore$ 椭圆 C 的方程为 $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$.\n\n证明: (2) (1)当斜率不存在时, 设 $\\mathrm{l}: \\mathrm{x}=\\mathrm{m}, \\mathrm{A}\\left(\\mathrm{m}, \\mathrm{y}_{\\mathrm{A}}\\right), B\\left(\\mathrm{~m},-\\mathrm{y}_{\\mathrm{A}}\\right)$,\n\n$\\because$ 直线 $P_{2} A$ 与直线 $P_{2} B$ 的斜率的和为 -1 ,\n\n$\\therefore k_{P_{2} \\mathrm{~A}}+k_{P_{2} \\mathrm{~B}}=\\frac{y_{\\dot{A}}-1}{m}+\\frac{-y_{\\dot{A}}-1}{m}=\\frac{-2}{m}=-1$,\n\n解得 $m=2$, 此时 1 过椭圆右顶点, 不存在两个交点, 故不满足.\n\n(2)当斜率存在时, 设 $1: y=k x+t,(t \\neq 1), A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$,\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=k x+t \\\\ x^{2}+4 y^{2}-4=0\\end{array}\\right.$ ，整理, 得 $\\left(1+4 k^{2}\\right) x^{2}+8 k t x+4 t^{2}-4=0$,\n\n$x_{1}+x_{2}=\\frac{-8 k t}{1+4 k^{2}}, x_{1} x_{2}=\\frac{4 t^{2}-4}{1+4 k^{2}}$\n\n则 $k_{P_{2} A}+k_{P_{2}}=\\frac{y_{1}-1}{x_{1}}+\\frac{y_{2}-1}{x_{2}}=\\frac{x_{2}\\left(k_{1}+t\\right)-x_{2}+x_{1}\\left(k_{2}+t\\right)-x_{1}}{x_{1} x_{2}}$ $=\\frac{\\frac{8 k t^{2}-8 k-8 k t^{2}+8 k t}{1+4 k^{2}}}{\\frac{4 t^{2}-4}{1+4 k^{2}}}=\\frac{8 k(t-1)}{4(t+1)(t-1)}=-1, \\quad 又 t \\neq 1$,\n\n$\\therefore t=-2 k-1$, 此时 $\\triangle=-64 k$, 存在 $k$, 使得 $\\triangle>0$ 成立,\n\n$\\therefore$ 直线 I 的方程为 $\\mathrm{y}=\\mathrm{kx}-2 \\mathrm{k}-1$,\n\n当 $x=2$ 时, $y=-1$,\n\n$\\therefore 1$ 过定点 (2, - 1).\n",
            "analysis": "（1）根据椭圆的对称性, 得到 $P_{2}(0,1), P_{3}\\left(-1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right), P_{4}(1$, $\\left.\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$ 三点在椭圆 $C$ 上. 把 $P_{2}(0,1), P_{3}\\left(-1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$ 代入椭圆 $C$, 求出 $a^{2}=4$ ,$b^{2}=1$, 由此能求出椭圆 $C$ 的方程. (2) 当斜率不存在时, 不满足; 当斜率存在时, 设 $\\mathrm{l}: \\mathrm{y}=\\mathrm{kx}+\\mathrm{t}, \\quad(\\mathrm{t} \\neq 1)$, 联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=k x+t \\\\ x^{2}+4 y^{2}-4=0\\end{array}\\right.$, 得 $\\left(1+4 k^{2}\\right) x^{2}+8 k t x+4 t^{2}-4=0$, 由此利用根的判别式、丰达定 理、直线方程, 结合已知条件能证明直线 I过定点（2, - $1 ）$.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们知道椭圆的方程是$\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，题目中给出了四个点，其中有三个点在椭圆上，我们可以将这三个点的坐标代入椭圆的方程中，得到三个关于a和b的方程，然后解这个方程组，就可以求出a和b的值，从而得到椭圆的方程。<eoe>\n\n【答案】\n假设$P_{1}(1,1), P_{3}\\left(-1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right), P_{4}\\left(1, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$是在椭圆上的三个点，将这三个点的坐标代入椭圆的方程中，我们得到以下三个方程：\n$\\frac{1}{a^{2}}+\\frac{1}{b^{2}}=1$，\n$\\frac{1}{a^{2}}+\\frac{3}{4b^{2}}=1$，\n$\\frac{1}{a^{2}}+\\frac{3}{4b^{2}}=1$。\n解这个方程组，我们得到$a^{2}=\\frac{4}{3}$，$b^{2}=\\frac{1}{2}$，所以椭圆的方程是$\\frac{3x^{2}}{4}+2y^{2}=1$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n题目要求证明直线$l$过定点，我们可以先求出直线$l$的方程，然后证明这个方程满足某个点的坐标。根据题目，直线$l$与椭圆相交于$A,B$两点，且直线$P_{2}A$与直线$P_{2}B$的斜率和为-1，我们可以根据这个条件求出$A,B$的坐标，然后用两点式求出直线$l$的方程。然后我们可以找一个满足这个方程的点，证明这个点就是直线$l$过的定点。<eoe>\n\n【答案】\n设直线$l$的方程为$y=kx+b$，与椭圆$\\frac{3x^{2}}{4}+2y^{2}=1$相交于$A,B$两点，设$A,B$的坐标分别为$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$，则有$\\frac{3x_{1}^{2}}{4}+2y_{1}^{2}=1$，$\\frac{3x_{2}^{2}}{4}+2y_{2}^{2}=1$，由直线$P_{2}A$与直线$P_{2}B$的斜率和为-1，我们有$\\frac{y_{1}-1}{x_{1}}+\\frac{y_{2}-1}{x_{2}}=-1$，解这个方程组，我们得到$x_{1}=-\\frac{2}{3}$，$x_{2}=\\frac{2}{3}$，$y_{1}=y_{2}=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$，所以直线$l$的方程为$y=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$，这个方程满足所有的$x$值，所以直线$l$过所有的点，即直线$l$过定点。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解答第一问时，错误地假设了 $P_1(1,1)$ 在椭圆上，而实际上应该是 $P_2(0,1)$ 在椭圆上。学生得出的椭圆方程是错误的，因此第一问得0分。\n\n(2) 学生在解答第二问时，没有正确理解题目条件，错误地求解了直线 $l$ 的方程，并且错误地认为直线 $l$ 过所有的点。学生没有正确使用题目中给出的条件，即直线 $P_2A$ 与直线 $P_2B$ 的斜率和为 -1，也没有正确求出直线 $l$ 的方程，因此第二问得0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 51,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "21. （12 分) 已知函数 $f(x)=a e^{2 x+}(a-2) e^{x}-x$.\n\n（1）讨论 $f(x)$ 的单调性;\n\n(2) 若 $f(x)$ 有两个零点, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解 （1）由 $f(x)=a e^{2 x+}(a-2) e^{x}-x$, 求导 $f^{\\prime}(x)=2 a e^{2 x+}(a-2) e^{x}-1$ 当 $a=0$ 时, $f^{\\prime}(x)=-2 e^{x}-1<0$,\n\n$\\therefore$ 当 $x \\in R, f(x)$ 单调递减,\n\n当 $a>0$ 时, $f^{\\prime}(x)=\\left(2 e^{x+1}\\right)\\left(a e^{x}-1\\right)=2 a\\left(e^{x}+\\frac{1}{2}\\right)\\left(e^{x}-\\frac{1}{a}\\right)$,\n\n令 $f^{\\prime}(x)=0$, 解得: $x=\\ln \\frac{1}{a}$,\n\n当 $f^{\\prime}(x)>0$ ，解得: $x>\\ln \\frac{1}{a}$,\n\n当 $f^{\\prime}(x)<0$, 解得: $x<\\ln \\frac{1}{a}$,\n\n$\\therefore x \\in\\left(-\\infty, \\ln \\frac{1}{a}\\right)$ 时, $f(x)$ 单调递减, $x \\in\\left(\\ln \\frac{1}{a},+\\infty\\right)$ 单调递增;\n\n当 $a<0$ 时, $f^{\\prime}(x)=2 a\\left(e^{x}+\\frac{1}{2}\\right) \\quad\\left(e^{x}-\\frac{1}{a}\\right)<0$, 恒成立,\n\n$\\therefore$ 当 $x \\in R, f(x)$ 单调递减,\n\n综上可知: 当 $a \\leqslant 0$ 时, $f(x)$ 在 $R$ 单调减函数,\n\n当 $a>0$ 时, $f(x)$ 在 $\\left(-\\infty, \\ln \\frac{1}{a}\\right)$ 是减函数, 在 $\\left(\\ln \\frac{1}{a},+\\infty\\right)$ 是增函数;\n\n(2) (1)若 $a \\leqslant 0$ 时, 由（1）可知: $f(x)$ 最多有一个零点,\n\n当 $a>0$ 时, $f(x)=a e^{2 x+}(a-2) e^{x}-x$,\n\n当 $x \\rightarrow-\\infty$ 时, $e^{2 x} \\rightarrow 0, e^{x} \\rightarrow 0$,\n\n$\\therefore$ 当 $x \\rightarrow-\\infty$ 时, $f(x) \\rightarrow+\\infty$,\n\n当 $x \\rightarrow \\infty, e^{2 x} \\rightarrow+\\infty$, 且远远大于 $e^{x}$ 和 $x$,\n\n$\\therefore$ 当 $x \\rightarrow \\infty, f(x) \\rightarrow+\\infty$,\n\n$\\therefore$ 函数有两个零点, $f(x)$ 的最小值小于 0 即可,\n\n由 $f(x)$ 在 $\\left(-\\infty, \\ln \\frac{1}{a}\\right)$ 是减函数, 在 $\\left(\\ln \\frac{1}{a},+\\infty\\right)$ 是增函数,\n\n$\\therefore f(x)_{\\min }=f\\left(\\ln \\frac{1}{a}\\right)=a \\times\\left(\\frac{1}{a^{2}}\\right)+(a-2) \\times \\frac{1}{a}-\\ln \\frac{1}{a}<0$,\n\n$\\therefore 1-\\frac{1}{a}-\\ln \\frac{1}{a}<0$, 即 $\\ln \\frac{1}{a}+\\frac{1}{a}-1>0$,\n\n设 $t=\\frac{1}{a}$, 则 $g(t)=\\ln t+t-1, \\quad(t>0)$,\n\n求导 $g^{\\prime}(t)=\\frac{1}{t}+1$, 由 $g(1)=0$, $\\therefore t=\\frac{1}{a}>1$, 解得: $0<a<1$,\n\n$\\therefore a$ 的取值范围 $(0,1)$.\n\n方法二: (1) 由 $f(x)=a e^{2 x}+(a-2) e^{x}-x$, 求导 $f^{\\prime}(x)=2 a e^{2 x}+(a-2) e^{x}-1$\n\n当 $a=0$ 时, $f^{\\prime}(x)=-2 e^{x}-1<0$,\n\n$\\therefore$ 当 $x \\in R, f(x)$ 单调递减,\n\n当 $a>0$ 时, $f^{\\prime}(x)=\\left(2 e^{x}+1\\right)\\left(a e^{x}-1\\right)=2 a\\left(e^{x}+\\frac{1}{2}\\right)\\left(e^{x}-\\frac{1}{a}\\right)$,\n\n令 $f^{\\prime}(x)=0$, 解得: $x=-\\ln a$,\n\n当 $f^{\\prime}(x)>0$, 解得: $x>-\\ln a$,\n\n当 $f^{\\prime}(x)<0$, 解得: $x<-\\ln a$,\n\n$\\therefore x \\in(-\\infty,-\\ln a)$ 时, $f(x)$ 单调递减, $x \\in(-\\ln a,+\\infty)$ 单调递增;\n\n当 $a<0$ 时, $f^{\\prime}(x)=2 a\\left(e^{x}+\\frac{1}{2}\\right) \\quad\\left(e^{x}-\\frac{1}{a}\\right)<0$, 恒成立，\n\n$\\therefore$ 当 $x \\in R, f(x)$ 单调递减,\n\n综上可知: 当 $a \\leqslant 0$ 时, $f(x)$ 在 $R$ 单调减函数,\n\n当 $a>0$ 时, $f(x)$ 在 $(-\\infty,-\\ln a)$ 是减函数, 在 $(-\\ln a,+\\infty)$ 是增函数;\n\n(2) (1)若 $a \\leqslant 0$ 时, 由（1）可知: $f(x)$ 最多有一个零点,\n\n(2)当 $a>0$ 时, 由 (1) 可知 当 $x=-\\ln a$ 时, $f(x)$ 取得最小值, $f(x){ }_{\\min }=f(-\\ln a$\n\n$$\n=1-\\frac{1}{\\mathrm{a}}-\\ln \\frac{1}{\\mathrm{a}}\n$$\n\n当 $a=1$, 时, $f(-\\ln a)=0$, 故 $f(x)$ 只有一个零点,\n\n当 $a \\in(1,+\\infty)$ 时, 由 $1-\\frac{1}{a}-\\ln \\frac{1}{a}>0$, 即 $f(-\\ln a)>0$,\n\n故 $f(x)$ 没有零点,\n\n当 $a \\in(0,1)$ 时, $1-\\frac{1}{a}-\\ln \\frac{1}{a}<0, f(-\\ln a)<0$,\n\n由 $f(-2)=a e^{-4+}(a-2) e^{-2+2}>-2 e^{-2}+2>0$,\n\n故 $f(x)$ 在 $(-\\infty,-\\ln a)$ 有一个零点, 假设存在正整数 $n_{0}$, 满足 $n_{0}>\\ln \\left(\\frac{3}{a}-1\\right)$, 则 $f\\left(n_{0}\\right)=e^{n_{0}}\\left(a_{e}{ }^{n_{0}+a-} 2\\right)-n_{0}>$ $e^{n_{0-} n_{0}>2^{n_{0}-} n_{0}>0}$\n\n由 $\\ln \\left(\\frac{3}{\\mathrm{a}}-1\\right)>-\\ln a$,\n\n因此在 $(-\\ln a,+\\infty)$ 有一个零点.\n\n$\\therefore a$ 的取值范围 ( $0,1 ）$.\n",
            "analysis": "(1）求导, 根据导数与函数单调性的关系, 分类讨论, 即可求得 $f(x)$ 单调性;\n\n（2）由（1）可知: 当 $a>0$ 时才有两个零点, 根据函数的单调性求得 $f(x)$ 最 小值, 由 $f(x)_{\\min }<0, g(a)=a l_{n} a+a-1, a>0$, 求导, 由 $g(a)_{\\min }=g\\left(e^{-2}\\right.$ )$=\\mathrm{e}^{-2} \\ln \\mathrm{n}^{-2}+\\mathrm{e}^{-2}-1=-\\frac{1}{\\mathrm{e}^{2}}-1, \\mathrm{~g}(1)=0$, 即可求得 $\\mathrm{a}$ 的取值范围.\n\n（1）求导, 根据导数与函数单调性的关系, 分类讨论, 即可求得 $f(x)$ 单调性;\n\n（2）分类讨论, 根据函数的单调性及函数零点的判断, 分别求得函数的零点, 即可求得 $\\mathrm{a}$ 的取值范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要求出函数 $f(x)$ 的导数。函数的单调性可以通过其导数的正负来判断，如果导数大于0，函数在该区间上单调递增，如果导数小于0，函数在该区间上单调递减。<eoe>\n\n【答案】 \n函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x)=2a e^{2x}+(a-2)e^{x}$。由于指数函数的性质，$e^{2x}$ 和 $e^{x}$ 在整个实数范围内都是大于0的，所以 $f'(x)$ 的正负取决于系数 $2a$ 和 $a-2$。当 $a>2$ 时，$f'(x)>0$，函数在整个实数范围内单调递增；当 $0<a<2$ 时，$f'(x)$ 在 $x<0$ 时大于0，在 $x>0$ 时小于0，函数在 $x<0$ 时单调递增，在 $x>0$ 时单调递减；当 $a<0$ 时，$f'(x)<0$，函数在整个实数范围内单调递减。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n函数有两个零点意味着函数的图像与x轴有两个交点。由于函数的单调性，我们知道当 $a>2$ 或 $a<0$ 时，函数在整个实数范围内单调，所以只能有一个零点。所以，只有当 $0<a<2$ 时，函数在 $x<0$ 时单调递增，在 $x>0$ 时单调递减，才可能有两个零点。<eoe>\n\n【答案】 \n所以，当 $0<a<2$ 时，函数 $f(x)$ 可能有两个零点。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生在（1）部分的解析中正确地指出了需要求导来判断函数的单调性，但是在求导的过程中犯了错误，导数计算不正确，正确的导数应该是 $f'(x)=2ae^{2x}+(a-2)e^x-1$。学生的答案中没有 $-1$ 这一项，因此导数计算错误。在单调性的讨论中，学生没有考虑到 $-1$ 这一项对单调性的影响，因此单调性的讨论也是错误的。在（1）部分，学生的答案没有给出正确的单调区间，因此不能给分。\n\n在（2）部分的解析中，学生正确地指出了当 $a>2$ 或 $a<0$ 时，函数在整个实数范围内单调，所以只能有一个零点。但是，学生在讨论 $0<a<2$ 时的情况时，没有正确地使用导数和函数值来判断函数是否有两个零点，也没有正确地求出 $a$ 的取值范围。学生的答案中没有考虑到函数的最小值，也没有正确地使用函数的单调性来判断零点的个数。因此，（2）部分的答案也是错误的。\n\n【得分】\n（1）部分：学生的导数计算错误，单调性讨论错误，因此这一部分得0分。\n（2）部分：学生没有正确地求出 $a$ 的取值范围，也没有正确地判断函数零点的个数，因此这一部分得0分。\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 52,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "22. (10 分) 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=3 \\cos \\theta \\\\ y=\\sin \\theta\\end{array}\\right.$, 数）, 直线 I 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\mathrm{a}+4 \\mathrm{t} \\\\ \\mathrm{y}=1-\\mathrm{t}\\end{array},(\\mathrm{t}\\right.$ 为参数）.\n\n(1) 若 $a=-1$, 求 $C$ 与 $\\mid$ 的交点坐标;\n\n(2) 若 $\\mathrm{C}$ 上的点到 $I$ 距离的最大值为 $\\sqrt{17}$, 求 $a$.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=3 \\cos \\theta \\\\ y=\\sin \\theta\\end{array}\\right.$ ( $\\theta$ 为参数), 化为标准方程 是: $\\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$;\n\n$a=-1$ 时, 直线 1 的参数方程化为一般方程是: $x+4 y-3=0$;\n\n联立方程 $\\left\\{\\begin{array}{c}\\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\\\ x+4 y-3=0\\end{array}\\right.$, 解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=3 \\\\ y=0\\end{array}\\right.$ 或 $\\left\\{\\begin{array}{c}x=-\\frac{21}{25} \\\\ y=\\frac{24}{25}\\end{array}\\right.$,\n\n所以椭圆 $C$ 和直线 $I$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\\left(-\\frac{21}{25}, \\frac{24}{25}\\right)$.\n\n(2) I 的参数方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=a+4 t \\\\ y=1-t\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数）化为一般方程是: $x+4 y-a-4=0$,\n\n椭圆 $C$ 上的任一点 $P$ 可以表示成 $P(3 \\cos \\theta, \\sin \\theta), \\theta \\in[0,2 \\pi)$,\n\n所以点 $P$ 到直线 $I$ 的距离 $d$ 为:\n\n$\\mathrm{d}=\\frac{|3 \\cos \\theta+4 \\sin \\theta-a-4|}{\\sqrt{17}}=\\frac{|5 \\sin (\\theta+\\phi)-a-4|}{\\sqrt{17}}, \\phi$ 满足 $\\tan \\phi=\\frac{3}{4}$, 且的 $\\mathrm{d}$ 的最大 值为 $\\sqrt{17}$.\n\n(1)当 $-a-4 \\leqslant 0$ 时, 即 $a \\geqslant-4$ 时,\n\n$|5 \\sin (\\theta+4)-a-4| \\leqslant|-5-a-4|=5+a+4=17$\n\n解得 $a=8 \\geqslant-4$, 符合题意.\n\n(2)当 $-a-4>0$ 时, 即 $a<-4$ 时\n\n$|5 \\sin (\\theta+4)-a-4| \\leqslant|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$\n\n解得 $a=-16<-4$, 符合题意.\n",
            "analysis": "(1) 将曲线 C 的参数方程化为标准方程, 直线 I 的参数方程化为一般 方程，联立两方程可以求得焦点坐标;\n\n(2) 曲线 C上的点可以表示成 $P(3 \\cos \\theta, \\sin \\theta), \\theta \\in[0,2 \\pi)$, 运用点到直线 距离公式可以表示出 $P$ 到直线 1 的距离, 再结合距离最大值为 $\\sqrt{17}$ 进行分析, 可以求出 $a$ 的值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要找到曲线C和直线I的交点，这意味着我们需要找到使得两个方程组相等的参数值。我们可以通过将两个方程组的x和y坐标设置为相等来实现这一点。<eoe>\n【答案】我们有：\n$x=3 \\cos \\theta = a+4t = -1 + 4t$，\n$y=\\sin \\theta = 1 - t$。\n解这个方程组，我们得到：\n$t = 1 - \\sin \\theta$，\n$-1 + 4(1 - \\sin \\theta) = 3 \\cos \\theta$，\n$-1 + 4 - 4 \\sin \\theta = 3 \\cos \\theta$，\n$3 + 4 \\sin \\theta = 3 \\cos \\theta$，\n$4 \\sin \\theta = 3 (\\cos \\theta - 1)$，\n$4 \\sin \\theta = 3 \\sqrt{1 - \\sin^2 \\theta} - 3$，\n平方两边得到：\n$16 \\sin^2 \\theta = 9 - 18 \\sin^2 \\theta + 9 \\sin^4 \\theta$，\n整理得到：\n$9 \\sin^4 \\theta + 34 \\sin^2 \\theta - 9 = 0$，\n这是一个二次方程，令$x = \\sin^2 \\theta$，我们得到：\n$9x^2 + 34x - 9 = 0$，\n解这个二次方程，我们得到$x = \\sin^2 \\theta = 1/3$或$x = \\sin^2 \\theta = -1$，\n因为$\\sin^2 \\theta$的值必须在0和1之间，所以我们只取$x = \\sin^2 \\theta = 1/3$，\n所以$\\sin \\theta = \\sqrt{1/3}$或$\\sin \\theta = -\\sqrt{1/3}$，\n因此，我们得到的交点坐标为：\n$(-1 + 4(1 - \\sqrt{1/3}), 1 - \\sqrt{1/3})$和$(-1 + 4(1 + \\sqrt{1/3}), 1 + \\sqrt{1/3})$。<eoa>\n\n(2)【解析】点到直线的距离公式为$d = \\frac{|Ax + By + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$，其中A、B、C是直线的系数，x、y是点的坐标。我们需要找到使得这个距离最大的点的坐标，这可以通过求导并找到导数为0的点来实现。<eoe>\n【答案】直线I的一般形式为$4x - y + 4a - 4 = 0$，所以A = 4，B = -1，C = 4a - 4。\n曲线C上的点的坐标为$(3\\cos\\theta, \\sin\\theta)$，所以我们有：\n$d = \\frac{|4*3\\cos\\theta - \\sin\\theta + 4a - 4|}{\\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \\frac{|12\\cos\\theta - \\sin\\theta + 4a - 4|}{\\sqrt{17}}$，\n因为$d = \\sqrt{17}$，所以我们有：\n$|12\\cos\\theta - \\sin\\theta + 4a - 4| = 17$，\n解这个方程，我们得到：\n$12\\cos\\theta - \\sin\\theta + 4a - 4 = 17$或$12\\cos\\theta - \\sin\\theta + 4a - 4 = -17$，\n解这两个方程，我们得到：\n$a = \\frac{17 + \\sin\\theta - 12\\cos\\theta + 4}{4}$或$a = \\frac{-17 + \\sin\\theta - 12\\cos\\theta + 4}{4}$，\n因为$\\cos\\theta$和$\\sin\\theta$的值必须在-1和1之间，所以我们得到的a的最大值和最小值分别为：\n$a_{max} = \\frac{17 + 1 - 12*(-1) + 4}{4} = 9$，\n$a_{min} = \\frac{-17 + 1 - 12*(-1) + 4}{4} = -1$，\n所以，a的取值范围为[-1, 9]。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地提出了解方程组的方法，但是在解方程的过程中出现了错误。学生将直线方程错误地写为 $x=3 \\cos \\theta = a+4t = -1 + 4t$ 和 $y=\\sin \\theta = 1 - t$，然后错误地解出了 $\\sin^2 \\theta = 1/3$ 或 $\\sin^2 \\theta = -1$。这个解法与标准答案不符，因此不能给分。学生的答案中也没有给出正确的交点坐标，所以这部分得0分。\n\n(2) 学生在解析部分正确地提出了使用点到直线距离公式的方法，但是在计算过程中出现了错误。学生错误地将直线方程写为 $4x - y + 4a - 4 = 0$，而标准答案中直线方程为 $x+4 y-a-4=0$。学生的解法与标准答案不符，因此不能给分。学生的答案中也没有给出正确的 $a$ 的值，所以这部分得0分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 53,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+4, g(x)=|x+1|+|x-1|$.\n\n（1）当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \\geqslant g(x)$ 的解集;\n\n（2）若不等式 $f(x) \\geqslant g(x)$ 的解集包含 $[-1,1]$, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解： (1) 当 $a=1$ 时, $f(x)=-x^{2}+x+4$, 是开口向下, 对称轴为 $x=\\frac{1}{2}$ 的 二次函数,\n\n$g(x)=|x+1|+|x-1|= \\begin{cases}2 x, & x>1 \\\\ 2, & -1 \\leqslant x \\leqslant 1, \\\\ -2 x, & x<-1\\end{cases}$\n\n当 $x \\in(1,+\\infty)$ 时, 令 $-x^{2}+x+4=2 x$, 解得 $x=\\frac{\\sqrt{17}-1}{2}, g(x)$ 在 $(1,+\\infty)$ 上单 调递增, $f(x)$ 在 $(1,+\\infty)$ 上单调递减, $\\therefore$ 此时 $f(x) \\geqslant g(x)$ 的解集为 ( $\\left.1, \\frac{\\sqrt{17}-1}{2}\\right]$\n\n当 $x \\in[-1,1]$ 时, $g(x)=2, f(x) \\geqslant f(-1)=2$.\n\n当 $x \\in(-\\infty,-1)$ 时, $g(x)$ 单调递减, $f(x)$ 单调递增, 且 $g(-1)=f(-1$ $=2$\n\n综上所述, $f(x) \\geqslant g(x)$ 的解集为 $\\left[-1, \\frac{\\sqrt{17}-1}{2}\\right]$;\n\n(2) 依题意得: $-x^{2}+a x+4 \\geqslant 2$ 在 $[-1,1]$ 恒成立, 即 $x^{2}-a x-2 \\leqslant 0$ 在 $[-1,1]$ 恒成立, 则只需 $\\left\\{\\begin{array}{l}1^{2}-a \\cdot 1-2 \\leqslant 0 \\\\ (-1)^{2}-a(-1)-2 \\leqslant 0\\end{array}\\right.$, 解得- $1 \\leqslant a \\leqslant 1$,\n\n故 $\\mathrm{a}$ 的取值范围是 $[-1,1]$.\n",
            "analysis": "（1）当 $a=1$ 时, $f(x)=-x^{2}+x+4, g(x)=|x+1|+|x-1|= \\begin{cases}2 x, & x>1 \\\\ 2, & -1 \\leqslant x \\leqslant 1 \\\\ -2 x, & x<-1\\end{cases}$ , 分 $x>1 、 x \\in[-1,1] 、 x \\in(-\\infty,-1)$ 三类讨论, 结合 $g(x)$ 与 $f(x)$ 的单调性质即可求得 $f(x) \\geqslant g(x)$ 的解集为 $\\left[-1, \\frac{\\sqrt{17}-1}{2}\\right]$;\n\n(2) 依题意得: $-x^{2}+a x+4 \\geqslant 2$ 在 $[-1,1]$ 恒成立 $\\Leftrightarrow x^{2}-a x-2 \\leqslant 0$ 在 $[-1,1]$ 恒 成立, 只需 $\\left\\{\\begin{array}{l}1^{2}-a \\cdot 1-2 \\leqslant 0 \\\\ (-1)^{2}-a(-1)-2 \\leqslant 0\\end{array}\\right.$ ， 解之即可得 $a$ 的取值范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要将函数g(x)进行分段处理。因为g(x)包含了绝对值，我们需要找到使得g(x)中的绝对值消失的x的取值范围。这个取值范围就是绝对值中的表达式等于0的解。所以，我们有$x+1=0$和$x-1=0$，解得$x=-1$和$x=1$。因此，我们将x的取值范围分为三段，即$x<-1$，$-1\\leq x\\leq 1$，$x>1$。然后，我们分别求出g(x)在这三个区间的表达式。接着，我们将得到的g(x)和f(x)进行比较，得到不等式的解集。<eoe>\n\n【答案】当$x<-1$时，$g(x)=-(x+1)+(x-1)=2$；当$-1\\leq x\\leq 1$时，$g(x)=(x+1)+(1-x)=2$；当$x>1$时，$g(x)=(x+1)-(x-1)=2$。所以，$g(x)=2$。将$a=1$代入$f(x)$，得到$f(x)=-x^{2}+x+4$。解不等式$f(x) \\geqslant g(x)$，即$-x^{2}+x+4 \\geqslant 2$，解得$x\\leq 1+\\sqrt{3}$或$x\\geq 1-\\sqrt{3}$。所以，不等式$f(x) \\geqslant g(x)$的解集为$(-\\infty, 1-\\sqrt{3}]\\cup[1+\\sqrt{3},+\\infty)$。<eoa>\n\n(2)【解析】题目要求不等式$f(x) \\geqslant g(x)$的解集包含$[-1,1]$，这意味着在$[-1,1]$这个区间内，$f(x)$的值都要大于等于$g(x)$的值。我们已经知道$g(x)=2$，所以我们需要找到使得$f(x) \\geqslant 2$在$[-1,1]$这个区间内成立的$a$的取值范围。我们可以先将$2$代入$f(x)$，然后解出$a$的取值范围。<eoe>\n\n【答案】将$2$代入$f(x)$，得到$-x^{2}+ax+4 \\geqslant 2$，即$-x^{2}+ax+2 \\geqslant 0$。这是一个二次不等式，我们可以通过求解这个二次不等式来找到$a$的取值范围。将$x=-1$和$x=1$代入不等式，得到$-(-1)^{2}+a*(-1)+2 \\geqslant 0$和$-(1)^{2}+a*1+2 \\geqslant 0$，解得$a \\leq 1$和$a \\geq 1$。所以，$a$的取值范围为$[1,1]$，即$a=1$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在分析过程中正确地将g(x)进行了分段处理，但是在计算g(x)的表达式时出现了错误，没有正确地处理每个区间内的绝对值。学生得出了错误的结论g(x)=2，这是不正确的。在解不等式f(x) ≥ g(x)时，学生没有正确地处理f(x)和g(x)在不同区间的比较，得出了错误的解集。因此，这一部分的答案是错误的。\n\n(2) 学生在分析过程中正确地理解了题目要求，但是在解二次不等式时出现了错误。学生没有正确地解出a的取值范围，得出了错误的结论a的取值范围为[1,1]，即a=1。这是不正确的。\n\n【得分】\n(1) 学生没有正确地求出g(x)的分段表达式，也没有正确地求出不等式的解集，因此这一部分得0分。\n(2) 孔学生没有正确地解出a的取值范围，因此这一部分也得0分。\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
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            ]
        },
        {
            "index": 54,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\\sin (A+C)=8 \\sin ^{2}$ $\\frac{B}{2}$ (1) 求 $\\cos B$;\n\n(2) 若 $a+c=6, \\triangle A B C$ 的面积为 2 , 求 $b$.\n",
            "standard_answer": "解: (1) $\\sin (A+C)=8 \\sin ^{2} \\frac{B}{2}$,\n\n$\\therefore \\sin B=4(1-\\cos B)$,\n\n$\\because \\sin ^{2} \\mathrm{~B}+\\cos ^{2} \\mathrm{~B}=1$\n\n$\\therefore 16(1-\\cos B)^{2}+\\cos ^{2} B=1$,\n\n$\\therefore 16(1-\\cos B)^{2}+\\cos ^{2} B-1=0$,\n\n$\\therefore 16(\\cos B-1)^{2+}(\\cos B-1)(\\cos B+1)=0$,\n\n$\\therefore(17 \\cos B-15)(\\cos B-1)=0$,\n\n$\\therefore \\cos B=\\frac{15}{17}$ （2）由（1）可知 $\\sin B=\\frac{8}{17}$,\n\n$\\because S_{\\triangle A B C}=\\frac{1}{2} a c \\cdot \\sin B=2$,\n\n$\\therefore \\mathrm{ac}=\\frac{17}{2}$\n\n$\\therefore b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \\cos B=a^{2}+c^{2}-2 \\times \\frac{17}{2} \\times \\frac{15}{17}$\n\n$=\\mathrm{a}^{2}+\\mathrm{c}^{2}-15=(\\mathrm{a}+\\mathrm{c})^{2}-2 \\mathrm{ac}-15=36-17-15=4$,\n\n$\\therefore b=2$.\n",
            "analysis": "（1）利用三角形的内角和定理可知 $A+C=\\pi-B$, 再利用诱导公式化简 $\\sin$ $(A+C)$ ，利用降幂公式化简 $8 \\sin ^{2} \\frac{B}{2}$, 结合 $\\sin ^{2} B+\\cos ^{2} B=1$, 求出 $\\cos B$,\n\n（2）由 (1) 可知 $\\sin B=\\frac{8}{17}$, 利用勾面积公式求出 ac, 再利用余弦定理即可求 出 b.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n根据三角形的角关系，我们知道 $A+C=180^{\\circ}-B$。所以，$\\sin (A+C)=\\sin (180^{\\circ}-B)=\\sin B$。所以，我们有 $\\sin B = 8 \\sin ^{2} \\frac{B}{2}$。\n我们知道 $\\sin B = 2 \\sin \\frac{B}{2} \\cos \\frac{B}{2}$，所以我们可以将上面的等式改写为 $2 \\sin \\frac{B}{2} \\cos \\frac{B}{2} = 8 \\sin ^{2} \\frac{B}{2}$。\n这个等式可以进一步简化为 $\\cos \\frac{B}{2} = 4 \\sin \\frac{B}{2}$，或者 $\\tan \\frac{B}{2} = \\frac{1}{4}$。\n根据 $\\cos B = 1 - 2 \\sin ^{2} \\frac{B}{2}$，我们可以求出 $\\cos B$ 的值。<eoe>\n【答案】 \n首先，我们需要求出 $\\sin \\frac{B}{2}$ 的值。由 $\\tan \\frac{B}{2} = \\frac{1}{4}$，我们可以得到 $\\sin \\frac{B}{2} = \\frac{1}{\\sqrt{17}}$。\n然后，我们将 $\\sin \\frac{B}{2}$ 的值代入到 $\\cos B = 1 - 2 \\sin ^{2} \\frac{B}{2}$ 中，得到 $\\cos B = 1 - 2 \\left(\\frac{1}{\\sqrt{17}}\\right)^{2} = 1 - \\frac{2}{17} = \\frac{15}{17}$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n根据海伦公式，三角形的面积 $S = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p$ 是半周长。在这个问题中，我们知道 $a+c=6$，$S=2$，我们需要求出 $b$ 的值。<eoe>\n【答案】 \n首先，我们需要求出 $p$ 的值。由 $p = \\frac{a+b+c}{2}$，我们可以得到 $p = \\frac{6+b}{2}$。\n然后，我们将 $p$，$a$，$c$ 和 $S$ 的值代入到海伦公式中，得到 $2 = \\sqrt{\\frac{6+b}{2}\\left(\\frac{6+b}{2}-6\\right)\\left(\\frac{6+b}{2}-b\\right)\\left(\\frac{6+b}{2}\\right)}$。\n解这个方程，我们可以得到 $b$ 的值为 2 或者 4。但是，由于 $b$ 是三角形的一条边，所以 $b$ 的值不能等于 6（否则，三角形就会退化成一条线）。所以，$b$ 的值只能是 4。",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析中正确地使用了三角形的内角和定理，但是在化简过程中出现了错误。学生错误地将 $\\sin B = 8 \\sin ^{2} \\frac{B}{2}$ 化简为 $\\cos \\frac{B}{2} = 4 \\sin \\frac{B}{2}$，这是不正确的。正确的化简应该是利用 $\\sin B = 2 \\sin \\frac{B}{2} \\cos \\frac{B}{2}$ 来构造一个关于 $\\cos B$ 的方程。学生的错误导致了后续的计算也是错误的。因此，学生在这一部分的得分应该是0分。\n\n(2) 学生在解析中提到了海伦公式，但是这个公式在这个问题中并不适用，因为我们并不知道三角形的半周长。学生没有使用题目中给出的条件和已知的 $\\sin B$ 的值来求解 $b$。学生的解法完全错误，因此在这一部分的得分也应该是0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
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            ]
        },
        {
            "index": 55,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "20. (12 分) 设 $O$ 为坐标原点, 动点 $M$ 在椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 上, 过 $M$ 作 $x$ 轴的 垂线, 垂足为 $N$, 点 $P$ 满足 $\\overrightarrow{\\mathrm{NP}}=\\sqrt{2} \\overrightarrow{\\mathrm{NM}}$.\n\n(1) 求点 $P$ 的轨迹方程;\n\n(2) 设点 $Q$ 在直线 $x=-3$ 上, 且 $\\overrightarrow{O P} \\bullet \\overrightarrow{P Q}=1$. 证明: 过点 $P$ 且垂直于 $O Q$ 的直线 $I$ 过 $C$ 的左焦点 $F$.\n",
            "standard_answer": "解：（1）设 $M\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$, 由题意可得 $N\\left(x_{0}, 0\\right)$,\n\n设 $P(x, y)$, 由点 $P$ 满足 $\\overrightarrow{\\mathrm{NP}}=\\sqrt{2} \\overrightarrow{\\mathrm{NM}}$.\n\n可得 $\\left(x-x_{0}, y\\right)=\\sqrt{2}\\left(0, y_{0}\\right)$,\n\n可得 $x-x_{0}=0, y=\\sqrt{2} y_{0}$,\n\n即有 $x_{0}=x, y_{0}=\\frac{y}{\\sqrt{2}}$, 代入椭圆方程 $\\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$, 可得 $\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{y^{2}}{2}=1$,\n\n即有点 $P$ 的轨迹方程为圆 $x^{2}+y^{2}=2$;\n\n（2）证明: 设 $Q(-3, m), P(\\sqrt{2} \\cos \\alpha, \\sqrt{2} \\sin \\alpha),(0 \\leqslant \\alpha<2 \\pi)$,\n\n$\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\bullet \\overrightarrow{\\mathrm{PQ}}=1$, 可得 $(\\sqrt{2} \\cos \\alpha, \\sqrt{2} \\sin \\alpha) \\bullet(-3-\\sqrt{2} \\cos \\alpha, m-\\sqrt{2} \\sin \\alpha)=1$,\n\n即为 $-3 \\sqrt{2} \\cos \\alpha-2 \\cos ^{2} \\alpha+\\sqrt{2} m \\sin \\alpha-2 \\sin ^{2} \\alpha=1$,\n\n当 $\\alpha=0$ 时, 上式不成立, 则 $0<\\alpha<2 \\pi$,\n\n解得 $m=\\frac{3(1+\\sqrt{2} \\cos \\alpha)}{\\sqrt{2} \\sin \\alpha}$,\n\n即有 $Q\\left(-3, \\frac{3(1+\\sqrt{2} \\cos \\alpha)}{\\sqrt{2} \\sin \\alpha}\\right)$ ，\n\n椭圆 $\\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左焦点 $F(-1,0)$,\n\n由 $\\overrightarrow{\\mathrm{PF}} \\bullet \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=(-1-\\sqrt{2} \\cos \\alpha,-\\sqrt{2} \\sin \\alpha) \\bullet\\left(-3, \\frac{3(1+\\sqrt{2} \\cos \\alpha)}{\\sqrt{2} \\sin \\alpha}\\right)$\n\n$=3+3 \\sqrt{2} \\cos \\alpha-3(1+\\sqrt{2} \\cos \\alpha)=0$\n\n可得过点 $P$ 且垂直于 $O Q$ 的直线 $I$ 过 $C$ 的左焦点 $F$.\n\n另解: 设 $Q(-3, t), P(m, n)$, 由 $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\bullet \\overrightarrow{\\mathrm{PQ}}=1$,\n\n可得 $(m, n) \\cdot(-3-m, t-n)=-3 m-m^{2}+n t-n^{2}=1$,\n\n又 $P$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 上, 可得 $m^{2}+n^{2}=2$,\n\n即有 $n t=3+3 m$,\n\n又椭圆的左焦点 $F(-1,0)$,\n\n$\\overrightarrow{\\mathrm{PF}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=(-1-\\mathrm{m},-\\mathrm{n}) \\cdot(-3, \\mathrm{t})=3+3 m-\\mathrm{nt}$\n\n$=3+3 m-3-3 m=0$,\n\n则 $\\overrightarrow{\\mathrm{PF}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}$,\n\n可得过点 $P$ 且垂直于 $O Q$ 的直线 I 过 $C$ 的左焦点 $F$.\n",
            "analysis": "（1）设 $M\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$, 由题意可得 $N\\left(x_{0}, 0\\right)$, 设 $P(x, y)$, 运用 向量的坐标运算, 结合 $M$ 满足椭圆方程, 化简整理可得 $P$ 的轨迹方程;\n\n（2）设 $Q(-3, m), P(\\sqrt{2} \\cos \\alpha, \\sqrt{2} \\sin \\alpha),(0 \\leqslant \\alpha<2 \\pi)$, 运用向量的数 量积的坐标表示, 可得 $m$, 即有 $Q$ 的坐标, 求得椭圆的左焦点坐标, 求得 $O Q$ , $P F$ 的斜率, 由两直线垂直的条件: 向量数量积为 0 , 即可得证.\n",
            "model_output": "(1)【解析】<eoe>\n首先，我们知道椭圆的参数方程为$x=\\sqrt{2}\\cos t, y=\\sin t$，那么点$M$的坐标可以表示为$M(\\sqrt{2}\\cos t, \\sin t)$，点$N$的坐标为$N(\\sqrt{2}\\cos t, 0)$。\n\n由题意，$\\overrightarrow{NP}=\\sqrt{2}\\overrightarrow{NM}$，我们可以得到点$P$的坐标为$P(\\sqrt{2}\\cos t, 2\\sin t)$。\n\n然后我们将点$P$的坐标代入椭圆的方程，得到$\\frac{(\\sqrt{2}\\cos t)^2}{2}+(2\\sin t)^2=1$，化简得到$\\cos^2 t+2\\sin^2 t=1$，这就是点$P$的轨迹方程。<eoa>\n\n(2)【解析】<eoe>\n设点$Q$的坐标为$Q(-3, y)$，由题意$\\overrightarrow{OP}\\bullet\\overrightarrow{PQ}=1$，我们可以得到$(-\\sqrt{2}\\cos t)(-3-\\sqrt{2}\\cos t)+(2\\sin t)(y-2\\sin t)=1$，化简得到$3\\sqrt{2}\\cos t+2\\cos^2 t+2y\\sin t-4\\sin^2 t=1$。\n\n又因为$\\cos^2 t+2\\sin^2 t=1$，所以$2\\cos^2 t+4\\sin^2 t=2$，代入上式得到$3\\sqrt{2}\\cos t+2y\\sin t=2$，解得$y=\\frac{2-3\\sqrt{2}\\cos t}{2\\sin t}$。\n\n设直线$I$的方程为$y=kx+b$，由于$I$过点$P$且垂直于$OQ$，所以$k=\\frac{2\\sin t}{3\\sqrt{2}\\cos t+2}$，$b=2\\sin t-k\\sqrt{2}\\cos t$。\n\n又因为椭圆$C$的左焦点$F(-1, 0)$，将$F$的坐标代入$I$的方程得到$0=-k+b$，解得$b=0$，所以$I$过$C$的左焦点$F$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生给出了正确的参数方程$x=\\sqrt{2}\\cos t, y=\\sin t$，并正确地得到了点$M$和点$N$的坐标。然而，在得到点$P$的坐标时，学生错误地将其表示为$P(\\sqrt{2}\\cos t, 2\\sin t)$，这是不正确的。正确的应该是$P(x, y)$，并且满足$x-x_0=0, y=\\sqrt{2}y_0$。学生没有正确地代入椭圆方程进行化简，因此得到的轨迹方程$\\cos^2 t+2\\sin^2 t=1$是错误的。正确的轨迹方程应该是$x^2+y^2=2$。因此，学生在这一部分没有得到正确的答案。【得分】0分\n\n(2) 学生在这一部分的解答中，没有正确地使用向量的数量积来求解$Q$的坐标，而是错误地将$P$的坐标代入了椭圆方程。学生没有正确地求出$Q$的坐标，也没有正确地证明过点$P$且垂直于$OQ$的直线$I$过$C$的左焦点$F$。学生的解答在这一部分也是错误的。【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 56,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "21. （12 分）已知函数 $f(x)=a x^{2}-a x-x \\ln x$, 且 $f(x) \\geqslant 0$.\n\n(1) 求 $a$;\n\n(2) 证明: $f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$, 且 $e^{-2}<f\\left(x_{0}\\right)<2^{-2}$.\n",
            "standard_answer": "(1） 解: 因为 $f(x)=a x^{2}-a x-x \\ln x=x(a x-a-\\ln x)(x>0)$, 则 $f(x) \\geqslant 0$ 等价于 $h(x)=a x-a-\\ln x \\geqslant 0$, 求导可知 $h^{\\prime}(x)=a-\\frac{1}{x}$. 则当 $a \\leqslant 0$ 时 $h^{\\prime}(x)<0$, 即 $y=h(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 上单调递减, 所以当 $x_{0}>1$ 时, $h\\left(x_{0}\\right)<h(1)=0$, 矛盾, 故 $a>0$.\n\n因为当 $0<x<\\frac{1}{a}$ 时 $h^{\\prime}(x)<0$ 、当 $x>\\frac{1}{a}$ 时 $h^{\\prime}(x)>0$, 所以 $h(x)_{\\text {min }}=h\\left(\\frac{1}{a}\\right)$,\n\n又因为 $h(1)=a-a-\\ln 1=0$,\n\n所以 $\\frac{1}{a}=1$, 解得 $a=1$;\n\n另解: 因为 $f(1)=0$, 所以 $f(x) \\geqslant 0$ 等价于 $f(x)$ 在 $x>0$ 时的最小值为 $f(1)$\n\n所以等价于 $f(x)$ 在 $x=1$ 处是极小值, 所以解得 $a=1$;\n\n（2）证明: 由（1）可知 $f(x)=x^{2}-x-x \\ln x, f^{\\prime}(x)=2 x-2-\\ln x$,\n\n令 $f^{\\prime}(x)=0$, 可得 $2 x-2-\\ln x=0$, 记 $t(x)=2 x-2-\\ln x$, 则 $t^{\\prime}(x)=2-\\frac{1}{x}$, 令 $t^{\\prime}(x)=0$, 解得: $x=\\frac{1}{2}$,\n\n所以 $\\mathrm{t}(\\mathrm{x})$ 在区间 $\\left(0, \\frac{1}{2}\\right)$ 上单调递减, 在 $\\left(\\frac{1}{2},+\\infty\\right)$ 上单调递增,\n\n所以 $\\mathrm{t}(\\mathrm{x})_{\\min }=\\mathrm{t}\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\ln 2-1<0$, 从而 $\\mathrm{t}(\\mathrm{x})=0$ 有解, 即 $\\mathrm{f}^{\\prime}(\\mathrm{x})=0$ 存在两根 $\\mathrm{x}_{0}$ $x_{2}$\n\n且不妨设 $f^{\\prime}(x)$ 在 $\\left(0, x_{0}\\right)$ 上为正、在 $\\left(x_{0}, x_{2}\\right)$ 上为负、在 $\\left(x_{2},+\\infty\\right)$ 上为 正,\n\n所以 $f(x)$ 必存在唯一极大值点 $x_{0}$, 且 $2 x_{0}-2-\\ln x_{0}=0$,\n\n所以 $f\\left(x_{0}\\right)=x_{0}^{2}-x_{0}-x_{0} \\ln x_{0}=x_{0}^{2}-x_{0}+2 x_{0}-2 x_{0}^{2}=x_{0}-x_{0}^{2}$,\n\n由 $x_{0}<\\frac{1}{2}$ 可知 $f\\left(x_{0}\\right)<\\left(x_{0}-x_{0}^{2}\\right)_{\\max }=-\\frac{1}{2^{2}}+\\frac{1}{2}=\\frac{1}{4}$;\n\n由 $\\mathrm{f}^{\\prime}\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}}\\right)<0$ 可知 $x_{0}<\\frac{1}{\\mathrm{e}}<\\frac{1}{2}$,\n\n所以 $f(x)$ 在 $\\left(0, x_{0}\\right)$ 上单调递增, 在 $\\left(x_{0}, \\frac{1}{e}\\right)$ 上单调递减,\n\n所以 $f\\left(x_{0}\\right)>f\\left(\\frac{1}{e}\\right)=\\frac{1}{e^{2}}$;\n\n综上所述, $f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$, 且 $e^{-2}<f\\left(x_{0}\\right)<2^{-2}$.\n",
            "analysis": "(1) 通过分析可知 $f(x) \\geqslant 0$ 等价于 $h(x)=a x-a-\\ln x \\geqslant 0$, 进而利 用 $h^{\\prime}(x)=a-\\frac{1}{x}$ 可得 $h(x)_{\\text {min }}=h\\left(\\frac{1}{a}\\right)$, 从而可得结论;\n\n(2) 通过 (1) 可知 $f(x)=x^{2}-x-x \\ln x$, 记 $t(x)=f^{\\prime}(x)=2 x-2-\\ln x$, 解不 等式可知 $t(x)_{\\text {min }}=t\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\ln 2-1<0$, 从而可知 $f^{\\prime}(x)=0$ 存在两根 $x_{0}, x_{2}$, 利用 $f(x)$ 必存在唯一极大值点 $x_{0}$ 及 $x_{0}<\\frac{1}{2}$ 可知 $f\\left(x_{0}\\right)<\\frac{1}{4}$, 另一方面可知 $f\\left(x_{0}\\right)>f\\left(\\frac{1}{e}\\right)=\\frac{1}{e^{2}}$.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要找到函数 $f(x)$ 的零点。由于 $f(x) \\geqslant 0$，我们可以设 $f(x) = 0$，并解出 $x$ 的值。然后，我们可以将这些值代入到 $f(x)$ 的定义中，得到 $a$ 的值。<eoe>\n\n【答案】 \n设 $f(x) = 0$，我们得到 $a x^{2}-a x-x \\ln x = 0$。这是一个二次方程，我们可以通过求解得到 $x$ 的值。由于这是一个二次方程，我们有两个解，分别是 $x = 1$ 和 $x = e$。将这两个解代入到 $f(x)$ 的定义中，我们得到两个等式：\n$a - a - \\ln 1 = 0$ 和 $a e^{2} - a e - e \\ln e = 0$，解这两个等式，我们得到 $a = 1$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n我们需要证明函数 $f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$，并且 $e^{-2}<f\\left(x_{0}\\right)<2^{-2}$。首先，我们可以通过求导数找到函数的极值点。然后，我们可以将这个极值点代入到函数中，得到函数在这个点的值。最后，我们需要证明这个值在 $e^{-2}$ 和 $2^{-2}$ 之间。<eoe>\n\n【答案】 \n函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x) = 2ax - a - \\ln x - 1$。设 $f'(x) = 0$，我们得到 $2ax - a - \\ln x - 1 = 0$。解这个方程，我们得到 $x = e$。所以，函数 $f(x)$ 的极大值点为 $x_{0} = e$。\n\n将 $x_{0} = e$ 代入到函数 $f(x)$ 中，我们得到 $f(e) = a e^{2} - a e - e \\ln e = e^{2} - e - e = e^{2} - 2e$。由于 $a = 1$，所以 $f(e) = e^{2} - 2e$。\n\n我们需要证明 $e^{-2}<f\\left(x_{0}\\right)<2^{-2}$。由于 $e < 3$，所以 $e^{2} < 9$。又因为 $2e < 6$，所以 $e^{2} - 2e < 3$。所以，我们有 $e^{-2} < f(e) < 3 < 2^{-2}$。所以，我们证明了 $f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0} = e$，且 $e^{-2}<f\\left(x_{0}\\right)<2^{-2}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解答过程中没有正确理解题目要求，错误地将 $f(x) = 0$ 作为求解 $a$ 的条件，而实际上应该是考虑 $f(x) \\geqslant 0$ 对所有 $x > 0$ 成立。学生的解法没有体现出对函数性质的正确理解，因此这部分不能给分。【得分】0分\n\n(2) 学生在解答过程中正确地考虑了求导数来找极值点，但是在求导的过程中犯了错误，导数应该是 $f'(x) = 2x - 1 - \\ln x$ 而不是 $f'(x) = 2ax - a - \\ln x - 1$。此外，学生错误地认为极大值点是 $x_0 = e$，而实际上极大值点应该是 $f'(x) = 0$ 的解，且小于 $\\frac{1}{2}$。学生的解答没有正确证明极大值点的存在性和唯一性，也没有正确证明 $e^{-2}<f\\left(x_{0}\\right)<2^{-2}$。因此这部分也不能给分。【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
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        },
        {
            "index": 57,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "22. (10 分) 在直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系, 曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $\\rho \\cos \\theta=4$.\n\n(1) $M$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点, 点 $P$ 在线段 $O M$ 上, 且满足 $|O M| \\cdot|O P|=16$, 求点 $P$ 的轨迹 $C_{2}$ 的直角坐标方程;\n\n(2) 设点 $A$ 的极坐标为 $\\left(2, \\frac{\\pi}{3}\\right)$, 点 $B$ 在曲线 $C_{2}$ 上, 求 $\\triangle O A B$ 面积的最大值\n",
            "standard_answer": "解: (1) 曲线 $C_{1}$ 的直角坐标方程为: $x=4$,\n\n设 $P(x, y) ， M\\left(4, y_{0}\\right) ， \\quad$ 则 $\\frac{x}{4}=\\frac{y}{y_{0}}, \\quad \\therefore y_{0}=\\frac{4 y}{x}$,\n\n$\\because|\\mathrm{OM}||\\mathrm{OP}|=16$\n\n$\\therefore \\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\sqrt{16+y_{0}^{2}}=16$\n\n即 $\\left(x^{2}+y^{2}\\right)\\left(1+\\frac{y^{2}}{x^{2}}\\right)=16$,\n\n$\\therefore x^{4}+2 x^{2} y^{2}+y^{4}=16 x^{2}$, 即 $\\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{2}=16 x^{2}$,\n\n两边开方得: $x^{2}+y^{2}=4 x$,\n\n整理得: $(x-2)^{2}+y^{2}=4(x \\neq 0)$,\n\n$\\therefore$ 点 $P$ 的轨迹 $C_{2}$ 的直角坐标方程: $(x-2)^{2}+y^{2}=4(x \\neq 0)$.\n\n（2）点 $A$ 的直角坐标为 $A(1, \\sqrt{3})$, 显然点 $A$ 在曲线 $C_{2}$ 上, $|O A|=2$,\n\n$\\therefore$ 曲线 $\\mathrm{C}_{2}$ 的圆心 $(2,0)$ 到弦 $\\mathrm{OA}$ 的距离 $\\mathrm{d}=\\sqrt{4-1}=\\sqrt{3}$,\n\n$\\therefore \\triangle \\mathrm{AOB}$ 的最大面积 $\\mathrm{S}=\\frac{1}{2}|\\mathrm{OA}| \\cdot(2+\\sqrt{3})=2+\\sqrt{3}$.\n",
            "analysis": "（1）设 $P(x, y)$, 利用相似得出 $M$ 点坐标, 根据 $|O M| \\cdot|O P|=16$ 列 方程化简即可;\n\n(2) 求出曲线 $C_{2}$ 的圆心和半径, 得出 $B$ 到 $O A$ 的最大距离, 即可得出最大面积\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们知道极坐标和直角坐标的转换公式为：$x=\\rho \\cos \\theta, y=\\rho \\sin \\theta$。将$\\rho \\cos \\theta=4$代入，得到$x=4$，这就是曲线$C_{1}$的直角坐标方程。\n然后，我们知道$|O M| \\cdot|O P|=16$，由于$|O M|=\\rho$，所以$|O P|=\\frac{16}{\\rho}$。由于点$P$在$O M$上，所以点$P$的极坐标可以表示为$\\left(\\frac{16}{\\rho}, \\theta\\right)$。将其转换为直角坐标，得到$x=\\frac{16 \\cos \\theta}{\\rho}, y=\\frac{16 \\sin \\theta}{\\rho}$。将$\\rho \\cos \\theta=4$代入，得到$x=4, y=4 \\tan \\theta$，这就是点$P$的轨迹$C_{2}$的直角坐标方程。<eoe>\n\n【答案】 \n点$P$的轨迹$C_{2}$的直角坐标方程为$x=4, y=4 \\tan \\theta$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n首先，我们知道点$A$的直角坐标为$(2 \\cos \\frac{\\pi}{3}, 2 \\sin \\frac{\\pi}{3})=(1, \\sqrt{3})$。然后，我们知道点$B$在$C_{2}$上，所以点$B$的直角坐标为$(4, 4 \\tan \\theta)$。由于$\\triangle O A B$的面积为$\\frac{1}{2} |O A| \\cdot |O B| \\cdot \\sin \\angle A O B$，所以我们需要找到使$\\sin \\angle A O B$最大的$\\theta$。由于$\\sin \\angle A O B=\\sin (\\angle A O x-\\angle B O x)=\\sin (\\arctan \\frac{2 \\sin \\frac{\\pi}{3}}{2 \\cos \\frac{\\pi}{3}}-\\arctan \\frac{4 \\tan \\theta}{4})=\\sin (\\frac{\\pi}{3}-\\arctan \\tan \\theta)=\\sin (\\frac{\\pi}{3}-\\theta)$，所以我们需要找到使$\\sin (\\frac{\\pi}{3}-\\theta)$最大的$\\theta$。由于$\\sin x$在$0 \\leq x \\leq \\pi$上单调递增，所以$\\sin (\\frac{\\pi}{3}-\\theta)$在$0 \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{3}$上单调递减，所以当$\\theta=0$时，$\\sin (\\frac{\\pi}{3}-\\theta)$取最大值$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$。此时，$\\triangle O A B$的面积为$\\frac{1}{2} |O A| \\cdot |O B| \\cdot \\sin \\angle A O B=\\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=2 \\sqrt{3}$。<eoe>\n\n【答案】 \n$\\triangle O A B$面积的最大值为$2 \\sqrt{3}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在分析过程中正确地得出了曲线$C_{1}$的直角坐标方程$x=4$，但在求点$P$的轨迹$C_{2}$的直角坐标方程时出现了错误。学生没有正确地使用条件$|OM|\\cdot|OP|=16$来求解$P$的轨迹，而是错误地假设了$|OP|=\\frac{16}{\\rho}$，并且错误地得出了$P$的轨迹方程为$x=4, y=4 \\tan \\theta$。正确的方程应该是$(x-2)^{2}+y^{2}=4(x \\neq 0)$。因此，学生在这一部分没有得到正确的答案。\n\n(2) 学生在求$\\triangle OAB$面积的最大值时，正确地得出了点$A$的直角坐标$(1, \\sqrt{3})$，但在求点$B$的坐标和$\\triangle OAB$面积的最大值时出现了错误。学生错误地假设了点$B$的坐标为$(4, 4 \\tan \\theta)$，并且错误地求解了$\\sin \\angle AOB$的最大值。正确的最大面积应该是$2+\\sqrt{3}$。因此，学生在这一部分也没有得到正确的答案。\n\n【得分】\n(1) 学生未能正确求出点$P$的轨迹$C_{2}$的直角坐标方程，此部分得0分。\n(2) 学生未能正确求出$\\triangle OAB$面积的最大值，此部分得0分。\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 58,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 已知 $a>0, b>0, a^{3}+b^{3}=2$. 证明:\n(1) $(a+b)\\left(a^{5}+b^{5}\\right) \\geqslant 4$;\n( 2$) a+b \\leqslant 2$.\n",
            "standard_answer": "证明: （1）由柯西不等式得: $(a+b) \\quad\\left(a^{5}+b^{5}\\right) \\geqslant\\left(\\sqrt{a^{*} a^{5}}+\\sqrt{b^{*} \\cdot b^{5}}\\right)$ ${ }^{2}=\\left(a^{3}+b^{3}\\right)^{2} \\geqslant 4$,\n\n当且仅当 $\\sqrt{a b^{5}}=\\sqrt{b a^{5}}$, 即 $a=b=1$ 时取等号,\n\n(2) $\\because a^{3}+b^{3}=2$,\n\n$\\therefore(a+b) \\quad\\left(a^{2}-a b+b^{2}\\right)=2$,\n\n$\\therefore(a+b)\\left[(a+b)^{2}-3 a b\\right]=2$,\n\n$\\therefore(a+b)^{3}-3 a b(a+b)=2$,\n\n$\\therefore \\frac{(a+b)^{3}-2}{3(a+b)}=a b$\n\n由均值不等式可得: $\\frac{(a+b)^{3}-2}{3(a+b)}=a b \\leqslant\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^{2}$,\n\n$\\therefore(a+b)^{3}-2 \\leqslant \\frac{3(a+b)^{3}}{4}$\n\n$\\therefore \\frac{1}{4}(a+b) 3 \\leqslant 2$\n\n$\\therefore a+b \\leqslant 2$, 当且仅当 $a=b=1$ 时等号成立.\n",
            "analysis": "（1）由柯西不等式即可证明,\n\n(2) 由 $a^{3}+b^{3}=2$ 转化为 $\\frac{(a+b)^{3}-2}{3(a+b)}=a b$, 再由均值不等式可得: $\\frac{(a+b)^{3}-2}{3(a+b)}=a b \\leqslant$ $\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^{2}$, 即可得到 $\\frac{1}{4}(a+b)^{3} \\leqslant 2$, 问题得以证明.\n",
            "model_output": "(1)【解析】根据已知条件，我们可以得到$a^3+b^3=2$。我们可以将这个式子转化为$(a+b)(a^2-ab+b^2)=2$。由于$a>0, b>0$，所以$a+b>0$，$a^2-ab+b^2>0$。因此，我们可以得到$a+b>0$，$a^2-ab+b^2>0$。然后我们可以将题目中的$(a+b)(a^5+b^5)$转化为$(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^3+b^3)$，然后利用已知条件进行化简。<eoe>\n【答案】首先，我们将$(a+b)(a^5+b^5)$转化为$(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^3+b^3)$，然后利用已知条件$a^3+b^3=2$，得到$(a+b)(a^2-ab+b^2)(2)$。由于$a+b>0$，$a^2-ab+b^2>0$，所以$(a+b)(a^2-ab+b^2)(2)>0$。然后我们可以得到$(a+b)(a^5+b^5)>2$。由于$a>0, b>0$，所以$a+b>0$，$a^5+b^5>0$。因此，我们可以得到$(a+b)(a^5+b^5)>2$。所以，$(a+b)(a^5+b^5) \\geqslant 4$。<eoa>\n\n(2)【解析】根据已知条件，我们可以得到$a^3+b^3=2$。我们可以将这个式子转化为$(a+b)(a^2-ab+b^2)=2$。由于$a>0, b>0$，所以$a+b>0$，$a^2-ab+b^2>0$。因此，我们可以得到$a+b>0$，$a^2-ab+b^2>0$。然后我们可以将题目中的$a+b$与$2$进行比较，得出结论。<eoe>\n【答案】首先，我们将$a^3+b^3=2$转化为$(a+b)(a^2-ab+b^2)=2$。由于$a>0, b>0$，所以$a+b>0$，$a^2-ab+b^2>0$。因此，我们可以得到$a+b>0$，$a^2-ab+b^2>0$。然后我们可以得到$a+b \\leqslant 2$。因此，$a+b \\leqslant 2$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生没有正确使用柯西不等式，而是错误地将 $(a+b)(a^5+b^5)$ 转化为 $(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^3+b^3)$，这是不正确的，因为 $(a^5+b^5)$ 不能直接分解为 $(a^2-ab+b^2)(a^3+b^3)$。学生的解答没有得到正确的不等式 $(a+b)(a^5+b^5) \\geqslant 4$，因此这部分给0分。\n\n(2) 学生没有正确使用均值不等式，而是错误地认为 $(a+b)(a^2-ab+b^2)=2$ 可以直接得出 $a+b \\leqslant 2$。学生没有展示出 $(a+b)^3 \\leqslant 8$ 的推导过程，也没有正确使用均值不等式，因此这部分给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 59,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "18. (12 分) 某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同, 进货成本每瓶 4 元, 售价每瓶 6 元, 末售出的酸奶降价处理, 以每瓶 2 元的价格当天全部处 理完. 根据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温 (单位: ${ }^{\\circ} \\mathrm{C}$ ) 有关. 如 果最高气温不低于 25, 需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25), 需求量为 300 瓶; 如果最高气温低于 20 , 需求量为 200 瓶. 为了确定六月份 的订购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据, 得下面的频数分布 表：\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 最高气温 & {$[10,15)$} & {$[15,20)$} & {$[20,25)$} & {$[25,30)$} & {$[30,35)$} & {$[35,40)$} \\\\\n\\hline 天数 & 2 & 16 & 36 & 25 & 7 & 4 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.\n\n（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X (单位：瓶）的分布列;\n\n（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$ (单位：元), 当六月份这种酸奶一 天的进货量 $n$ (单位: 瓶) 为多少时, $Y$ 的数学期望达到最大值?\n",
            "standard_answer": "解：(1) 由题意知 $X$ 的可能取值为 $200,300,500$,\n\n$P(X=200)=\\frac{2+16}{90}=0.2$,\n\n$P(X=300)=\\frac{36}{90}=0.4$,\n\n$P(X=500)=\\frac{25+7+4}{90}=0.4$\n\n$\\therefore \\mathrm{X}$ 的分布列为:\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline$X$ & 200 & 300 & 500 \\\\\n\\hline$P$ & 0.2 & 0.4 & 0.4 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n(2) 由题意知这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶, 至少为 200 瓶,\n\n$\\therefore$ 只需考虑 $200 \\leqslant \\mathrm{n} \\leqslant 500$,\n\n当 $300 \\leqslant n \\leqslant 500$ 时,\n\n若最高气温不低于 25 , 则 $Y=6 n-4 n=2 n$;\n\n若最高气温位于区间 $[20,25)$, 则 $Y=6 \\times 300+2(n-300)-4 n=1200-2 n$;\n\n若最高气温低于 20 , 则 $Y=6 \\times 200+2(n-200)-4 n=800-2 n$,\n\n$\\therefore E Y=2 n \\times 0.4+(1200-2 n) \\times 0.4+(800-2 n) \\times 0.2=640-0.4 n$,\n\n当 $200 \\leqslant n \\leqslant 300$ 时,\n\n若最高气温不低于 20 , 则 $Y=6 n-4 n=2 n$,\n\n若最高气温低于 20 , 则 $Y=6 \\times 200+2(n-200)-4 n=800-2 n$,\n\n$\\therefore E Y=2 n \\times(0.4+0.4)+(800-2 n) \\times 0.2=160+1.2 n$.\n\n$\\therefore n=300$ 时, $Y$ 的数学期望达到最大值, 最大值为 520 元.\n",
            "analysis": "(1) 由题意知 $X$ 的可能取值为 200, 300, 500, 分别求出相应的概率, 由此能求出 $X$ 的分布列. (2) 由题意知这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶, 至少为 200 瓶, 只需考虑 $200 \\leqslant n \\leqslant 500$, 根据 $300 \\leqslant n \\leqslant 500$ 和 $200 \\leqslant n \\leqslant 300$ 分类讨论经, 能得到当 $n=300$ 时, $E Y$ 最大值为 520 元.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要计算出六月份的总天数，即将表格中的天数相加，得到90天。\n然后，我们需要根据最高气温的区间，确定每天的需求量。根据题目，我们知道，如果最高气温不低于25℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为200瓶。\n最后，我们需要计算出每个需求量对应的频率，即每个需求量的天数除以总天数。<eoe>\n\n【答案】 \n需求量X的分布列如下：\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline 需求量X（瓶） & 200 & 300 & 500 \\\\\n\\hline 频率 & $\\frac{2+16}{90}$ & $\\frac{36}{90}$ & $\\frac{25+7+4}{90}$ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}<eoa>\n\n(2)【解析】 \n首先，我们需要计算出每天的利润Y，即售出的酸奶的收入减去进货的成本。根据题目，我们知道，每瓶酸奶的售价为6元，进货成本为4元，末售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。\n然后，我们需要计算出利润Y的数学期望，即每个利润值乘以其对应的频率的和。\n最后，我们需要找出使利润Y的数学期望达到最大值的进货量n。<eoe>\n\n【答案】 \n设每天的进货量为n瓶，售出的数量为min(n,X)，则每天的利润Y为售出的数量乘以售价减去进货的成本，即$Y=6*min(n,X)-4*n$。\n利润Y的数学期望为$E(Y)=\\sum_{i} Y_i*P_i$，其中$Y_i$为每个可能的利润值，$P_i$为其对应的频率。\n对于需求量X=200，有$Y_1=6*min(n,200)-4*n$，对应的频率为$\\frac{2+16}{90}$；\n对于需求量X=300，有$Y_2=6*min(n,300)-4*n$，对应的频率为$\\frac{36}{90}$；\n对于需求量X=500，有$Y_3=6*min(n,500)-4*n$，对应的频率为$\\frac{25+7+4}{90}$。\n因此，$E(Y)=\\frac{2+16}{90}*(6*min(n,200)-4*n)+\\frac{36}{90}*(6*min(n,300)-4*n)+\\frac{25+7+4}{90}*(6*min(n,500)-4*n)$。\n通过求解这个方程，我们可以找出使利润Y的数学期望达到最大值的进货量n。具体的求解过程需要使用数学工具，这里不再详述。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n（1）学生在解析部分正确地计算了需求量X的分布列，但是没有给出具体的概率值，只是写出了概率的计算公式。在答案部分，学生给出了正确的需求量X的分布列，但是没有计算具体的概率值。根据标准答案，学生应该给出具体的概率值。因此，学生在这一部分的答案不完整，可以给部分分数。\n（2）学生在解析部分没有给出具体的计算过程，也没有给出正确的结论。在答案部分，学生没有给出具体的利润Y的数学期望的计算过程，也没有得出正确的结论。根据标准答案，学生应该给出具体的计算过程和结论。因此，学生在这一部分的答案是错误的，不应给分。\n\n【得分】\n（1）由于学生给出了正确的需求量X的分布列，但没有计算具体的概率值，可以给出部分分数，例如3分（满分为6分）。\n（2）学生没有给出正确的计算过程和结论，不给分。\n\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 60,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "20. (12 分) 已知抛物线 $C: y^{2}=2 x$, 过点 $(2,0)$ 的直线।交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 圆 $M$ 是以线段 $A B$ 为直径的圆.\n\n(1) 证明：坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上;\n\n(2) 设圆 $M$ 过点 $P(4,-2)$, 求直线 $।$ 与圆 $M$ 的方程.\n",
            "standard_answer": "解: 方法一: 证明: (1) 当直线 I的斜率不存在时, 则 $A(2,2), B$ $(2,-2)$,\n\n则 $\\overrightarrow{O A}=(2,2), \\overrightarrow{O B}=(2,-2)$, 则 $\\overrightarrow{O A} \\cdot \\overrightarrow{O B}=0$,\n\n$\\therefore \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}$\n\n则坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上;\n\n当直线 I 的斜率存在, 设直线 $\\mid$ 的方程 $y=k(x-2), A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$, $\\left\\{\\begin{array}{l}y=k(x-2) \\\\ y^{2}=2 x\\end{array}\\right.$, 整理得: $k^{2} x^{2}-\\left(4 k^{2}+2\\right) x+4 k^{2}=0$, 则 $x_{1} x_{2}=4,4 x_{1} x_{2}=y_{1}{ }^{2} y_{2}{ }^{2}=\\left(y_{1} y_{2}\\right)^{2}$, 由 $y_{1} y_{2}<0$,\n\n则 $y_{1} y_{2}=-4$,\n\n由 $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\mathrm{x}_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0$,\n\n则 $\\overrightarrow{O A} \\perp \\overrightarrow{O B}$, 则坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上,\n\n综上可知: 坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上;\n\n方法二: 设直线 $\\mathrm{I}$ 的方程 $\\mathrm{x}=\\mathrm{my+2}$, $\\left\\{\\begin{array}{l}x=m y+2 \\\\ y^{2}=2 x\\end{array}\\right.$, 整理得: $y^{2}-2 m y-4=0, \\quad A \\quad\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B \\quad\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$,\n\n则 $y_{1} y_{2}=-4$\n\n则 $\\left(y_{1} y_{2}\\right)^{2}=4 x_{1} x_{2}$, 则 $x_{1} x_{2}=4$, 则 $\\overrightarrow{O A} \\cdot \\overrightarrow{O B}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0$,\n\n则 $\\overrightarrow{O A} \\perp \\overrightarrow{O B}$, 则坐标原点 $\\mathrm{O}$ 在圆 $\\mathrm{M}$ 上,\n\n$\\therefore$ 坐标原点 $\\mathrm{O}$ 在圆 $\\mathrm{M}$ 上;\n\n(2) 由 (1) 可知: $x_{1} x_{2}=4, x_{1}+x_{2}=\\frac{4 k^{2}+2}{k^{2}}, y_{1}+y_{2}=\\frac{2}{k}, y_{1} y_{2}=-4$,\n\n圆 $M$ 过点 $P(4,-2)$, 则 $\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\left(4-x_{1},-2-y_{1}\\right), \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}=\\left(4-x_{2},-2-y_{2}\\right)$,\n\n由 $\\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}=0$, 则 $\\left(4-\\mathrm{x}_{1}\\right)\\left(4-\\mathrm{x}_{2}\\right)+\\left(-2-\\mathrm{y}_{1}\\right)\\left(-2-\\mathrm{y}_{2}\\right)=0$,\n\n整理得: $k^{2}+k-2=0$, 解得: $k=-2, k=1$,\n\n当 $\\mathrm{k}=-2$ 时, 直线 $\\mathrm{l}$ 的方程为 $\\mathrm{y}=-2 x+4$,\n\n则 $x_{1}+x_{2}=\\frac{9}{2}, y_{1}+y_{2}=-1$,\n\n则 $M\\left(\\frac{9}{4},-\\frac{1}{2}\\right)$, 半径为 $r=|M P|=\\sqrt{\\left(4-\\frac{9}{4}\\right)^{2}+\\left(-2+\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\frac{\\sqrt{85}}{4}$,\n\n$\\therefore$ 圆 $\\mathrm{M}$ 的方程 $\\left(x-\\frac{9}{4}\\right)^{2}+\\left(y+\\frac{1}{2}\\right)^{2}=\\frac{85}{16}$.\n\n当直线斜率 $\\mathrm{k}=1$ 时, 直线 $\\mathrm{l}$ 的方程为 $\\mathrm{y}=\\mathrm{x}-2$,\n\n同理求得 $M(3,1)$, 则半径为 $r=|M P|=\\sqrt{10}$,\n\n$\\therefore$ 圆 $M$ 的方程为 $(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=10$,\n\n综上可知: 直线 $\\mathrm{l}$ 的方程为 $y=-2 x+4$, 圆 $M$ 的方程 $\\left(x-\\frac{9}{4}\\right)^{2}+\\left(y+\\frac{1}{2}\\right)^{2}=\\frac{85}{16}$,\n\n或直线 $\\mathrm{I}$ 的方程为 $y=x-2$, 圆 $M$ 的方程为 $(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=10$.\n",
            "analysis": "(1) 方法一: 分类讨论, 当直线斜率不存在时, 求得 $A$ 和 $B$ 的坐标, 由 $\\overrightarrow{O A} \\cdot \\overrightarrow{O B}=0$, 则坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上; 当直线 $\\mathrm{A}$ 斜率存在, 代人抛物线方程, 利用韦达定理及向量数量积的可得 $\\overrightarrow{O A} \\cdot \\overrightarrow{O B}=0$, 则坐标原点 $\\mathrm{O}$ 在圆 $M$ 上; 方法二: 设直线 I 的方程 $\\mathrm{x}=\\mathrm{my}+2$, 代人抛物线方程, 利用韦达定理及向量数量 积的坐标运算, 即可求得 $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=0$, 则坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上;\n\n(2) 由题意可知: $\\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}=0$, 根据向量数量积的坐标运算, 即可求得 $\\mathrm{k}$ 的值, 求得 $M$ 点坐标, 则半径 $r=|M P|$, 即可求得圆的方程.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n已知抛物线 $C: y^{2}=2 x$，过点 $(2,0)$ 的直线与抛物线交于 $A,B$ 两点，设直线的方程为 $y=k(x-2)$，则直线与抛物线的交点满足方程 $y=k(x-2)$ 和 $y^{2}=2 x$，解这两个方程可以得到交点的坐标。\n设 $A,B$ 两点的坐标分别为 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$，则由直径的中点公式知，$A,B$ 的中点为 $(\\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\\frac{y_{1}+y_{2}}{2})=(2,0)$，即 $x_{1}+x_{2}=4,y_{1}+y_{2}=0$。\n又由于 $A,B$ 在抛物线上，所以有 $y_{1}^{2}=2x_{1},y_{2}^{2}=2x_{2}$，将 $x_{1}+x_{2}=4$ 代入得 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=8$。\n由于原点到 $A,B$ 的距离相等，所以有 $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}$，即 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=2(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})$，解得 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=0$，与 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=8$ 矛盾，所以原点在圆 $M$ 上。<eoe>\n【答案】原点在圆 $M$ 上。<eoa>\n\n(2)【解析】\n已知圆 $M$ 过点 $P(4,-2)$，则圆 $M$ 的半径 $r$ 可以通过点 $P$ 和直径的中点 $(2,0)$ 的距离计算得到，即 $r=\\sqrt{(4-2)^{2}+(-2-0)^{2}}=\\sqrt{8}$。\n又因为 $A,B$ 两点的中点为圆心，所以圆的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=8$。\n将直线的方程 $y=k(x-2)$ 代入圆的方程，得到关于 $x$ 的二次方程 $(k^{2}+1)x^{2}-4k^{2}x+4k^{2}-8=0$，由于直线与圆有两个交点，所以这个二次方程有两个实根，即判别式大于等于0，解得 $k=\\pm\\sqrt{2}$。\n所以过点 $(2,0)$ 且与圆 $M$ 相交的直线的方程为 $y=\\sqrt{2}(x-2)$ 或 $y=-\\sqrt{2}(x-2)$。<eoe>\n【答案】过点 $(2,0)$ 且与圆 $M$ 相交的直线的方程为 $y=\\sqrt{2}(x-2)$ 或 $y=-\\sqrt{2}(x-2)$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解答第一问时，使用了直线与抛物线的交点坐标来推导，但是在推导过程中出现了逻辑错误，即错误地得出了 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=0$ 的结论，这与 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=8$ 矛盾。学生没有正确证明原点在圆 $M$ 上，因此第一问给分为0分。\n\n(2) 学生在解答第二问时，正确地使用了圆的半径公式，但是在求解直线方程时出现了错误。学生得出的直线方程 $y=\\sqrt{2}(x-2)$ 或 $y=-\\sqrt{2}(x-2)$ 与标准答案中的 $y=-2x+4$ 或 $y=x-2$ 不符。学生没有正确求出直线与圆的方程，因此第二问给分为0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 61,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "21. (12 分) 已知函数 $f(x)=x-1-a \\ln x$. (1) 若 $f(x) \\geqslant 0$, 求 $a$ 的值;\n\n（2）设 $m$ 为整数，且对于任意正整数 $n,\\left(1+\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\frac{1}{2^{2}}\\right) \\cdots\\left(1+\\frac{1}{2^{n}}\\right)<m$, 求 $m$ 的最小值.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 因为函数 $f(x)=x-1-\\operatorname{aln} x, x>0$,\n\n所以 $f^{\\prime}(x)=1-\\frac{a}{x}=\\frac{x-a}{x}$, 且 $f(1)=0$.\n\n所以当 $a \\leqslant 0$ 时 $f^{\\prime}(x)>0$ 恒成立, 此时 $y=f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 上单调递增, 这 与 $f(x) \\geqslant 0$ 矛盾;\n\n当 $a>0$ 时令 $f^{\\prime}(x)=0$, 解得 $x=a$,\n\n所以 $y=f(x)$ 在 $(0, a)$ 上单调递减, 在 $(a,+\\infty)$ 上单调递增, 即 $f(x) \\min ^{=} f$ (a)\n\n若 $a \\neq 1$, 则 $f(a)<f(1)=0$, 从而与 $f(x) \\geqslant 0$ 矛盾;\n\n所以 $a=1$;\n\n(2) 由 (1) 可知当 $a=1$ 时 $f(x)=x-1-\\ln x \\geqslant 0$, 即 $\\ln x \\leqslant x-1$, 所以 $\\ln (x+1) \\leqslant x$ 当且仅当 $x=0$ 时取等号,\n\n所以 $\\ln \\left(1+\\frac{1}{2^{\\mathrm{k}}}\\right)<\\frac{1}{2^{\\mathrm{k}}}, k \\in N^{*}$.\n\n$\\ln \\left(1+\\frac{1}{2}\\right)+\\ln \\left(1+\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\ldots+\\ln \\left(1+\\frac{1}{2^{n}}\\right)<\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2^{2}}+\\ldots+\\frac{1}{2^{n}}=1-\\frac{1}{2^{n}}<1$,\n\n即 $\\left(1+\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\frac{1}{2^{2}}\\right) \\cdots\\left(1+\\frac{1}{2^{n}}\\right)<e$;\n\n因为 $m$ 为整数, 且对于任意正整数 $n,\\left(1+\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\frac{1}{2^{2}}\\right) \\cdots\\left(1+\\frac{1}{2^{n}}\\right)<m$ 成立, 当 $n=3$ 时, 不等式左边大于 2 ,\n\n所以 $m$ 的最小值为 3 .\n",
            "analysis": "(1) 通过对函数 $f(x)=x-1-a \\ln x(x>0)$ 求导, 分 $a \\leqslant 0 、 a>0$ 两 种情况考虑导函数 $f^{\\prime}(x)$ 与 0 的大小关系可得结论;\n\n(2) 通过 (1) 可知 $\\ln x \\leqslant x-1$, 进而取特殊值可知 $\\ln \\left(1+\\frac{1}{2^{k}}\\right)<\\frac{1}{2^{k}}, k \\in N^{*}$. 一 方面利用等比数列的求和公式放缩可知 $\\left(1+\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\frac{1}{2^{2}}\\right) \\ldots\\left(1+\\frac{1}{2^{n}}\\right)<e$, 另一方面可知 $\\left(1+\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\frac{1}{2^{2}}\\right) \\ldots\\left(1+\\frac{1}{2^{n}}\\right)>2$, 从而当 $n \\geqslant 3$ 时, $\\left(1+\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\frac{1}{2^{2}}\\right) \\ldots$ $\\left(1+\\frac{1}{2^{n}}\\right) \\in(2, e)$, 比较可得结论.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n对于函数 $f(x)=x-1-a \\ln x$，我们需要找到使得 $f(x) \\geqslant 0$ 的 $a$ 的值。首先，我们需要找到 $f(x)$ 的最小值点，然后将这个最小值设为0，解出对应的 $a$ 值。\n\n对于函数 $f(x)$，我们可以通过求导找到其最小值点。函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x)=1-\\frac{a}{x}$。当 $f'(x)=0$ 时，我们可以得到 $x=a$。因此，$x=a$ 是函数 $f(x)$ 的最小值点。\n\n然后，我们将 $x=a$ 代入 $f(x)$，得到 $f(a)=a-1-a \\ln a$。由于我们希望 $f(x) \\geqslant 0$，所以我们需要使得 $f(a) \\geqslant 0$，即 $a-1-a \\ln a \\geqslant 0$。解这个不等式，我们可以得到 $a$ 的值。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们求解 $f'(x)=0$，得到 $x=a$。然后，我们将 $x=a$ 代入 $f(x)$，得到 $f(a)=a-1-a \\ln a$。然后，我们解不等式 $a-1-a \\ln a \\geqslant 0$，得到 $a \\leqslant 1$。因此，使得 $f(x) \\geqslant 0$ 的 $a$ 的值为 $a \\leqslant 1$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n对于数列 $\\left(1+\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\frac{1}{2^{2}}\\right) \\cdots\\left(1+\\frac{1}{2^{n}}\\right)$，我们可以看出，随着 $n$ 的增大，这个数列的值会越来越大。因此，我们需要找到一个最小的整数 $m$，使得对于任意正整数 $n$，都有 $\\left(1+\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\frac{1}{2^{2}}\\right) \\cdots\\left(1+\\frac{1}{2^{n}}\\right)<m$。\n\n我们可以看出，这个数列的每一项都小于等于2，因此，这个数列的值一定小于等于 $2^n$。因此，我们只需要找到一个最小的整数 $m$，使得 $2^n < m$ 对于所有的正整数 $n$ 都成立。\n\n因此，我们可以将 $2^n < m$ 解为 $n < \\log_2 m$。由于 $n$ 是正整数，所以我们需要找到一个最小的整数 $m$，使得 $\\log_2 m$ 是一个大于1的整数。这样，对于所有的正整数 $n$，都有 $n < \\log_2 m$。\n\n因此，我们需要找到最小的整数 $m$，使得 $\\log_2 m$ 是一个大于1的整数。<eoe>\n\n【答案】 \n我们需要找到最小的整数 $m$，使得 $\\log_2 m$ 是一个大于1的整数。考虑到 $\\log_2 2 = 1$，我们可以看出，当 $m=3$ 时，$\\log_2 3 > 1$。因此，$m$ 的最小值为3。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在分析过程中正确地求出了函数的导数，并找到了导数为零的点 $x=a$。然而，学生在解不等式 $a-1-a \\ln a \\geqslant 0$ 时犯了错误，得出了错误的结论 $a \\leqslant 1$。正确的结论应该是 $a=1$。因此，学生的答案部分正确，但结论错误。根据题目的分值和学生的分析过程，可以给予部分分数。\n\n(2) 孤生在分析过程中正确地使用了题目中的不等式 $\\ln x \\leqslant x-1$，并且正确地得出了数列的值小于 $e$。然而，学生在求解 $m$ 的最小值时没有正确地使用题目中的信息，而是错误地使用了 $2^n < m$ 这一不等式。正确的分析应该是使用题目中的不等式 $\\left(1+\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\frac{1}{2^{2}}\\right) \\cdots\\left(1+\\frac{1}{2^{n}}\\right)<m$，并且结合 $n=3$ 时的情况来得出 $m$ 的最小值为3。因此，学生的答案部分正确，但分析过程有误。根据题目的分值和学生的分析过程，可以给予部分分数。\n\n【得分】\n(1) 题目共12分，学生的分析过程部分正确，但结论错误，可以给予4分。\n(2) 题目共12分，学生的答案正确，但分析过程有误，可以给予6分。\n\n【总分】10分",
            "model_correction_score": [
                10.0
            ]
        },
        {
            "index": 62,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 10,
            "question": "22. (10 分) 在直角坐标系 $x O y$ 中, 直线 $l_{1}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2+t \\\\ y=k t\\end{array}\\right.$, ( $t$ 为参数), 直线 $I_{2}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=-2+m \\\\ y=\\frac{m}{k}\\end{array}\\right.$, ( $m$ 为参数). 设 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的交点为 $P$, 当 $k$ 变化 时, $P$ 的轨迹为曲线 $C$.\n\n(1) 写出 $C$ 的普通方程;\n\n(2) 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 $I_{3}: \\rho(\\cos \\theta+\\sin \\theta)$ $-\\sqrt{2}=0, M$ 为 $I_{3}$ 与 $C$ 的交点, 求 $M$ 的极径.\n",
            "standard_answer": "解: (1) $\\because$ 直线 $I_{1}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2+\\mathrm{t} \\\\ y=k \\mathrm{kt}\\end{array}\\right.$, ( $\\mathrm{t}$ 为参数),\n\n$\\therefore$ 消掉参数 $\\mathrm{t}$ 得：直线 $I_{1}$ 的普通方程为: $y=k(x-2)$ (1);\n\n又直线 $I_{2}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=-2+m \\\\ y=\\frac{m}{k}\\end{array}, \\quad(m\\right.$ 为参数 $)$,\n\n同理可得，直线 $I_{2}$ 的普通方程为: $x=-2+k y(2)$;\n\n联立(1)(2), 消去 $k$ 得: $x^{2}-y^{2}=4$, 即 $C$ 的普通方程为 $x^{2}-y^{2}=4(x \\neq 2$ 且 $y \\neq 0)$;\n\n(2) $\\because I_{3}$ 的极坐标方程为 $\\rho(\\cos \\theta+\\sin \\theta)-\\sqrt{2}=0$,\n\n$\\therefore$ 其普通方程为: $x+y-\\sqrt{2}=0$,\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}x+y=\\sqrt{2} \\\\ x^{2}-y=4\\end{array}\\right.$ 得: $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{3 \\sqrt{2}}{2} \\\\ y=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\end{array}\\right.$,\n\n$\\therefore \\rho^{2}=x^{2}+y^{2}=\\frac{18}{4}+\\frac{2}{4}=5$.\n\n$\\therefore I_{3}$ 与 $C$ 的交点 $M$ 的极径为 $\\rho=\\sqrt{5}$.\n",
            "analysis": "解: (1) 分别消掉参数 $\\mathrm{t}$ 与 $m$ 可得直线 $I_{1}$ 与直线 $I_{2}$ 的普通方程为 $y=k$ $(x-2)$ (1)与 $x=-2+k y(2)$; 联立(1)(2), 消去 $k$ 可得 $C$ 的普通方程为 $x^{2}-y^{2}=4$;\n\n(2) 将 $I_{3}$ 的极坐标方程为 $\\rho(\\cos \\theta+\\sin \\theta)-\\sqrt{2}=0$ 化为普通方程: $x+y-\\sqrt{2}=0$, 再与曲线 $C$ 的方程联立, 可得 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{3 \\sqrt{2}}{2} \\\\ y=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\end{array}\\right.$, 即可求得 $I_{3}$ 与 $C$ 的交点 $M$ 的极径为 $\\rho=\\sqrt{5}$\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要找到直线$l_1$和$l_2$的交点。由于$t$和$m$都是参数，我们可以设定两条直线的参数相等，即$t=m$。然后，我们将这个条件代入两条直线的参数方程，得到交点$P$的坐标。最后，我们将交点$P$的坐标代入曲线$C$的普通方程，得到曲线$C$的普通方程。<eoe>\n\n【答案】\n设$t=m$，则直线$l_1$和$l_2$的交点$P$的坐标为$(2+t, kt)=(2+m, m/k)$。因此，我们有\n$$\n\\begin{aligned}\nx &= 2+t = 2+m, \\\\\ny &= kt = m/k.\n\\end{aligned}\n$$\n解这个方程组，我们得到\n$$\n\\begin{aligned}\nt &= x - 2, \\\\\nk &= y / t = y / (x - 2).\n\\end{aligned}\n$$\n将第二个方程代入第一个方程，我们得到曲线$C$的普通方程为\n$$\ny = k(x - 2) = (y / (x - 2))(x - 2) = y.\n$$\n所以，曲线$C$的普通方程为$y = y$，即$y = x - 2$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n首先，我们需要将曲线$C$的普通方程和直线$I_3$的极坐标方程转换为极坐标形式。然后，我们将两个方程联立，解出极径$\\rho$。<eoe>\n\n【答案】\n曲线$C$的普通方程为$y = x - 2$，转换为极坐标形式，我们得到\n$$\n\\rho\\sin\\theta = \\rho\\cos\\theta - 2.\n$$\n直线$I_3$的极坐标方程为$\\rho(\\cos\\theta + \\sin\\theta) - \\sqrt{2} = 0$，转换为极坐标形式，我们得到\n$$\n\\rho = \\frac{\\sqrt{2}}{\\cos\\theta + \\sin\\theta}.\n$$\n将两个方程联立，我们得到\n$$\n\\frac{\\sqrt{2}}{\\cos\\theta + \\sin\\theta}\\sin\\theta = \\frac{\\sqrt{2}}{\\cos\\theta + \\sin\\theta}\\cos\\theta - 2.\n$$\n解这个方程，我们得到\n$$\n\\sin\\theta - \\cos\\theta = -2(\\cos\\theta + \\sin\\theta).\n$$\n解这个方程，我们得到$\\cos\\theta = \\sin\\theta = -1/\\sqrt{2}$。代入$\\rho$的表达式，我们得到\n$$\n\\rho = \\frac{\\sqrt{2}}{-1/\\sqrt{2} - 1/\\sqrt{2}} = \\sqrt{2}.\n$$\n所以，$M$的极径为$\\sqrt{2}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分没有正确理解题目中的参数方程和普通方程的关系，错误地设定了$t=m$，这是不正确的，因为$t$和$m$是两条直线的独立参数。学生在答案中得到的曲线$C$的普通方程$y=y$，即$y=x-2$是错误的。正确的方程应该是$x^2-y^2=4$。因此，这一部分得0分。\n\n(2) 子在解析部分没有正确地将极坐标方程转换为普通方程，也没有正确地联立方程求解。在答案中，学生错误地将曲线$C$的方程转换为极坐标形式，并且错误地解出了$\\rho=\\sqrt{2}$，而正确答案应该是$\\rho=\\sqrt{5}$。因此，这一部分也得0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 63,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "20. （12 分）某工厂的某种产品成箱包装, 每箱 200 件, 每一箱产品在交付用 户之前要对产品作检验, 如检验出不合格品, 则更换为合格品. 检验时, 先 从这箱产品中任取 20 件作检验, 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品 作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 $\\mathrm{p}(0<\\mathrm{p}<1)$, 且各件产品是否 为不合格品相互独立.\n\n(1) 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 求 $f(p)$ 的最大值点 $\\mathrm{p}_{0}$.\n\n（2）现对一箱产品检验了 20 件, 结果恰有 2 件不合格品, 以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为 $p$ 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元, 若有不合格品进入用户手中, 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用.\n\n(i) 若不对该箱余下的产品作检验, 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记 为 $X$, 求 $E X$;\n\n(ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据, 是否该对这箱余下的所有 产品作检验?\n",
            "standard_answer": "解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$,\n\n则 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$,\n\n$\\therefore f^{\\prime}(p)=C_{20}^{2}\\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$,\n\n令 $f^{\\prime}(p)=0$, 得 $p=0.1$,\n\n当 $p \\in(0,0.1)$ 时, $f^{\\prime}(p)>0$ ，\n\n当 $p \\in(0.1,1)$ 时, $f^{\\prime}(p)<0$ ，\n\n$\\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$.\n\n（2）(i) 由 (1) 知 $p=0.1$,\n\n令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \\sim B(180,0.1 ）$,\n\n$X=20 \\times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$ ，\n\n$\\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \\times 180 \\times 0.1=490$.\n\n(ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元,\n\n$\\because E(X)=490>400$,\n\n$\\therefore$ 应该对余下的产品进行检验.\n",
            "analysis": "$(1)$ 求 出 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$, 则 $f^{\\prime}(p)=C_{20}^{2}\\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$, 利用导数 性质能求出 $f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$.\n\n(2)（i）由 $p=0.1$, 令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数, 依题意知 $Y \\sim$ $B(180,0.1)$, 再由 $X=20 \\times 2+25 Y$, 即 $X=40+25 Y$, 能求出 $E(X)$.\n\n(ii）如果对余下的产品作检验, 由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, $E(X)$ $=490>400$, 从而应该对余下的产品进行检验.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们要求20件产品中恰有2件不合格品的概率$f(p)$。这是一个二项分布的问题，所以我们可以使用二项分布的公式来求解，即$f(p)=C_{20}^{2}p^{2}(1-p)^{18}$。\n然后，我们要求$f(p)$的最大值点$p_{0}$。这是一个求导的问题，我们可以通过求导数并令其等于0来求解。即$f'(p)=0$。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们求$f(p)$的导数：\n$f'(p)=C_{20}^{2}[(2p(1-p)^{18}-18p^{2}(1-p)^{17})]=0$，\n解得$p_{0}=2/20=0.1$。<eoa>\n\n(2)(i)【解析】 \n我们要求这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和的期望值$E X$。已知每件产品的检验费用为2元，所以20件产品的检验费用为$20*2=40$元。而对于赔偿费用，我们知道每件不合格品的赔偿费用为25元，而每件产品为不合格品的概率为$p_{0}=0.1$，所以余下180件产品中不合格品的期望数量为$180*p_{0}=18$，所以赔偿费用的期望值为$18*25=450$元。所以，$E X=40+450=490$元。<eoe>\n\n【答案】 \n$E X=490$元。<eoa>\n\n(2)(ii)【解析】 \n我们要根据检验费用与赔偿费用和的期望值来决定是否对这箱余下的所有产品作检验。如果对余下的所有产品作检验，那么检验费用将增加$180*2=360$元，但是可以避免所有的赔偿费用。所以，如果对所有产品作检验，那么总的费用将为$40+360=400$元。而如果不对所有产品作检验，那么总的费用将为$490$元。所以，我们应该对所有产品作检验。<eoe>\n\n【答案】 \n应该对这箱余下的所有产品作检验。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在分析过程中正确地识别了问题属于二项分布，并且正确地写出了概率函数$f(p)$。但是在求导数的过程中，学生没有给出完整的导数表达式和求导过程，直接给出了导数等于0的解$p_0=0.1$。虽然结果是正确的，但是缺少了完整的求导和求解过程，因此不能给满分。可以给予部分分数，例如给4分。\n\n(2)(i) 学生正确地计算了检验费用和赔偿费用的和的期望值$E(X)$，并得出了正确的答案490元。这部分应给满分，例如给4分。\n\n(2)(ii) 存在逻辑错误，学生没有考虑到对余下产品检验的费用是每件产品2元，而是错误地将其计算为总费用增加360元。正确的计算应该是检验费用为180件产品的检验费用加上原本的40元，即$180*2+40=400$元。学生的结论虽然是正确的，但是由于计算过程错误，不能给满分。可以给予部分分数，例如给2分。\n\n【得分】\n(1) 4分\n(2)(i) 4分\n(2)(ii) 2分\n【总分】10分",
            "model_correction_score": [
                10.0
            ]
        },
        {
            "index": 64,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "22. (10 分) 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y=k|x|+2$. 以坐标原点为 极点, $\\mathrm{x}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\\rho^{2}+2 \\rho \\cos \\theta-3=0$\n\n(1) 求 $C_{2}$ 的直角坐标方程;\n\n(2) 若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有且仅有三个公共点, 求 $C_{1}$ 的方程.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\\rho^{2}+2 \\rho \\cos \\theta-3=0$.\n\n转换为直角坐标方程为: $x^{2}+y^{2}+2 x-3=0$,\n\n转换为标准式为: $(x+1)^{2}+y^{2}=4$.\n\n（2）由于曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y=k|x|+2$, 则：该射线关于 $y$ 轴对称, 且恒过定点（ $0,2)$\n\n由于该射线与曲线 $C_{2}$ 的极坐标有且仅有三个公共点.\n\n所以: 必有一直线相切,一直线相交.\n\n则: 圆心到直线 $y=k x+2$ 的距离等于半径 2 .\n\n故: $\\frac{|2-k|}{\\sqrt{1+k^{2}}}=2$, 或 $\\frac{|2+k|}{\\sqrt{1+k^{2}}}=2$\n\n解得: $k=-\\frac{4}{3}$ 或 $0,\\left(0\\right.$ 舍去）或 $k=\\frac{4}{3}$ 或 0\n\n经检验, 直线 $y=\\frac{4}{3} x+2$ 与曲线 $C_{2}$ 没有公共点.\n\n故 $C_{1}$ 的方程为: $y=\\frac{4}{3}|x|+2$.\n",
            "analysis": "（1）直接利用转换关系, 把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进 行转化.\n\n(2) 利用直线在坐标系中的位置, 再利用点到直线的距离公式的应用求出结果.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要将极坐标方程转换为直角坐标方程。我们知道极坐标和直角坐标的关系是$x=\\rho\\cos\\theta$，$y=\\rho\\sin\\theta$。我们可以将$\\rho^{2}+2 \\rho \\cos \\theta-3=0$转换为直角坐标方程。<eoe>\n\n【答案】 \n由极坐标和直角坐标的关系，我们有$\\rho^{2}=x^{2}+y^{2}$，$\\rho\\cos\\theta=x$，将这两个关系代入到极坐标方程$\\rho^{2}+2 \\rho \\cos \\theta-3=0$中，得到$x^{2}+y^{2}+2x-3=0$。这就是$C_{2}$的直角坐标方程。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n我们知道$C_{1}$和$C_{2}$有且仅有三个公共点，这意味着$C_{1}$和$C_{2}$的方程在某些点上相等。我们可以通过解这两个方程的联立方程来找到这些点，然后根据这些点求出$C_{1}$的方程。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，我们将$C_{1}$的方程$y=k|x|+2$和$C_{2}$的方程$x^{2}+y^{2}+2x-3=0$联立，得到$x^{2}+(k|x|+2)^{2}+2x-3=0$。这是一个关于$x$的二次方程，由于$C_{1}$和$C_{2}$有且仅有三个公共点，所以这个二次方程有且仅有三个实根。这意味着这个二次方程的判别式$\\Delta=b^{2}-4ac$等于0。我们可以通过解这个方程来求出$k$。解得$k=\\pm\\sqrt{3}$。所以$C_{1}$的方程为$y=\\pm\\sqrt{3}|x|+2$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生正确地将极坐标方程转换为直角坐标方程，得到了正确的答案$x^{2}+y^{2}+2x-3=0$。因此，这部分给满分。\n\n(2) 学生在解析部分没有正确理解题目中“有且仅有三个公共点”的条件，错误地认为需要解联立方程并使判别式$\\Delta=0$。实际上，题目要求的是直线与圆相切或相交，应使用点到直线的距离公式。学生的答案中解得$k=\\pm\\sqrt{3}$，这与标准答案中的$k=-\\frac{4}{3}$或$k=\\frac{4}{3}$不符。因此，这部分给0分。\n\n【得分】\n(1) 5分\n(2) 0分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 65,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 已知 $f(x)=|x+1|-|a x-1|$.\n\n（1）当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x)>1$ 的解集;\n\n(2) 若 $x \\in(0,1)$ 时不等式 $f(x)>x$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 当 $a=1$ 时, $f(x)=|x+1|-|x-1|= \\begin{cases}2, & x>1 \\\\ 2 x, & -1 \\leqslant x \\leqslant 1 \\text {, } \\\\ -2, & x<-1\\end{cases}$\n\n由 $f(x)>1$,\n\n$\\therefore\\left\\{\\begin{array}{l}2 x>1 \\\\ -1 \\leqslant x \\leqslant 1\\end{array}\\right.$ 或 $\\left\\{\\begin{array}{l}2>1 \\\\ x>1\\end{array}\\right.$,\n\n解得 $x>\\frac{1}{2}$,\n\n故不等式 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})>1$ 的解集为 $\\left(\\frac{1}{2},+\\infty\\right)$,\n\n（2）当 $x \\in(0,1)$ 时不等式 $f(x)>x$ 成立,\n\n$\\therefore|x+1|-|a x-1|-x>0$,\n\n即 $x+1-|a x-1|-x>0$ ，\n\n即 $|a x-1|<1$ ，\n\n$\\therefore-1<a x-1<1$\n\n$\\therefore 0<\\mathrm{ax}<2$,\n\n$\\because x \\in(0,1)$,\n\n$\\therefore \\mathrm{a}>0$,\n\n$\\therefore 0<x<\\frac{2}{a}$,\n\n$\\therefore a<\\frac{2}{x}$\n\n$\\because \\frac{2}{x}>2$\n\n$\\therefore 0<a \\leqslant 2$,\n\n故 a 的取值范围为 $(0,2]$.\n",
            "analysis": "（1）去绝对值, 化为分段函数, 即可求出不等式的解集,\n\n(2) 当 $x \\in(0,1)$ 时不等式 $f(x)>x$ 成立, 转化为即 $|a x-1|<1$, 即 $0<a x<$\n\n2 , 转化为 $a<\\frac{2}{x}$, 且 $a>0$, 即可求出 $a$ 的范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】当$a=1$时，$f(x)=|x+1|-|x-1|$。这是一个绝对值函数，我们可以根据$x$的取值范围将其拆分为几个部分来考虑。<eoe>\n【答案】\n当$x<-1$时，$f(x)=-(x+1)-(x-1)=2$，解不等式$f(x)>1$得$x<-1$。\n当$-1\\leq x<1$时，$f(x)=-(x+1)+(x-1)=2-2x$，解不等式$f(x)>1$得$x<\\frac{1}{2}$。\n当$x\\geq1$时，$f(x)=(x+1)-(x-1)=2$，解不等式$f(x)>1$得$x\\geq1$。\n所以，不等式$f(x)>1$的解集为$x<-1$或$x\\geq1$。<eoa>\n\n(2)【解析】若$x \\in(0,1)$时不等式$f(x)>x$成立，我们需要找到$a$的取值范围，使得在$x \\in(0,1)$这个区间内，$f(x)$的值始终大于$x$。<eoe>\n【答案】\n当$x \\in(0,1)$时，$f(x)=x+1-a x+1=2-x(a-1)$。\n解不等式$f(x)>x$得$2-x(a-1)>x$，化简得$a<\\frac{2}{x}+1$。\n由于$x \\in(0,1)$，所以$\\frac{2}{x}+1>3$。\n所以，$a$的取值范围为$(-\\infty,3)$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地识别了需要将绝对值函数分段讨论，但在答案部分的分段讨论中出现了错误。学生得出的解集为 $x<-1$ 或 $x\\geq1$，这与标准答案中的解集 $\\left(\\frac{1}{2},+\\infty\\right)$ 不符。因此，学生的答案是错误的。\n\n(2) 学生在解析部分正确地识别了需要找到 $a$ 的取值范围，但在答案部分的处理中出现了错误。学生得出的 $a$ 的取值范围为 $(-\\infty,3)$，这与标准答案中的取值范围 $(0,2]$ 不符。因此，学生的答案是错误的。\n\n由于学生在两个小题中均未给出正确答案，且答案中的错误不是由计算错误导致的，而是由于对题目的理解和分析错误导致的，因此学生在这道题中的得分应为0分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 66,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_{1}=-7, S_{3}=-15$.\n\n（1）求 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式;\n\n(2) 求 $S_{n}$, 并求 $S_{n}$ 的最小值.\n",
            "standard_answer": "解: (1) $\\because$ 等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 中, $a_{1}=-7, \\mathrm{~S}_{3}=-15$,\n\n$\\therefore a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 解得 $a_{1}=-7, d=2$,\n\n$\\therefore a_{n}=-7+2(n-1)=2 n-9$;\n\n(2) $\\because a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$,\n\n$\\therefore s_{n}=\\frac{n}{2}\\left(a_{1}+a_{n}\\right)=\\frac{1}{2}\\left(2 n^{2}-16 n\\right)=n^{2}-8 n=(n-4)^{2}-16$,\n\n$\\therefore$ 当 $n=4$ 时, 前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 取得最小值为 -16 .\n",
            "analysis": "(1）根据 $a_{1}=-7, S_{3}=-15$, 可得 $a_{1}=-7,3 a_{1}+3 d=-15$, 求出等差数 列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的公差, 然后求出 $a_{n}$ 即可;\n\n(2) 由 $a_{1}=-7, d=2, a_{n}=2 n-9$, 得 $S_{n}=\\frac{n}{2}\\left(a_{1}+a_{n}\\right)=\\frac{1}{2}\\left(2 n^{2}-16 n\\right)=n^{2}-8 n=(n-4$ ) 2- 16, 由此可求出 $S_{n}$ 以及 $S_{n}$ 的最小值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n等差数列的前n项和公式为$S_n=\\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。已知$a_1=-7$，$S_3=-15$，可以代入公式求得$a_3$的值，然后利用等差数列的性质$a_n=a_1+(n-1)d$求得公差d，最后代入公差d和首项a_1求得通项公式。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，根据等差数列的前n项和公式$S_n=\\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$S_3=-15$，$a_1=-7$，得到$-15=\\frac{3}{2}(-7+a_3)$，解得$a_3=-1$。\n然后，根据等差数列的性质$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_3=-1$，$a_1=-7$，得到$-1=-7+2d$，解得公差$d=3$。\n最后，代入公差$d=3$和首项$a_1=-7$到等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得到$a_n=-7+(n-1)3=-10+3n$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n等差数列的前n项和公式为$S_n=\\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，已知$a_1=-7$，$a_n=-10+3n$，代入公式求得$S_n$。然后，由于$S_n$是关于n的二次函数，其开口向上，对称轴为x轴，所以最小值出现在对称轴上，即n的取值为$-\\frac{b}{2a}$，代入求得n的值，然后代入$S_n$求得最小值。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，根据等差数列的前n项和公式$S_n=\\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=-7$，$a_n=-10+3n$，得到$S_n=\\frac{n}{2}(-7-10+3n)=\\frac{3n^2}{2}-\\frac{17n}{2}$。\n然后，由于$S_n$是关于n的二次函数，其开口向上，对称轴为x轴，所以最小值出现在对称轴上，即n的取值为$-\\frac{b}{2a}$，代入$b=-\\frac{17}{2}$，$a=\\frac{3}{2}$，得到$n=\\frac{17}{6}$。\n最后，代入$n=\\frac{17}{6}$到$S_n=\\frac{3n^2}{2}-\\frac{17n}{2}$，得到$S_{min}=\\frac{3(\\frac{17}{6})^2}{2}-\\frac{17(\\frac{17}{6})}{2}=-\\frac{289}{36}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求通项公式的过程中，计算出了错误的公差 $d=3$，而正确答案中的公差应为 $d=2$。因此，学生得出的通项公式 $a_n=-10+3n$ 也是错误的。由于学生的解题过程中有部分正确的步骤，可以给予部分分数。对于第一问，可以给予 2 分的过程分。\n\n(2) 由于学生在第一问中得出的通项公式错误，导致在第二问中求 $S_n$ 的过程也是错误的。学生错误地将 $S_n$ 表达为 $\\frac{3n^2}{2}-\\frac{17n}{2}$，并且错误地求出了 $S_n$ 的最小值为 $-\\frac{289}{36}$。正确答案中 $S_n$ 的表达式为 $(n-4)^2-16$，最小值为 -16，且最小值出现在 $n=4$ 时。由于学生的答案完全错误，第二问不给分。\n\n【得分】2分\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 67,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "21. (12 分) 已知函数 $f(x)=e^{x}-a x^{2}$.\n\n（1）若 $a=1$, 证明: 当 $x \\geqslant 0$ 时, $f(x) \\geqslant 1$;\n\n(2) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个零点, 求 $a$. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]\n",
            "standard_answer": "证明：（1）当 $a=1$ 时, 函数 $f(x)=e^{x}-x^{2}$.\n\n则 $f^{\\prime}(x)=e^{x}-2 x$,\n\n令 $g(x)=e^{x}-2 x$, 则 $g^{\\prime}(x)=e^{x}-2$,\n\n令 $g^{\\prime}(x)=0$, 得 $x=\\ln 2$.\n\n当 $x \\in(0, \\ln 2)$ 时, $g^{\\prime}(x)<0$, 当 $x \\in(\\ln 2,+\\infty)$ 时, $g^{\\prime}(x)>0$,\n\n$\\therefore g(x) \\geqslant g(\\ln 2)=e^{\\ln 2}-2 \\cdot \\ln 2=2-2 \\ln 2>0$,\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $[0,+\\infty)$ 单调递增, $\\therefore f(x) \\geqslant f(0)=1$,\n\n解: (2) 方法一、, $f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个零点 $\\Leftrightarrow$ 方程 $e^{x}-a x^{2}=0$ 在 $(0$,\n\n$+\\infty$ ）只有一个根,\n\n$\\Leftrightarrow a=\\frac{e^{x}}{x^{2}}$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个根，\n\n即函数 $\\mathrm{y}=\\mathrm{a}$ 与 $G(x)=\\frac{\\mathrm{e}^{\\mathrm{x}}}{\\mathrm{x}^{2}}$ 的图象在 $(0,+\\infty)$ 只有一个交点.\n\n$G^{\\prime}(x)=\\frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}$\n\n当 $x \\in(0,2)$ 时, $\\mathrm{G}^{\\prime}(\\mathrm{x})<0$, 当 $\\in(2,+\\infty)$ 时, $\\mathrm{G}^{\\prime}(\\mathrm{x})>0$,\n\n$\\therefore G(x)$ 在 $(0,2)$ 递减, 在 $(2,+\\infty)$ 递增,\n\n当 $\\rightarrow 0$ 时, $G(x) \\rightarrow+\\infty$, 当 $\\rightarrow+\\infty$ 时, $G(x) \\rightarrow+\\infty$,\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个零点时, $a=G(2)=\\frac{e^{2}}{4}$.\n\n方法二: (1)当 $a \\leqslant 0$ 时, $f(x)=e^{x}-a x^{2}>0, f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 没有零点. .\n\n(2)当 $a>0$ 时, 设函数 $h(x)=1-a x^{2} e^{-x} . f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个零点 $\\Leftrightarrow h$\n\n$(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个零点.\n\n$h^{\\prime}(x)=x(x-2) e^{-x}$, 当 $x \\in(0,2)$ 时, $h^{\\prime}(x)<0$, 当 $x \\in(2,+\\infty)$ 时, $h^{\\prime}$\n\n$(\\mathrm{x})>0$\n\n$\\therefore h(x)$ 在 $(0,2)$ 递减, 在 $(2,+\\infty)$ 递增, $\\therefore \\mathrm{h}(\\mathrm{x})_{\\min }=\\mathrm{h}(2)=1-\\frac{4 \\mathrm{a}}{\\mathrm{e}^{2}}, \\quad(\\mathrm{x} \\geqslant$ 0). 当 $h(2)<0$ 时, 即 $a>\\frac{e^{2}}{4}$, 由于 $h(0)=1$, 当 $x>0$ 时, $e^{x}>x^{2}$, 可得 $h$ $(4 a)=1-\\frac{16 a^{3}}{e^{4 a}}=1-\\frac{16 a^{3}}{\\left(e^{2 a}\\right)^{2}}>1-\\frac{16 a^{3}}{(2 a)^{4}}=1-\\frac{1}{a}>0 . h(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 有 2 个零点\n\n当 $\\mathrm{h}(2)>0$ 时, 即 $\\mathrm{a}<\\frac{\\mathrm{e}^{2}}{4} ， \\mathrm{~h}(\\mathrm{x})$ 在 $(0,+\\infty)$ 没有零点,\n\n当 $h(2)=0$ 时, 即 $a=\\frac{e^{2}}{4}, h(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个零点, 综上, $f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个零点时, $a=\\frac{e^{2}}{4}$.\n",
            "analysis": "（1）通过两次求导, 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明\n\n（2）方法一、分离参数可得 $a=\\frac{\\mathrm{e}^{\\mathrm{x}}}{\\mathrm{x}^{2}}$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个根, 即函数 $y=a$ 与 $G($ $x)=\\frac{\\mathrm{e}^{\\mathrm{x}}}{\\mathrm{x}^{2}}$ 的图象在 $(0,+\\infty)$ 只有一个交点. 结合图象即可求得 $a$.\n\n方法二、 : (1)当 $a \\leqslant 0$ 时, $f(x)=e^{x}-a x^{2}>0, f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 没有零点. . (2)当 $a \\leqslant 0$ 时, 设函数 $h(x)=1-a x^{2} e^{-x} . f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个零点 $\\Leftrightarrow h$ $(\\mathrm{x})$ 在 $(0,+\\infty)$ 只有一个零点.\n\n利用 $h^{\\prime}(x)=x(x-2) e^{-x}$, 可得 $\\left.h(x)\\right)$ 在 $(0,2)$ 递减, 在 $(2,+\\infty)$ 递 增, 结合函数 $\\mathrm{h}(\\mathrm{x})$ 图象即可求得 $\\mathrm{a}$.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要证明当$a=1$，$x \\geqslant 0$时，$f(x) \\geqslant 1$。这个可以通过比较函数$f(x)$和$g(x)=1$在$x \\geqslant 0$的大小来完成。我们可以先找出$f(x)$和$g(x)$在$x \\geqslant 0$的交点，然后比较两个函数在$x \\geqslant 0$的大小。<eoe>\n\n【答案】设$h(x)=f(x)-g(x)=e^{x}-x^{2}-1$，我们需要找出$h(x)$在$x \\geqslant 0$的零点。令$h(x)=0$，得到$e^{x}=x^{2}+1$。由于$e^{x}$在$x \\geqslant 0$是严格递增的，$x^{2}+1$在$x \\geqslant 0$也是严格递增的，所以这个方程在$x \\geqslant 0$只有一个解。由于$e^{0}=1$，$0^{2}+1=1$，所以$x=0$就是这个解。因此，当$x>0$时，$e^{x}>x^{2}+1$，即$f(x)>g(x)$，当$x=0$时，$f(x)=g(x)$。所以，当$x \\geqslant 0$时，$f(x) \\geqslant 1$。<eoa>\n\n(2)【解析】根据题意，$f(x)$在$(0,+\\infty)$只有一个零点，意味着$f(x)$在$(0,+\\infty)$上是单调的。我们可以通过求导数来判断$f(x)$的单调性。如果$f'(x)$在$(0,+\\infty)$上大于0，那么$f(x)$在$(0,+\\infty)$上是递增的；如果$f'(x)$在$(0,+\\infty)$上小于0，那么$f(x)$在$(0,+\\infty)$上是递减的。我们需要找到一个$a$，使得$f'(x)$在$(0,+\\infty)$上大于0或小于0。<eoe>\n\n【答案】首先，我们求出$f(x)$的导数$f'(x)=e^{x}-2ax$。令$f'(x)=0$，得到$x=\\frac{e^{x}}{2a}$。由于$e^{x}$在$(0,+\\infty)$是严格递增的，$\\frac{e^{x}}{2a}$在$(0,+\\infty)$也是严格递增的，所以这个方程在$(0,+\\infty)$只有一个解。由于$f'(x)$在解的左侧小于0，在解的右侧大于0，所以$f(x)$在$(0,+\\infty)$只有一个零点。因此，$a$应满足$0<a<\\frac{e}{2}$。这样，$f'(x)$在$(0,+\\infty)$上大于0，$f(x)$在$(0,+\\infty)$上是递增的，且只有一个零点。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的解答过程中，虽然没有直接使用导数来证明，但是通过比较函数$f(x)$和$g(x)=1$的方法来证明$f(x) \\geqslant 1$是正确的。学生正确地证明了当$x=0$时，$f(x)=g(x)$，并且当$x>0$时，$f(x)>g(x)$。因此，学生的证明是正确的，可以给满分。\n\n【得分】6分\n\n(2) 学生的解答过程中，求导的方法是正确的，但是在解决方程$f'(x)=0$时出现了错误。学生错误地将方程简化为$x=\\frac{e^{x}}{2a}$，这是不正确的。正确的方程应该是$e^{x}-2ax=0$，并且学生没有正确地求出$a$的值。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】6分",
            "model_correction_score": [
                6.0
            ]
        },
        {
            "index": 68,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "22. (10 分) 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\theta \\\\ y=4 \\sin \\theta\\end{array},(\\theta\\right.$ 为 参数), 直线 I 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=1+t \\cos \\alpha \\\\ y=2+t \\sin \\alpha\\end{array}\\right.$, ( $t$ 为参数).\n\n(1) 求 C 和 I 的直角坐标方程;\n\n(2) 若曲线 $C$ 截直线 $I$ 所得线段的中点坐标为 $(1,2)$, 求 $\\mid$ 的斜率.\n",
            "standard_answer": "解：（1）曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos \\theta \\\\ y=4 \\sin \\theta\\end{array}\\right.$ ( $\\theta$ 为参数),\n\n转换为直角坐标方程为: $\\frac{y^{2}}{16}+\\frac{x^{2}}{4}=1$.\n\n直线 I 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=1+t \\cos \\alpha \\\\ y=2+\\sin \\alpha\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数).\n\n转换为直角坐标方程为: $x \\sin \\alpha-y \\cos \\alpha+2 \\cos \\alpha-\\sin \\alpha=0$. （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到: $\\frac{(2+t \\sin \\alpha)^{2}}{16}+\\frac{(1+t \\cos \\alpha)^{2}}{4}=1$\n\n整理得： $\\left(4 \\cos ^{2} \\alpha+\\sin ^{2} \\alpha\\right) t^{2}+(8 \\cos \\alpha+4 \\sin \\alpha) t-8=0$,\n\n则: $t_{1}+t_{2}=-\\frac{8 \\cos \\alpha+4 \\sin \\alpha}{4 \\cos ^{2} \\alpha+\\sin ^{2} \\alpha}$,\n\n由于 (1, 2) 为中点坐标,\n\n(1)当直线的斜率不存时, $x=1$.\n\n无解故舍去.\n\n(2)当直线的斜率存在时, (由于 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 为 $A 、 B$ 对应的参数)\n\n所以利用中点坐标公式 $\\frac{\\mathrm{t}_{1}+\\mathrm{t}_{2}}{2}=0$,\n\n则: $8 \\cos \\alpha+4 \\sin \\alpha=0$,\n\n解得: $\\tan \\alpha=-2$,\n\n即: 直线 I 的斜率为 -2 .\n",
            "analysis": "（1）直接利用转换关系, 把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进 行转化.\n\n(2) 利用直线和曲线的位置关系, 在利用中点坐标求出结果.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要将曲线C和直线I的参数方程转化为直角坐标方程。\n对于曲线C，我们可以利用三角函数的基本恒等式$\\sin^2\\theta + \\cos^2\\theta = 1$，将$\\cos\\theta$和$\\sin\\theta$表示为$x$和$y$的函数，然后将这两个函数代入到恒等式中，得到曲线C的直角坐标方程。\n对于直线I，我们可以将$t$消去，得到直线I的直角坐标方程。<eoe>\n\n【答案】\n对于曲线C，我们有\n$x = 2\\cos\\theta$，所以$\\cos\\theta = \\frac{x}{2}$；\n$y = 4\\sin\\theta$，所以$\\sin\\theta = \\frac{y}{4}$。\n将这两个等式代入到恒等式$\\sin^2\\theta + \\cos^2\\theta = 1$中，得到\n$\\left(\\frac{y}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{x}{2}\\right)^2 = 1$，\n即曲线C的直角坐标方程为$\\frac{x^2}{4} + \\frac{y^2}{16} = 1$。\n\n对于直线I，我们有\n$x = 1 + t\\cos\\alpha$，所以$t = \\frac{x-1}{\\cos\\alpha}$；\n$y = 2 + t\\sin\\alpha$，将$t$的表达式代入，得到\n$y = 2 + \\frac{x-1}{\\cos\\alpha}\\sin\\alpha$，\n即直线I的直角坐标方程为$y = 2 + \\tan\\alpha(x-1)$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n根据题目，曲线C截直线I所得线段的中点坐标为$(1,2)$，这意味着曲线C和直线I在这个点相交。我们可以将这个点的坐标代入到曲线C和直线I的直角坐标方程中，解出$\\alpha$，然后利用$\\alpha$求出直线I的斜率。<eoe>\n\n【答案】\n将点$(1,2)$的坐标代入到曲线C的直角坐标方程$\\frac{x^2}{4} + \\frac{y^2}{16} = 1$中，得到\n$\\frac{1^2}{4} + \\frac{2^2}{16} = 1$，\n这个等式成立，说明点$(1,2)$在曲线C上。\n\n将点$(1,2)$的坐标代入到直线I的直角坐标方程$y = 2 + \\tan\\alpha(x-1)$中，得到\n$2 = 2 + \\tan\\alpha(1-1)$，\n这个等式成立，说明点$(1,2)$在直线I上。\n\n因此，我们可以得出$\\alpha = 0$，所以直线I的斜率为$\\tan\\alpha = \\tan0 = 0$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在转换曲线C的参数方程为直角坐标方程时，正确得到了$\\frac{x^2}{4} + \\frac{y^2}{16} = 1$，与标准答案一致，给满分。\n\n学生在转换直线I的参数方程为直角坐标方程时，错误地将$t$消去，得到了$y = 2 + \\tan\\alpha(x-1)$，这与标准答案$x \\sin \\alpha - y \\cos \\alpha + 2 \\cos \\alpha - \\sin \\alpha = 0$不符，因此这部分不得分。\n\n(2) 学生在求解直线I的斜率时，错误地认为$\\alpha = 0$，从而得出直线I的斜率为0，这与标准答案中直线I的斜率为-2不符，因此这部分不得分。\n\n【得分】\n(1) 正确转换曲线C的参数方程为直角坐标方程，得5分。\n(1) 错误转换直线I的参数方程为直角坐标方程，得0分。\n(2) 错误求解直线I的斜率，得0分。\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 69,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 设函数 $f(x)=5-|x+a|-|x-2|$.\n\n（1）当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \\geqslant 0$ 的解集;\n\n（2）若 $f(x) \\leqslant 1$, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 当 $a=1$ 时, $f(x)=5-|x+1|-|x-2|=\\left\\{\\begin{array}{ll}2 x+4, & x \\leqslant-1 \\\\ 2, & -1<x<2 \\text {. } \\\\ -2 x+6, & x \\geqslant 2\\end{array}\\right.$.\n\n当 $x \\leqslant-1$ 时, $f(x)=2 x+4 \\geqslant 0$, 解得 $-2 \\leqslant x \\leqslant-1$, 当 $-1<x<2$ 时, $f(x)=2 \\geqslant 0$ 恒成立, 即 $-1<x<2$,\n\n当 $x \\geqslant 2$ 时, $f(x)=-2 x+6 \\geqslant 0$, 解得 $2 \\leqslant x \\leqslant 3$,\n\n综上所述不等式 $f(x) \\geqslant 0$ 的解集为 $[-2,3]$,\n\n(2) $\\because f(x) \\leqslant 1$,\n\n$\\therefore 5-|x+a|-|x-2| \\leqslant 1$\n\n$\\therefore|x+a|+|x-2| \\geqslant 4$\n\n$\\therefore|\\mathrm{x}+\\mathrm{a}|+|\\mathrm{x}-2|=|\\mathrm{x}+\\mathrm{a}|+|2-\\mathrm{x}| \\geqslant|\\mathrm{x}+\\mathrm{a}+2-\\mathrm{x}|=|\\mathrm{a}+2|$,\n\n$\\therefore|a+2| \\geqslant 4$\n\n解得 $a \\leqslant-6$ 或 $a \\geqslant 2$,\n\n故 $\\mathrm{a}$ 的取值范围 $(-\\infty,-6] \\cup[2,+\\infty)$.\n",
            "analysis": "（1）去绝对值, 化为分段函数, 求出不等式的解集即可,\n\n（2）由题意可得 $|x+a|+|x-2| \\geqslant 4$, 根据据绝对值的几何意义即可求出\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要明白绝对值函数的性质。对于 $|x-a|$，当 $x \\geq a$ 时，$|x-a|=x-a$；当 $x < a$ 时，$|x-a|=a-x$。所以，我们需要找出 $x+a$ 和 $x-2$ 的符号改变的点，然后分段讨论。当 $a=1$ 时，$x+a$ 和 $x-2$ 的符号改变的点分别为 $x=-1$ 和 $x=2$。所以，我们需要分别讨论 $x<-1$，$-1 \\leq x < 2$ 和 $x \\geq 2$ 三种情况。<eoe>\n\n【答案】\n当 $x<-1$ 时，$f(x)=5-(-x-1)-(-x+2)=5+x+1+x-2=4+2x$，所以 $f(x) \\geq 0$ 的解为 $x \\geq -2$。但是，我们需要注意到这个解是在 $x<-1$ 的条件下得到的，所以最后的解应该是 $-2 \\leq x <-1$。\n\n当 $-1 \\leq x < 2$ 时，$f(x)=5-(x+1)-(-x+2)=5-x-1+x-2=2$，所以 $f(x) \\geq 0$ 的解为 $x \\in [-1,2)$。\n\n当 $x \\geq 2$ 时，$f(x)=5-(x+1)-(x-2)=5-x-1-x+2=6-2x$，所以 $f(x) \\geq 0$ 的解为 $x \\leq 3$。但是，我们需要注意到这个解是在 $x \\geq 2$ 的条件下得到的，所以最后的解应该是 $2 \\leq x \\leq 3$。\n\n综上，不等式 $f(x) \\geq 0$ 的解集为 $x \\in [-2,-1) \\cup [-1,2) \\cup [2,3]$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n我们需要找出使得 $f(x) \\leq 1$ 的 $a$ 的取值范围。首先，我们需要找出 $x+a$ 和 $x-2$ 的符号改变的点，然后分段讨论。$x+a$ 和 $x-2$ 的符号改变的点分别为 $x=-a$ 和 $x=2$。所以，我们需要分别讨论 $x<-a$，$-a \\leq x < 2$ 和 $x \\geq 2$ 三种情况。<eoe>\n\n【答案】\n当 $x<-a$ 时，$f(x)=5-(-x-a)-(-x+2)=5+x+a+x-2=3+2x+a$，所以 $f(x) \\leq 1$ 的解为 $x \\leq (1-3-a)/2$。但是，我们需要注意到这个解是在 $x<-a$ 的条件下得到的，所以最后的解应该是 $x \\leq \\min\\{-a, (1-3-a)/2\\}$。\n\n当 $-a \\leq x < 2$ 时，$f(x)=5-(x+a)-(-x+2)=5-x-a+x-2=3-a$，所以 $f(x) \\leq 1$ 的解为 $a \\geq 2$。但是，我们需要注意到这个解是在 $-a \\leq x < 2$ 的条件下得到的，所以最后的解应该是 $a \\geq 2$。\n\n当 $x \\geq 2$ 时，$f(x)=5-(x+a)-(x-2)=5-x-a-x+2=7-2x-a$，所以 $f(x) \\leq 1$ 的解为 $x \\geq (6-a)/2$。但是，我们需要注意到这个解是在 $x \\geq 2$ 的条件下得到的，所以最后的解应该是 $x \\geq \\max\\{2, (6-a)/2\\}$。\n\n综上，$a$ 的取值范围为 $a \\in [2,3]$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地分析了绝对值函数的性质，并且正确地找出了符号改变的点。在答案部分，学生正确地分段讨论了不同的情况，并且得出了正确的解集 $[-2,-1) \\cup [-1,2) \\cup [2,3]$。但是，学生在写出解集时犯了一个错误，将 $[-1,2)$ 写成了 $[-1,2)$ 和 $[2,3]$ 的并集，而实际上应该是 $[-2,3]$。这是一个小错误，但是影响了最终的答案。因此，可以给予部分分数。\n\n(2) 学生在解析部分正确地分析了需要分段讨论的情况，但是在答案部分犯了一个严重的错误。学生没有正确地理解题目中的不等式 $f(x) \\leq 1$ 对 $a$ 的取值范围的影响，错误地得出了 $a$ 的取值范围为 $[2,3]$，这与标准答案中的 $(-\\infty,-6] \\cup [2,+\\infty)$ 完全不符。因此，这部分不能给分。\n\n【得分】\n(1) 对于第一问，由于学生的解集表述有误，但解题过程基本正确，可以给予一半的分数，即5分。\n(2) 对于第二问，学生的答案完全错误，不给分。\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 70,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "17. (12 分) 等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 中, $a_{1}=1, a_{5}=4 a_{3}$.\n\n(1) 求 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式;\n\n(2) 记 $S_{n}$ 为 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_{m}=63$, 求 $m$.\n",
            "standard_answer": "解: (1) $\\because$ 等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 中, $a_{1}=1, a_{5}=4 a_{3}$.\n\n$\\therefore 1 \\times \\mathrm{q}^{4}=4 \\times\\left(1 \\times \\mathrm{q}^{2}\\right)$,\n\n解得 $q= \\pm 2$,\n\n当 $q=2$ 时, $a_{n}=2^{n-1}$,\n\n当 $q=-2$ 时, $a_{n}=(-2)^{n-1}$,\n\n$\\therefore\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为, $a_{n}=2^{n-1}$, 或 $a_{n}=(-2)^{n-1}$.\n\n(2) 记 $S_{n}$ 为 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $\\mathrm{n}$ 项和.\n\n当 $a_{1}=1, q=-2$ 时, $S_{n}=\\frac{a_{1}\\left(1-q^{n}\\right)}{1-q}=\\frac{1-(-2)^{n}}{1-(-2)}=\\frac{1-(-2)^{n}}{3}$,\n\n由 $S_{m}=63$, 得 $S_{m}=\\frac{1-(-2)^{m}}{3}=63, m \\in N$, 无解;\n\n当 $a_{1}=1, q=2$ 时, $S_{n}=\\frac{a_{1}\\left(1-q^{n}\\right)}{1-q}=\\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1$,\n\n由 $S_{m}=63$, 得 $S_{m}=2^{m}-1=63, m \\in N$,\n\n解得 $m=6$.\n",
            "analysis": "(1) 利用等比数列通项公式列出方程, 求出公比 $q= \\pm 2$, 由此能求出 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式. (2) 当 $a_{1}=1, q=-2$ 时, $S_{n}=\\frac{1-(-2)^{n}}{3}$, 由 $S_{m}=63$, 得 $S_{m}=\\frac{1-(-2)^{m}}{3}=63, m \\in$ $N$, 无解; 当 $a_{1}=1, q=2$ 时, $S_{n}=2^{n}-1$, 由此能求出 $m$.\n",
            "model_output": "(1)【解析】等比数列的通项公式为$a_n=a_1*q^{n-1}$，其中$q$为公比。根据题目给出的$a_1=1$，$a_5=4a_3$，我们可以得到$q^4=4q^2$，解这个方程可以求出公比$q$。<eoe>\n【答案】将$a_1=1$代入公式$a_n=a_1*q^{n-1}$得到$a_n=q^{n-1}$。将$a_5=4a_3$代入得到$q^4=4q^2$，解这个方程得到$q=2$或$q=-2$。所以，等比数列的通项公式为$a_n=2^{n-1}$或$a_n=(-2)^{n-1}$。<eoa>\n\n(2)【解析】等比数列的前n项和公式为$S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)$，其中$q$为公比。根据题目给出的$S_m=63$，我们可以将公比$q$和$a_1$代入公式，解出$m$。<eoe>\n【答案】将$a_1=1$，$q=2$代入公式$S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)$得到$S_n=2^n-1$。将$S_m=63$代入得到$2^m-1=63$，解这个方程得到$m=7$。所以，$m=7$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地给出了等比数列的通项公式，并且正确地列出了方程$q^4=4q^2$，解得$q=2$或$q=-2$。在答案部分，学生给出了正确的通项公式$a_n=2^{n-1}$或$a_n=(-2)^{n-1}$。因此，第(1)部分给满分。\n\n(2) 学生在解析部分正确地给出了等比数列的前n项和公式，并且提到了将公比$q$和$a_1$代入公式解出$m$。但在答案部分，学生错误地解出了$m=7$，而标准答案中$m=6$。这是一个计算错误，因此第(2)部分不给分。\n\n【得分】\n(1) 6分\n(2) 0分\n【总分】6分",
            "model_correction_score": [
                6.0
            ]
        },
        {
            "index": 71,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "20. (12 分) 已知斜率为 $\\mathrm{k}$ 的直线 I 与椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{3}=1$ 交于 $A, B$ 两点, 线 段 $A B$ 的中点为 $M(1, m)(m>0)$.\n\n(1) 证明: $k<-\\frac{1}{2}$;\n\n(2) 设 $F$ 为 $C$ 的右焦点, $P$ 为 $C$ 上一点, 且 $\\overrightarrow{F P}+\\overrightarrow{F A}+\\overrightarrow{F B}=\\overrightarrow{0}$. 证明: $|\\overrightarrow{F A}|$, $|\\overrightarrow{F P}|$, | $\\overrightarrow{\\mathrm{FB} \\mid}$ 成等差数列，并求该数列的公差.\n",
            "standard_answer": "解: (1) 设 $A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$,\n\n$\\because$ 线段 $A B$ 的中点为 $M(1, m)$,\n\n$\\therefore \\mathrm{x}_{1}+\\mathrm{x}_{2}=2, \\mathrm{y}_{1}+\\mathrm{y}_{2}=2 \\mathrm{~m}$\n\n将 A, B 代人椭圆 C: $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{3}=1$ 中, 可得\n\n$\\left\\{\\begin{array}{l}3 x_{1}^{2}+4 y_{1}^{2}=12 \\\\ 3 x_{2}^{2}+4 y_{2}^{2}=12\\end{array}\\right.$,\n\n两式相减可得, $3\\left(x_{1}+x_{2}\\right)\\left(x_{1}-x_{2}\\right)+4\\left(y_{1}+y_{2}\\right)\\left(y_{1}-y_{2}\\right)=0$,\n\n即 $6\\left(x_{1}-x_{2}\\right)+8 m\\left(y_{1}-y_{2}\\right)=0$,\n\n$\\therefore \\mathrm{k}=\\frac{\\mathrm{y}_{1}-\\mathrm{y}_{2}}{\\mathrm{x}_{1}-\\mathrm{x}_{2}}=-\\frac{6}{8 \\mathrm{~m}}=-\\frac{3}{4 \\mathrm{~m}}$\n\n点 $M(1, m)$ 在椭圆内, 即 $\\frac{1}{4}+\\frac{m^{2}}{3}<1,(m>0)$,\n\n解得 $0<m<\\frac{3}{2}$\n\n$\\therefore \\mathrm{k}=-\\frac{3}{4 \\mathrm{~m}}<-\\frac{1}{2}$.\n\n(2) 证明: 设 $A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right), P\\left(x_{3}, y_{3}\\right)$,\n\n可得 $x_{1}+x_{2}=2$,\n\n$\\because \\overrightarrow{\\mathrm{FP}}+\\overrightarrow{\\mathrm{FA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{FB}}=\\overrightarrow{0}, F(1,0), \\quad \\therefore \\mathrm{x}_{1}-1+\\mathrm{x}_{2}-1+\\mathrm{x}_{3}-1=0, \\mathrm{y}_{1}+\\mathrm{y}_{2}+\\mathrm{y}_{3}=0$,\n\n$\\therefore \\mathrm{x}_{3}=1, \\mathrm{y}_{3}=-\\left(\\mathrm{y}_{1}+\\mathrm{y}_{2}\\right)=-2 \\mathrm{~m}$ $\\because \\mathrm{m}>0$, 可得 $\\mathrm{P}$ 在第四象限, 故 $\\mathrm{y}_{3}=-\\frac{3}{2}, \\mathrm{~m}=\\frac{3}{4}, \\mathrm{k}=-1$\n\n由椭圆的焦半径公式得则 $|F A|=a-e x_{1}=2-\\frac{1}{2} x_{1},|F B|=2-\\frac{1}{2} x_{2}, \\quad|F P|=2-\\frac{1}{2} x_{3}=\\frac{3}{2}$.\n\n则 $|\\mathrm{FA}|+|\\mathrm{FB}|=4-\\frac{1}{2}\\left(\\mathrm{x}_{1}+\\mathrm{x}_{2}\\right)=3, \\quad \\therefore|\\mathrm{FA}|+|\\mathrm{FB}|=2|\\mathrm{FP}|$,\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=-x+\\frac{7}{4} \\\\ 3 x^{2}+4 y^{2}=12\\end{array}\\right.$, 可得 $\\left|x_{1}-x_{2}\\right|=\\sqrt{\\left(x_{1}+x_{2}\\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=\\frac{3 \\sqrt{21}}{7}$\n\n所以该数列的公差 $\\mathrm{d}$ 满足 $2 \\mathrm{~d}= \\pm \\frac{1}{2}\\left|\\mathrm{x}_{1}-\\mathrm{x}_{2}\\right|= \\pm \\frac{3 \\sqrt{21}}{14}$,\n\n$\\therefore$ 该数列的公差为 $\\pm \\frac{3 \\sqrt{21}}{28}$.\n",
            "analysis": "(1) 设 $A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$, 利用点差法得 $6\\left(x_{1}-x_{2}\\right)+8 m\\left(y_{1}\\right.$ $\\left.-\\mathrm{y}_{2}\\right)=0, \\quad k=\\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\\frac{6}{8 m}=-\\frac{3}{4 m}$ 又点 $M(1, m)$ 在椭圆内, 即 $\\frac{1}{4}+\\frac{m^{2}}{3}<1,(m>0)$, 解得 $m$ 的取值范围, 即可 得 $k<-\\frac{1}{2}$,\n\n(2) 设 $A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right), P\\left(x_{3}, y_{3}\\right)$, 可得 $x_{1}+x_{2}=2$\n\n由 $\\overrightarrow{F P}+\\overrightarrow{F A}+\\overrightarrow{F B}=\\overrightarrow{0}$, 可得 $x_{3}-1=0$, 由椭圆的焦半径公式得则 $|F A|=a-e x_{1}=2-\\frac{1}{2} x_{1}$, $|F B|=2-\\frac{1}{2} x_{2},|F P|=2-\\frac{1}{2} x_{3}=\\frac{3}{2}$. 即可证明 $|F A|+|F B|=2|F P|$, 求得 $A, B$ 坐标 再求公差.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们知道椭圆的标准方程为$\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其中$a$和$b$分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。在这个问题中，我们可以看到$a^{2}=4$和$b^{2}=3$，所以$a=2$和$b=\\sqrt{3}$。因此，椭圆的焦点可以通过公式$c=\\sqrt{a^{2}-b^{2}}$计算得到，这里$c=\\sqrt{4-3}=1$。所以，椭圆的两个焦点是$F_{1}(-1,0)$和$F_{2}(1,0)$。\n\n然后，我们知道线段$AB$的中点$M$的坐标为$(1,m)$，所以直线$I$的斜率$k$可以通过公式$k=\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$计算得到。这里，$x_{1}=x_{2}=1$，$y_{1}=y_{2}=m$，所以$k=\\frac{m-0}{1-(-1)}=\\frac{m}{2}$。\n\n最后，我们知道椭圆上的任意一点$(x,y)$都满足$\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{3}=1$，所以$y=\\sqrt{3(1-\\frac{x^{2}}{4})}$。因为$m>0$，所以$y>0$。因此，我们可以得到$k=\\frac{m}{2}<-\\frac{1}{2}$。<eoe>\n\n【答案】\n首先，我们知道椭圆的标准方程为$\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其中$a$和$b$分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。在这个问题中，我们可以看到$a^{2}=4$和$b^{2}=3$，所以$a=2$和$b=\\sqrt{3}$。因此，椭圆的焦点可以通过公式$c=\\sqrt{a^{2}-b^{2}}$计算得到，这里$c=\\sqrt{4-3}=1$。所以，椭圆的两个焦点是$F_{1}(-1,0)$和$F_{2}(1,0)$。\n\n然后，我们知道线段$AB$的中点$M$的坐标为$(1,m)$，所以直线$I$的斜率$k$可以通过公式$k=\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$计算得到。这里，$x_{1}=x_{2}=1$，$y_{1}=y_{2}=m$，所以$k=\\frac{m}{2}$。\n\n最后，我们知道椭圆上的任意一点$(x,y)$都满足$\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{3}=1$，所以$y=\\sqrt{3(1-\\frac{x^{2}}{4})}$。因为$m>0$，所以$y>0$。因此，我们可以得到$k=\\frac{m}{2}<-\\frac{1}{2}$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n首先，我们知道向量的加法满足交换律和结合律，所以$\\overrightarrow{F P}+\\overrightarrow{F A}+\\overrightarrow{F B}=\\overrightarrow{0}$可以改写为$\\overrightarrow{F P}=\\overrightarrow{F A}+\\overrightarrow{F B}$。\n\n然后，我们知道向量的模就是向量的长度，所以$|\\overrightarrow{F P}|=|\\overrightarrow{F A}|+|\\overrightarrow{F B}|$。\n\n最后，我们知道等差数列的定义是任意两项的差是一个常数，所以$|\\overrightarrow{F A}|$, $|\\overrightarrow{F P}|$, | $\\overrightarrow{\\mathrm{FB} \\mid}$成等差数列，其公差就是$|\\overrightarrow{F P}|-|\\overrightarrow{F A}|=|\\overrightarrow{F B}|$。<eoe>\n\n【答案】\n首先，我们知道向量的加法满足交换律和结合律，所以$\\overrightarrow{F P}+\\overrightarrow{F A}+\\overrightarrow{F B}=\\overrightarrow{0}$可以改写为$\\overrightarrow{F P}=\\overrightarrow{F A}+\\overrightarrow{F B}$。\n\n然后，我们知道向量的模就是向量的长度，所以$|\\overrightarrow{F P}|=|\\overrightarrow{F A}|+|\\overrightarrow{F B}|$。\n\n最后，我们知道等差数列的定义是任意两项的差是一个常数，所以$|\\overrightarrow{F A}|$, $|\\overrightarrow{F P}|$, | $\\overrightarrow{\\mathrm{FB} \\mid}$成等差数列，其公差就是$|\\overrightarrow{F P}|-|\\overrightarrow{F A}|=|\\overrightarrow{F B}|$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的分析过程中，对于椭圆的焦点计算是正确的，但是在计算直线斜率的过程中出现了错误。学生错误地假设了$x_1=x_2=1$和$y_1=y_2=m$，这是不可能的，因为这样会导致A和B是同一个点。学生没有正确使用中点的坐标来表达A和B的坐标，也没有得出正确的斜率表达式。因此，学生的答案与标准答案不符，此部分得0分。\n\n(2) 学生的分析过程中，对于向量加法的理解是正确的，但是在计算向量模长时出现了错误。学生错误地认为$|\\overrightarrow{F P}|=|\\overrightarrow{F A}|+|\\overrightarrow{F B}|$，这是不正确的，因为向量的模长不满足这样的加法性质。学生没有正确使用椭圆的焦半径公式来计算$|\\overrightarrow{F A}|$、$|\\overrightarrow{F B}|$和$|\\overrightarrow{F P}|$的值，也没有正确证明这三个向量的模长构成等差数列，以及求出公差。因此，学生的答案与标准答案不符，此部分得0分。\n\n【得分】\n(1) 得0分\n(2) 得0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 72,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "21. (12 分) 已知函数 $f(x)=\\left(2+x+a x^{2}\\right) \\ln (1+x)-2 x$.\n\n（1）若 $a=0$, 证明: 当 $-1<x<0$ 时, $f(x)<0$; 当 $x>0$ 时, $f(x)>0$;\n\n(2) 若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点, 求 $a$.\n",
            "standard_answer": "(1) 证明: 当 $a=0$ 时, $f(x)=(2+x) \\ln (1+x)-2 x,(x>-1)$. $f^{\\prime}(x)=\\ln (x+1) \\frac{x}{x+1}, \\quad f^{\\prime \\prime}(x)=\\frac{x}{(x+1)^{2}}$ 可得 $x \\in(-1,0)$ 时, $f^{\\prime \\prime}(x) \\leqslant 0, x \\in(0,+\\infty)$ 时, $f^{\\prime \\prime}(x) \\geqslant 0$\n\n$\\therefore f^{\\prime}(x)$ 在 $(-1,0)$ 递减, 在 $(0,+\\infty)$ 递增,\n\n$\\therefore f^{\\prime}(x) \\geqslant f^{\\prime}(0)=0$\n\n$\\therefore f(x)=(2+x) \\ln (1+x)-2 x$ 在 $(-1,+\\infty)$ 上单调递增, 又 $f(0)=0$.\n\n$\\therefore$ 当 $-1<x<0$ 时, $f(x)<0$; 当 $x>0$ 时, $f(x)>0$.\n\n(2) 解: 由 $f(x)=\\left(2+x+a x^{2}\\right) \\ln (1+x)-2 x$, 得\n\n$f^{\\prime}(x)=(1+2 a x) \\ln (1+x)+\\frac{2+x+a x^{2}}{x+1}-2=\\frac{a x^{2}-x+(1+2 a x)(1+x) \\ln (x+1)}{x+1}$\n\n今 $h(x)=a x^{2}-x+(1+2 a x)(1+x) \\ln (x+1)$,\n\n$h^{\\prime}(x)=4 a x+(4 a x+2 a+1) \\ln (x+1)$\n\n当 $a \\geqslant 0, x>0$ 时, $h^{\\prime}(x)>0, h(x)$ 单调递增,\n\n$\\therefore h(x)>h(0)=0$, 即 $f^{\\prime}(x)>0$,\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $(0,+\\infty)$ 上单调递增, 故 $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极大值点, 不符合题 意.\n\n当 $a<0$ 时, $h^{\\prime \\prime}(x)=8 a+4 a l n(x+1)+\\frac{1-2 a}{x+1}$,\n\n显然 $h^{\\prime \\prime}(x)$ 单调递减,\n\n(1) 令 $h^{\\prime \\prime}(0)=0$, 解得 $a=-\\frac{1}{6}$.\n\n$\\therefore$ 当 $-1<x<0$ 时, $h^{\\prime \\prime}(x)>0$, 当 $x>0$ 时, $h^{\\prime \\prime}(x)<0$,\n\n$\\therefore \\mathrm{h}^{\\prime}(\\mathrm{x})$ 在 $(-1,0)$ 上单调递增, 在 $(0,+\\infty)$ 上单调递减,\n\n$\\therefore \\mathrm{h}^{\\prime}(\\mathrm{x}) \\leqslant \\mathrm{h}^{\\prime}(0)=0$\n\n$\\therefore \\mathrm{h}(\\mathrm{x})$ 单调递减, 又 $h(0)=0$,\n\n$\\therefore$ 当 $-1<x<0$ 时, $h(x)>0$, 即 $f^{\\prime}(x)>0$,\n\n当 $x>0$ 时, $h(x)<0$, 即 $f^{\\prime}(x)<0$, $\\therefore f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递增, 在 $(0,+\\infty)$ 上单调递减,\n\n$\\therefore x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点, 符合题意;\n\n(2) 若 $-\\frac{1}{6}<a<0$, 则 $h^{\\prime \\prime}(0)=1+6 a>0, h^{\\prime \\prime}\\left(e^{-\\frac{1+6 a}{4 a}}-1\\right)=(2 a-1)\\left(1-e^{\\frac{1+6 a}{4 a}}\\right)$ $<0$,\n\n$\\therefore h^{\\prime \\prime}(\\mathrm{x})=0$ 在 $(0,+\\infty)$ 上有唯一一个零点, 设为 $\\mathrm{x}_{0}$,\n\n$\\therefore$ 当 $0<x<x_{0}$ 时, $h^{\\prime \\prime}(x)>0, h^{\\prime}(x)$ 单调递增,\n\n$\\therefore h^{\\prime}(x)>h^{\\prime}(0)=0$, 即 $f^{\\prime}(x)>0$,\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $\\left(0, x_{0}\\right)$ 上单调递增, 不符合题意;\n\n(3)若 $a<-\\frac{1}{6}$, 则 $h^{\\prime \\prime}(0)=1+6 a<0, h^{\\prime \\prime}\\left(\\frac{1}{e^{2}}-1\\right)=(1-2 a) e^{2}>0$,\n\n$\\therefore h^{\\prime \\prime}(x)=0$ 在 $(-1,0)$ 上有唯一一个零点, 设为 $x_{1}$,\n\n$\\therefore$ 当 $\\mathrm{x}_{1}<\\mathrm{x}<0$ 时, $\\mathrm{h}^{\\prime \\prime}(\\mathrm{x})<0, \\mathrm{~h}^{\\prime}(\\mathrm{x})$ 单调递减,\n\n$\\therefore \\mathrm{h}^{\\prime}(\\mathrm{x})>\\mathrm{h}^{\\prime}(0)=0, \\therefore \\mathrm{h}(\\mathrm{x})$ 单调递增,\n\n$\\therefore h(x)<h(0)=0$, 即 $f^{\\prime}(x)<0$,\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $\\left(x_{1}, 0\\right)$ 上单调递减, 不符合题意.\n\n综上, $\\mathrm{a}=-\\frac{1}{6}$.\n",
            "analysis": "(1) 对函数 $f(x)$ 两次求导数, 分别判断 $f^{\\prime}(x)$ 和 $f(x)$ 的单调性, 结合 $f(0)=0$ 即可得出结论;\n\n(2) 今 $h(x)$ 为 $f^{\\prime}(x)$ 的分子, 令 $h^{\\prime \\prime}(0)$ 计算 $a$, 讨论 $a$ 的范围, 得出 $f(x)$ 的单调性, 从而得出 $\\mathrm{a}$ 的值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要找到函数$f(x)$在$a=0$时的表达式，然后分别在$-1<x<0$和$x>0$的情况下讨论$f(x)$的正负性。<eoe>\n【答案】 \n当$a=0$时，$f(x)=(2+x) \\ln (1+x)-2 x$。 \n\n对于$-1<x<0$，我们有$\\ln (1+x)<0$，而$2+x>1$，所以$(2+x) \\ln (1+x)<0$。又因为$-2x>0$，所以$f(x)=(2+x) \\ln (1+x)-2 x<0$。\n\n对于$x>0$，我们有$\\ln (1+x)>0$，而$2+x>2$，所以$(2+x) \\ln (1+x)>0$。又因为$-2x<0$，所以$f(x)=(2+x) \\ln (1+x)-2 x>0$。\n\n所以，当$a=0$时，当$-1<x<0$时，$f(x)<0$；当$x>0$时，$f(x)>0$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n如果$x=0$是$f(x)$的极大值点，那么$f'(0)=0$，并且$f''(0)<0$。我们需要找到$f'(x)$和$f''(x)$的表达式，然后将$x=0$代入，求出$a$的值。<eoe>\n【答案】 \n首先，我们求出$f'(x)$和$f''(x)$的表达式。 \n\n$f'(x) = (2+x+ax^2)' \\ln (1+x) + (2+x+ax^2) \\frac{1}{1+x} - 2 = (2+2ax) \\ln (1+x) + 2 + ax^2 - 2 = (2+2ax) \\ln (1+x) + ax^2$。\n\n$f''(x) = [(2+2ax) \\ln (1+x) + ax^2]' = 2a \\ln (1+x) + (2+2ax) \\frac{1}{1+x} + 2ax$。\n\n然后，我们将$x=0$代入$f'(x)$和$f''(x)$，得到$f'(0)=0$和$f''(0)<0$。 \n\n$f'(0) = 2 \\ln 1 + a*0^2 = 0$，这个等式成立。\n\n$f''(0) = 2a \\ln 1 + 2*0 + 2a*0 = 0$，这个等式也成立。\n\n但是，我们需要$f''(0)<0$，所以没有满足条件的$a$，即$x=0$不可能是$f(x)$的极大值点。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分没有正确地使用导数来证明函数的单调性，而是直接讨论了对数函数和线性函数的正负性，这种方法虽然得出了正确的结论，但不符合题目要求的证明方法。因此，该部分给出部分分。在答案部分，学生正确地得出了当$a=0$时，$-1<x<0$时$f(x)<0$，$x>0$时$f(x)>0$的结论，但没有使用导数来证明，因此给出部分分。对于第一问，可以给出4分。\n\n(2) 学生在解析部分没有正确地求出$f'(x)$和$f''(x)$的表达式，也没有正确地使用导数的性质来求解$a$的值。在答案部分，学生错误地求出了$f'(x)$和$f''(x)$的表达式，并且错误地得出了$x=0$不可能是$f(x)$的极大值点的结论。因此，该部分不给分。对于第二问，可以给出0分。\n\n【得分】\n(1) 4分\n(2) 0分\n【总分】4分",
            "model_correction_score": [
                4.0
            ]
        },
        {
            "index": 73,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "17.V $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 设 $(\\sin B-\\sin C)^{2}=\\sin ^{2} A-\\sin B \\sin C$.\n\n(1) 求 $A$;\n\n(2) 若 $\\sqrt{2} a+b=2 c$, 求 $\\sin C$.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1) $(\\sin B-\\sin C)^{2}=\\sin ^{2} B-2 \\sin B \\sin C+\\sin ^{2} C=\\sin ^{2} A-\\sin B \\sin C$\n\n即: $\\sin ^{2} B+\\sin ^{2} C-\\sin ^{2} A=\\sin B \\sin C$\n\n由正弦定理可得: $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$\n\n$\\therefore \\cos A=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\\frac{1}{2}$\n\n$\\because A \\in(0, \\pi) \\quad \\backslash A=\\frac{\\pi}{3}$\n\n(2) $\\because \\sqrt{2} a+b=2 c$, 由正弦定理得: $\\sqrt{2} \\sin A+\\sin B=2 \\sin C$\n\n又 $\\sin B=\\sin (A+C)=\\sin A \\cos C+\\cos A \\sin C, A=\\frac{\\pi}{3}$\n\n$\\therefore \\sqrt{2} \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cos C+\\frac{1}{2} \\sin C=2 \\sin C$\n\n整理可得: $3 \\sin C-\\sqrt{6}=\\sqrt{3} \\cos C$ $\\because \\sin ^{2} C+\\cos ^{2} C=1 \\quad \\therefore(3 \\sin C-\\sqrt{6})^{2}=3\\left(1-\\sin ^{2} C\\right)$\n\n解得: $\\sin C=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}$ 或 $\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4}$\n\n因为 $\\sin B=2 \\sin C-\\sqrt{2} \\sin A=2 \\sin C-\\frac{\\sqrt{6}}{2}>0$ 所以 $\\sin C>\\frac{\\sqrt{6}}{4}$, 故 $\\sin C=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}$.\n\n(2) 法二: $\\because \\sqrt{2} a+b=2 c$, 由正弦定理得: $\\sqrt{2} \\sin A+\\sin B=2 \\sin C$\n\n又 $\\sin B=\\sin (A+C)=\\sin A \\cos C+\\cos A \\sin C, A=\\frac{\\pi}{3}$\n\n$\\therefore \\sqrt{2} \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cos C+\\frac{1}{2} \\sin C=2 \\sin C$\n\n整理可得: $3 \\sin C-\\sqrt{6}=\\sqrt{3} \\cos C$, 即 $3 \\sin C-\\sqrt{3} \\cos C=2 \\sqrt{3} \\sin \\left(C-\\frac{\\pi}{6}\\right)=\\sqrt{6}$\n\n$\\therefore \\sin \\left(C-\\frac{\\pi}{6}\\right)=\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\quad \\therefore C=\\frac{5 \\pi}{12}$ 或 $\\frac{11 \\pi}{12}$\n\n$\\because A=\\frac{\\pi}{3}$ 且 $A+C<\\pi \\quad \\therefore C=\\frac{5 \\pi}{12}$\n\n$\\therefore \\sin C=\\sin \\frac{5 \\pi}{12}=\\sin \\left(\\frac{\\pi}{6}+\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\sin \\frac{\\pi}{6} \\cos \\frac{\\pi}{4}+\\cos \\frac{\\pi}{6} \\sin \\frac{\\pi}{4}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}$\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 利用正弦定理化简已知边角关系式可得: $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$, 从而可整理出 $\\cos A$, 根 据 $A \\in(0, \\pi)$ 可求得结果; (2) 利用正弦定理可得 $\\sqrt{2} \\sin A+\\sin B=2 \\sin C$, 利用 $\\sin B=\\sin (A+C)$ 、两角和差正弦公式可得关于 $\\sin C$ 和 $\\cos C$ 的方程, 结合同角三角函 数关系解方程可求得结果.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n根据题意，我们有 $(\\sin B-\\sin C)^{2}=\\sin ^{2} A-\\sin B \\sin C$。我们可以将其转化为 $\\sin^2B + \\sin^2C - 2\\sin B\\sin C = \\sin^2A - \\sin B\\sin C$。然后我们可以将其简化为 $\\sin^2B + \\sin^2C = \\sin^2A$。根据正弦定理，我们知道 $\\sin A = \\frac{a}{R}$，$\\sin B = \\frac{b}{R}$，$\\sin C = \\frac{c}{R}$，其中 $R$ 是三角形的外接圆半径。因此，我们可以将上述等式转化为 $\\frac{b^2}{R^2} + \\frac{c^2}{R^2} = \\frac{a^2}{R^2}$，即 $b^2 + c^2 = a^2$。这是一个直角三角形的性质，所以我们可以得出 $A = 90^\\circ$。<eoe>\n【答案】$A = 90^\\circ$<eoa>\n\n(2)【解析】\n根据题意，我们有 $\\sqrt{2} a+b=2 c$。我们可以将其转化为 $\\sqrt{2} \\sin A + \\sin B = 2 \\sin C$。由于我们已经知道 $A = 90^\\circ$，所以 $\\sin A = 1$。因此，我们可以将上述等式转化为 $\\sqrt{2} + \\sin B = 2 \\sin C$。由于 $B + C = 90^\\circ$，我们知道 $\\sin B = \\cos C$。因此，我们可以将上述等式转化为 $\\sqrt{2} + \\cos C = 2 \\sin C$。这是一个关于 $\\sin C$ 和 $\\cos C$ 的方程，我们可以将其转化为 $\\sqrt{2} + \\sqrt{1 - \\sin^2 C} = 2 \\sin C$。然后我们可以对其进行平方，得到 $2 + 2\\sqrt{2}\\sqrt{1 - \\sin^2 C} + 1 - \\sin^2 C = 4\\sin^2 C$，即 $\\sqrt{2}\\sqrt{1 - \\sin^2 C} = 2\\sin^2 C - 1$。再对其进行平方，得到 $2(1 - \\sin^2 C) = 4\\sin^4 C - 4\\sin^2 C + 1$，即 $4\\sin^4 C - 6\\sin^2 C + 1 = 0$。这是一个二次方程，我们可以求解得到 $\\sin^2 C = \\frac{3 \\pm \\sqrt{5}}{4}$。由于 $\\sin^2 C \\leq 1$，所以 $\\sin^2 C = \\frac{3 - \\sqrt{5}}{4}$，即 $\\sin C = \\sqrt{\\frac{3 - \\sqrt{5}}{4}}$。<eoe>\n【答案】$\\sin C = \\sqrt{\\frac{3 - \\sqrt{5}}{4}}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生错误地得出了 $A = 90^\\circ$。根据标准答案，正确的解法是通过正弦定理和边角关系得出 $\\cos A = \\frac{1}{2}$，从而得出 $A = \\frac{\\pi}{3}$。学生的答案与标准答案不符，因此这部分得0分。\n\n(2) 学生在解题过程中错误地使用了 $A = 90^\\circ$，这是基于第一问的错误答案。由于第一问的答案错误，导致第二问的解题过程完全错误。学生的答案与标准答案不符，因此这部分也得0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 74,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "19. 已知抛物线 $C: y^{2}=3 x$ 的焦点为 $F$, 斜率为 $\\frac{3}{2}$ 的直线 $/$ 与 $C$ 的交点为 $A, B$, 与 $x$ 轴的交 点为 $P$.\n(1) 若 $|A F|+|B F|=4$, 求 $l$ 的方程;\n(2) 若 $\\overrightarrow{A P}=3 \\overrightarrow{P B}$, 求 $|A B|$.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1) 设直线 $l$ 方程为: $\\mathrm{y}=\\frac{3}{2} \\mathrm{x}+\\mathrm{m}, A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$ 由抛物线焦半径公式可知: $|A F|+|B F|=x_{1}+x_{2}+\\frac{3}{2}=4 \\quad \\therefore x_{1}+x_{2}=\\frac{5}{2}$ 联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=\\frac{3}{2} x+m \\\\ y^{2}=3 x\\end{array}\\right.$ 得: $9 x^{2}+(12 m-12) x+4 m^{2}=0$ 则 $\\Delta=(12 m-12)^{2}-144 m^{2}>0 \\quad \\therefore m<\\frac{1}{2}$\n\n$\\therefore x_{1}+x_{2}=-\\frac{12 m-12}{9}=\\frac{5}{2}$, 解得: $m=-\\frac{7}{8}$\n\n$\\therefore$ 直线 $l$ 的方程为: $y=\\frac{3}{2} x-\\frac{7}{8}$, 即: $12 x-8 y-7=0$\n\n(2) 设 $P(t, 0)$, 则可设直线 $l$ 方程为: $x=\\frac{2}{3} y+t$\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{2}{3} y+t \\\\ y^{2}=3 x\\end{array}\\right.$ 得: $y^{2}-2 y-3 t=0$ 则 $\\Delta=4+12 t>0 \\quad \\therefore t>-\\frac{1}{3}$\n\n$\\therefore y_{1}+y_{2}=2, \\quad y_{1} y_{2}=-3 t$\n\n$\\because \\overrightarrow{A P}=3 \\overrightarrow{P B} \\quad \\therefore y_{1}=-3 y_{2} \\quad \\therefore y_{2}=-1, \\quad y_{1}=3 \\quad \\therefore y_{1} y_{2}=-3$\n\n则 $|A B|=\\sqrt{1+\\frac{4}{9}} \\cdot \\sqrt{\\left(y_{1}+y_{2}\\right)^{2}-4 y_{1} y_{2}}=\\frac{\\sqrt{13}}{3} \\cdot \\sqrt{4+12}=\\frac{4 \\sqrt{13}}{3}$\n",
            "analysis": "(1) 设直线 $l: \\mathrm{y}=\\frac{3}{2} \\mathrm{x}+\\mathrm{m}, A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$; 根据抛物线焦半径公式可得 $x_{1}+x_{2}=1$;\n\n联立直线方程与抛物线方程, 利用韦达定理可构造关于 $m$ 的方程, 解方程求得结果;\n\n设直线 $l: x=\\frac{2}{3} y+t$; 联立直线方程与抛物线方程, 得到韦达定理的形式; 利用 $\\overrightarrow{A P}=3 \\overrightarrow{P B}$ 可得 $y_{1}=-3 y_{2}$, 结合韦达定理可求得 $y_{1} y_{2}$; 根据弦长公式可求得结果.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们知道抛物线的焦点坐标为(3/4, 0)。然后，我们可以利用点斜式求出直线l的方程。设直线l的斜率为k，经过点P(a, 0)，那么直线l的方程为y = k(x - a)。由于直线l的斜率为3/2，所以直线l的方程为y = 3/2(x - a)。然后，我们可以将抛物线的方程y^2 = 3x代入直线的方程中，得到一个关于x的二次方程。由于直线l与抛物线C有两个交点，所以这个二次方程有两个实根，我们可以利用二次方程的根的性质，求出这两个实根的和，然后利用|AF| + |BF| = 4，求出a的值，最后代入直线l的方程，求出直线l的方程。<eoe>\n【答案】\n设直线l的方程为y = 3/2(x - a)，将抛物线的方程y^2 = 3x代入得到(3/2(x - a))^2 = 3x，化简得到9/4(x^2 - 2ax + a^2) = 3x，整理得到9/4x^2 - 9/2ax + 9/4a^2 - 3x = 0，这是一个关于x的二次方程，设它的两个实根为x1和x2，那么x1 + x2 = (9/2a + 3)/(9/4) = 2a + 4/3，由于x1和x2分别是点A和点B的x坐标，所以|AF| + |BF| = 2a + 4/3 = 4，解得a = 5/6，所以直线l的方程为y = 3/2(x - 5/6)。<eoa>\n\n(2)【解析】\n首先，我们知道向量AP = 3向量PB，那么我们可以得到点P是线段AB的三等分点。然后，我们可以利用向量的性质，求出线段AB的长度。<eoe>\n【答案】\n由于向量AP = 3向量PB，所以点P是线段AB的三等分点，设线段AB的长度为d，那么AP = 3PB = 3/4d，PB = 1/4d，所以d = 4PB = 4AP/3，由于AP = sqrt[(x1 - a)^2 + (y1 - 0)^2] = sqrt[(2a + 4/3 - 5/6)^2 + (3/2(2a + 4/3 - 5/6))^2] = sqrt[(4/3)^2 + (3/2*4/3)^2] = sqrt[16/9 + 36/9] = sqrt[52/9] = 2sqrt13/3，所以d = 4*2sqrt13/3/3 = 8sqrt13/9。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分没有正确理解题目条件，没有使用抛物线焦半径公式，而是错误地使用了点斜式来求直线方程。学生的答案中，直接假设了直线l经过点P(a, 0)，这与题目条件不符，因为题目中并没有给出P点的坐标。学生的解法没有正确利用给定的条件$|AF|+|BF|=4$，而是错误地将其解释为$x_1+x_2=4$，这是不正确的。因此，学生的解法从一开始就偏离了正确的解题路径。学生的答案中也没有得出正确的直线l的方程。\n\n(2) 学生在解析部分没有正确理解题目条件，没有使用向量的性质来求解。学生的答案中，错误地认为点P是线段AB的三等分点，这与题目条件$\\overrightarrow{AP}=3\\overrightarrow{PB}$不符。学生的解法没有正确利用给定的条件，因此没有得出正确的$|AB|$的长度。\n\n【得分】\n(1) 学生的答案没有正确使用题目中的条件，解法错误，未能得出正确的直线l的方程，因此这一部分得0分。\n\n(2) 学生的答案同样没有正确使用题目中的条件，解法错误，未能得出正确的$|AB|$的长度，因此这一部分也得0分。\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 75,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "20. 已知函数 $f(x)=\\sin x-\\ln (1+x), f^{\\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数. 证明:\n\n(1) $f^{\\prime}(x)$ 在区间 $\\left(-1, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 存在唯一极大值点;\n\n(2) $f(x)$ 有且仅有 2 个零点.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1) 由题意知: $f(x)$ 定义域为: $(-1,+\\infty)$ 且 $f^{\\prime}(x)=\\cos x-\\frac{1}{x+1}$ 令 $g(x)=\\cos x-\\frac{1}{x+1}, x \\in\\left(-1, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ $\\therefore g^{\\prime}(x)=-\\sin x+\\frac{1}{(x+1)^{2}}, \\quad x \\in\\left(-1, \\frac{\\pi}{2}\\right)$\n\n$\\because \\frac{1}{(x+1)^{2}}$ 在 $\\left(-1, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上单调递减, $\\frac{1}{a_{n+1}}-\\frac{1}{a_{n}}=\\frac{1}{7}$, 在 $\\left(-1, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上单调递减\n\n$\\therefore g^{\\prime}(x)$ 在 $\\left(-1, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上单调递减\n\n又 $g^{\\prime}(0)=-\\sin 0+1=1>0, \\quad g^{\\prime}\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=-\\sin \\frac{\\pi}{2}+\\frac{4}{(\\pi+2)^{2}}=\\frac{4}{(\\pi+2)^{2}}-1<0$\n\n$\\therefore \\exists x_{0} \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$, 使得 $g^{\\prime}\\left(x_{0}\\right)=0$\n\n$\\therefore$ 当 $x \\in\\left(-1, x_{0}\\right)$ 时, $g^{\\prime}(x)>0 ; x \\in\\left(x_{0}, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 时, $g^{\\prime}(x)<0$\n\n即 $g(x)$ 在 $\\left(-1, x_{0}\\right)$ 上单调递增; 在 $\\left(x_{0}, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上单调递减\n\n则 $x=x_{0}$ 为 $g(x)$ 唯一的极大值点\n\n即: $f^{\\prime}(x)$ 在区间 $\\left(-1, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上存在唯一的极大值点 $x_{0}$.\n\n(2) 由 (1) 知: $f^{\\prime}(x)=\\cos x-\\frac{1}{x+1}, x \\in(-1,+\\infty)$\n\n(1)当 $x \\in(-1,0]$ 时, 由 (1) 可知 $f^{\\prime}(x)$ 在 $(-1,0]$ 上单调递增\n\n$\\therefore f^{\\prime}(x) \\leq f^{\\prime}(0)=0 \\quad \\therefore f(x)$ 在 $(-1,0]$ 上单调递减\n\n又 $f(0)=0$\n\n$\\therefore x=0$ 为 $f(x)$ 在 $(-1,0]$ 上的唯一零点\n\n(2)当 $x \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right]$ 时, $f^{\\prime}(x)$ 在 $\\left(0, x_{0}\\right)$ 上单调递增, 在 $\\left(x_{0}, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上单调递减\n\n又 $f^{\\prime}(0)=0 \\quad \\therefore f^{\\prime}\\left(x_{0}\\right)>0$\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $\\left(0, x_{0}\\right)$ 上单调递增, 此时 $f(x)>f(0)=0$, 不存在零点 又 $f^{\\prime}\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\cos \\frac{\\pi}{2}-\\frac{2}{\\pi+2}=-\\frac{2}{\\pi+2}<0$\n\n$\\therefore \\exists x_{1} \\in\\left(x_{0}, \\frac{\\pi}{2}\\right)$, 使得 $f^{\\prime}\\left(x_{1}\\right)=0$\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $\\left(x_{0}, x_{1}\\right)$ 上单调递增, 在 $\\left(x_{1}, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上单调递减\n\n又 $f\\left(x_{0}\\right)>f(0)=0, f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\sin \\frac{\\pi}{2}-\\ln \\left(1+\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\ln \\frac{2 e}{\\pi+2}>\\ln 1=0$\n\n$\\therefore f(x)>0$ 在 $\\left(x_{0}, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上恒成立, 此时不存在零点\n\n(3)当 $x \\in\\left[\\frac{\\pi}{2}, \\pi\\right]$ 时, $\\sin x$ 单调递减, $-\\ln (x+1)$ 单调递减\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $\\left[\\frac{\\pi}{2}, \\pi\\right]$ 上单调递减\n\n又 $f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)>0, \\quad f(\\pi)=\\sin \\pi-\\ln (\\pi+1)=-\\ln (\\pi+1)<0$\n\n即 $f(\\pi) \\cdot f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)<0$, 又 $f(x)$ 在 $\\left[\\frac{\\pi}{2}, \\pi\\right]$ 上单调递减\n\n$\\therefore f(x)$ 在 $\\left[\\frac{\\pi}{2}, \\pi\\right]$ 上存在唯一零点\n\n(4)当 $x \\in(\\pi,+\\infty)$ 时, $\\sin x \\in[-1,1], \\ln (x+1)>\\ln (\\pi+1)>\\ln e=1$\n\n$\\therefore \\sin x-\\ln (x+1)<0$\n\n即 $f(x)$ 在 $(\\pi,+\\infty)$ 上不存在零点\n\n综上所述: $f(x)$ 有且仅有 2 个零点\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 求得导函数后, 可判断出导函数在 $\\left(-1, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上单调递减, 根据零点存在定理可判断出 $\\exists x_{0} \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$, 使得 $g^{\\prime}\\left(x_{0}\\right)=0$, 进而得到导函数在 $\\left(-1, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上的单调性, 从而可证得结论;\n\n(2) 由 (1) 的结论可知 $x=0$ 为 $f(x)$ 在 $(-1,0]$ 上的唯一零点; 当 $x$ 西碚 $\\frac{p}{2} \\frac{p}{2} \\dot{\\vdots}$ 时, 渞先可 判断出在 $\\left(0, x_{0}\\right)$ 上无零点, 再利用零点存在定理得到 $f(x)$ 在 $\\left(x_{0}, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 上的单调性, 可知 $f(x)>0$, 不存在零点; 当 $x \\in\\left[\\frac{\\pi}{2}, \\pi\\right]$ 时, 利用零点存在定理和 $f(x)$ 单调性可判断出存 在唯一一个零点; 当 $x \\in(\\pi,+\\infty)$, 可证得 $f(x)<0$; 综合上述情况可证得结论.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先我们需要求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$，然后找出$f'(x)$的极值点。极值点是函数在其定义域内取得最大值或最小值的点，这些点的导数为0，所以我们需要求解$f'(x)=0$的解。然后通过求二阶导数来判断这些解是极大值点还是极小值点。<eoe>\n【答案】首先求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$，由$f(x)=\\sin x-\\ln (1+x)$，我们有$f'(x)=\\cos x-\\frac{1}{1+x}$。然后求解$f'(x)=0$，得到$\\cos x=\\frac{1}{1+x}$。在区间$(-1,\\frac{\\pi}{2})$内，$\\cos x$是单调递减的，$\\frac{1}{1+x}$是单调递增的，所以方程$\\cos x=\\frac{1}{1+x}$在区间$(-1,\\frac{\\pi}{2})$内有且仅有一个解，记为$x_0$。再求二阶导数$f''(x)$，由$f'(x)=\\cos x-\\frac{1}{1+x}$，我们有$f''(x)=-\\sin x+\\frac{1}{(1+x)^2}$。将$x_0$代入$f''(x)$，得到$f''(x_0)$，由于在区间$(-1,\\frac{\\pi}{2})$内，$-\\sin x$是单调递增的，$\\frac{1}{(1+x)^2}$是单调递减的，所以$f''(x_0)<0$，所以$x_0$是$f'(x)$的极大值点，且在区间$(-1,\\frac{\\pi}{2})$内唯一。<eoa>\n\n(2)【解析】函数$f(x)$的零点是满足$f(x)=0$的$x$的值。我们需要找出满足$\\sin x-\\ln (1+x)=0$的$x$的值。由于$\\sin x$和$\\ln (1+x)$的值域分别为$[-1,1]$和$(-\\infty, \\infty)$，所以我们可以推断出$f(x)$在$(-\\infty, \\infty)$上是连续的。然后我们可以通过中值定理来判断$f(x)$的零点的个数。<eoe>\n【答案】首先，我们知道$f(x)$在$(-\\infty, \\infty)$上是连续的。然后，我们可以看到$f(-1)=-\\infty$，$f(0)=0$，$f(\\frac{\\pi}{2})=-\\ln(1+\\frac{\\pi}{2})<0$，$f(\\pi)=\\infty$。由于$f(x)$在$(-\\infty, \\infty)$上是连续的，所以由中值定理，我们知道$f(x)$在$(-1,0)$和$(\\frac{\\pi}{2},\\pi)$上各有一个零点。因此，$f(x)$有且仅有2个零点。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解答第一部分时，正确地求出了导数 $f'(x)$，并且正确地分析了 $\\cos x$ 和 $\\frac{1}{1+x}$ 在区间 $(-1,\\frac{\\pi}{2})$ 的单调性，得出了方程 $f'(x)=0$ 在该区间内有唯一解的结论。但是学生没有正确地计算二阶导数 $f''(x)$ 的值，也没有给出 $f''(x_0)<0$ 的具体计算过程，仅仅是通过单调性做了一个不严谨的判断。因此，第一部分的解答不完整，不能给满分。【得分】4分\n\n(2) 学生在解答第二部分时，正确地指出了函数 $f(x)$ 在整个实数域上是连续的，并且尝试使用中值定理来判断零点的个数。但是学生的分析过程中存在错误，例如，学生提到 $f(\\pi)=\\infty$，这是不正确的，因为 $f(\\pi)=\\sin \\pi - \\ln(\\pi+1)$，其值是有限的。此外，学生没有正确地使用中值定理，也没有考虑到 $f(x)$ 在 $(0, \\frac{\\pi}{2})$ 和 $(\\frac{\\pi}{2}, \\pi)$ 区间上的单调性和零点情况。因此，第二部分的解答也是不完整的。【得分】3分\n\n【总分】7分",
            "model_correction_score": [
                7.0
            ]
        },
        {
            "index": 76,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "21. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效, 为此进行动物 试验. 试验方案如下: 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠, 随机选一 只施以甲药, 另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后, 再安排下一轮试验. 当其中一种药 治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时, 就停止试验, 并认为治愈只数多的药更有效. 为 了方便描述问题, 约定: 对于每轮试验, 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠末治愈则 甲药得 1 分, 乙药得-1 分; 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠末治愈则乙药得 1 分, 甲药得 - 1 分; 若都治愈或都末治愈则两种药均得 0 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\\alpha$ 和 $\\beta$, 一轮试验中甲药的得分记为 $X$.\n\n(1) 求 $X$ 的分布列;\n\n(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分, $p_{i}(i=0,1, \\cdots, 8)$ 表示“甲药的累计得分为 $i$ 时, 最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_{0}=0, \\quad p_{8}=1$,\n\n$p_{i}=a p_{i-1}+b p_{i}+c p_{i+1}(i=1,2, \\cdots, 7)$, 其中 $a=P(X=-1), \\quad b=P(X=0)$,\n\n$c=P(X=1)$ ．假设 $a=0.5, \\beta=0.8$.\n\n(i)证明: $\\left\\{p_{i+1}-p_{i}\\right\\}(i=0,1,2, \\cdots, 7)$ 为等比数列;\n\n(ii)求 $p_{4}$, 并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1) 由题意可知 $X$ 所有可能的取值为: $-1,0,1$\n\n$\\therefore P(X=-1)=(1-a) \\beta ; \\quad P(X=0)=a \\beta+(1-a)(1-\\beta) ; \\quad P(X=1)=a(1-\\beta)$ 则 $X$ 的分布列如下: \n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline$X$ & -1 & 0 & 1 \\\\\n\\hline$P$ & $(1-a) \\beta$ & $a \\beta+(1-a)(1-\\beta)$ & $a(1-\\beta)$ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n(2) $\\because a=0.5, \\quad \\beta=0.8$\n\n$\\therefore a=0.5 \\times 0.8=0.4, \\quad b=0.5 \\times 0.8+0.5 \\times 0.2=0.5, c=0.5 \\times 0.2=0.1$\n\n(i) $\\because p_{i}=a p_{i-1}+b p_{i}+c p_{i+1}(i=1,2, \\cdots, 7)$\n\n即 $p_{i}=0.4 p_{i-1}+0.5 p_{i}+0.1 p_{i+1}(i=1,2, \\cdots, 7)$\n\n整理可得: $5 p_{i}=4 p_{i-1}+p_{i+1}(i=1,2, \\cdots, 7) \\quad \\therefore p_{i+1}-p_{i}=4\\left(p_{i}-p_{i-1}\\right)(i=1,2, \\cdots, 7)$\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 首先确定 $X$ 所有可能的取值, 再来计算出每个取值对应的概率, 从而可得分布列; (2)\n\n(i) 求解出 $a, b, c$ 的取值, 可得 $p_{i}=0.4 p_{i-1}+0.5 p_{i}+0.1 p_{i+1}(i=1,2, \\cdots, 7)$, 从而整理出 符合等比数列定义的形式, 问题得证; (ii) 列出证得的等比数列的通项公式, 采用累加的方 式, 结合 $p_{8}$ 和 $p_{0}$ 的值可求得 $p_{1}$; 再次利用累加法可求出 $p_{4}$.\n",
            "model_output": "(1)【解析】<eoe>\n【答案】\n根据题意，有以下四种情况：\n1. 甲药治愈，乙药未治愈，此时甲药得1分，概率为$\\alpha(1-\\beta)$；\n2. 甲药未治愈，乙药治愈，此时甲药得-1分，概率为$(1-\\alpha)\\beta$；\n3. 甲药和乙药都治愈，此时甲药得0分，概率为$\\alpha\\beta$；\n4. 甲药和乙药都未治愈，此时甲药得0分，概率为$(1-\\alpha)(1-\\beta)$。\n\n所以，$X$的分布列为：\n$P(X=1)=\\alpha(1-\\beta)$；\n$P(X=-1)=(1-\\alpha)\\beta$；\n$P(X=0)=\\alpha\\beta+(1-\\alpha)(1-\\beta)$。\n\n(2)(i)【解析】\n根据题意，$p_{i}=a p_{i-1}+b p_{i}+c p_{i+1}$，我们可以将其改写为$p_{i+1}=p_{i}-\\frac{a}{c}p_{i-1}+\\frac{b}{c}$。由此可以看出，$p_{i+1}-p_{i}$与$p_{i}-p_{i-1}$的关系为等比关系，即$\\frac{p_{i+1}-p_{i}}{p_{i}-p_{i-1}}=\\frac{a}{c}$，因此$\\left\\{p_{i+1}-p_{i}\\right\\}(i=0,1,2, \\cdots, 7)$为等比数列。<eoe>\n【答案】证明完成。\n\n(ii)【解析】\n由于$\\left\\{p_{i+1}-p_{i}\\right\\}(i=0,1,2, \\cdots, 7)$为等比数列，所以有$p_{i+1}-p_{i}=r^{i}(p_{1}-p_{0})$，其中$r=\\frac{a}{c}$。由于$p_{0}=0$，$p_{8}=1$，所以有$p_{8}-p_{0}=r^{7}(p_{1}-p_{0})+r^{6}(p_{1}-p_{0})+\\cdots+r^{0}(p_{1}-p_{0})$，即$1=(r^{7}+r^{6}+\\cdots+r^{0})(p_{1}-p_{0})$。由于$r=\\frac{a}{c}$，$a=0.5$，$c=0.2$，所以$r=2.5$。所以$p_{1}=0.5$。由此，我们可以得到$p_{4}=0.5+3*(p_{1}-p_{0})=2$。由于$p_{4}>1$，所以$p_{4}=1$。这说明当甲药的累计得分为4时，最终认为甲药比乙药更有效的概率为1，即甲药的效果一定优于乙药，这验证了这种试验方案的合理性。<eoe>\n【答案】$p_{4}=1$。",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生给出了正确的 $X$ 的分布列，包括了所有可能的情况和对应的概率，与标准答案一致，给满分。\n\n(2)(i) 学生正确证明了 $\\left\\{p_{i+1}-p_{i}\\right\\}(i=0,1,2, \\cdots, 7)$ 为等比数列，给满分。\n\n(2)(ii) 学生在求解 $p_{4}$ 的过程中出现了错误。首先，学生错误地将 $p_{i+1}-p_{i}$ 与 $p_{i}-p_{i-1}$ 的关系写为 $\\frac{p_{i+1}-p_{i}}{p_{i}-p_{i-1}}=\\frac{a}{c}$，而正确的关系应该是 $p_{i+1}-p_{i}=4\\left(p_{i}-p_{i-1}\\right)$。其次，学生在计算 $p_{4}$ 时错误地使用了 $p_{1}=0.5$，这是不正确的，因为 $p_{1}$ 应该通过等比数列的性质来计算。最后，学生错误地得出了 $p_{4}=1$ 的结论，这与标准答案不符。因此，这部分给0分。\n\n【得分】\n(1) 3分\n(2)(i) 2分\n(2)(ii) 0分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 77,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "22.[选修 4-4: 坐标系与参数方程]\n\n在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\\\ y=\\frac{4 t}{1+t^{2}}\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数), 以坐标原点 $O$ 为\n\n极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 $l$ 的极坐标方程为\n\n$2 \\rho \\cos \\theta+\\sqrt{3} \\rho \\sin \\theta+11=0$.\n\n(1) 求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程;\n\n(2) 求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值.\n",
            "standard_answer": "【详解】 (1) 由 $x=\\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得: $t^{2}=\\frac{1-x}{1+x}$, 又 $y^{2}=\\frac{16 t^{2}}{\\left(1+t^{2}\\right)^{2}}$\n\n$\\therefore y^{2}=\\frac{16 \\times \\frac{1-x}{1+x}}{\\left(1+\\frac{1-x}{1+x}\\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$\n\n整理可得 $C$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+\\frac{y^{2}}{4}=1$\n\n又 $x=\\rho \\cos \\theta, \\quad y=\\rho \\sin \\theta$\n\n$\\therefore l$ 的直角坐标方程为: $2 x+\\sqrt{3} y+11=0$\n\n(2) 设 $C$ 上点的坐标为: $(\\cos \\theta, 2 \\sin \\theta)$\n\n则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\\frac{|2 \\cos \\theta+2 \\sqrt{3} \\sin \\theta+11|}{\\sqrt{7}}=\\frac{\\left|4 \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{6}\\right)+11\\right|}{\\sqrt{7}}$\n\n当 $\\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{6}\\right)=-1$ 时, $d$ 取最小值\n\n则 $d_{\\min }=\\sqrt{7}$\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 利用代人消元法, 可求得 $C$ 的直角坐标方程; 根据极坐标与直角坐标互化原则可得 $l$ 的 直角坐标方程; (2) 利用参数方程表示出 $C$ 上点的坐标, 根据点到直线距离公式可将所求 距离表示为三角函数的形式, 从而根据三角函数的范围可求得最值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要将参数方程转换为直角坐标方程。我们可以通过消去参数t来实现这一点。然后，我们需要将极坐标方程转换为直角坐标方程。我们可以通过使用极坐标和直角坐标之间的关系$\\rho=\\sqrt{x^2+y^2},\\cos\\theta=x/\\rho,\\sin\\theta=y/\\rho$来实现这一点。<eoe>\n\n【答案】\n首先，我们将参数方程转换为直角坐标方程。通过消去参数t，我们有：\n$x^2+y^2=\\left(\\frac{1-t^2}{1+t^2}\\right)^2+\\left(\\frac{4t}{1+t^2}\\right)^2=1$，\n所以，曲线C的直角坐标方程为$x^2+y^2=1$。\n\n然后，我们将极坐标方程转换为直角坐标方程。通过使用极坐标和直角坐标之间的关系，我们有：\n$2x+\\sqrt{3}y+11=0$，\n所以，直线l的直角坐标方程为$2x+\\sqrt{3}y+11=0$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n我们需要找到曲线C上的点到直线l的距离的最小值。我们可以通过使用点到直线的距离公式$d=\\frac{|Ax+By+C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}$来实现这一点，其中A，B，C是直线方程的系数，x，y是点的坐标。然后，我们需要找到使得d最小的x，y。<eoe>\n\n【答案】\n我们使用点到直线的距离公式，得到：\n$d=\\frac{|2x+\\sqrt{3}y+11|}{\\sqrt{4+3}}$，\n由于曲线C的方程为$x^2+y^2=1$，我们可以将x，y的值代入d的公式，得到：\n$d=\\frac{|2\\cos\\theta+\\sqrt{3}\\sin\\theta+11|}{\\sqrt{7}}$，\n通过求导并令导数等于0，我们可以找到使得d最小的$\\theta$，然后将$\\theta$的值代入d的公式，得到d的最小值。经过计算，我们得到$d_{min}=\\frac{11}{\\sqrt{7}}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在转换曲线C的参数方程为直角坐标方程时，错误地得出了$x^2+y^2=1$，而正确的方程应该是$x^2+\\frac{y^2}{4}=1$。因此，这部分给出的答案是错误的，不得分。\n\n学生在转换直线l的极坐标方程为直角坐标方程时，正确地得出了$2x+\\sqrt{3}y+11=0$，这部分答案是正确的，可以给分。\n\n(2) 学生在求C上的点到l距离的最小值时，错误地使用了$x^2+y^2=1$来代替曲线C的方程，而正确的方程应该是$x^2+\\frac{y^2}{4}=1$。因此，这部分给出的答案是错误的，不得分。\n\n学生在计算最小值时，错误地得出了$d_{min}=\\frac{11}{\\sqrt{7}}$，而正确的最小值应该是$d_{min}=\\sqrt{7}$。因此，这部分答案也是错误的，不得分。\n\n【得分】\n(1) 直角坐标方程C的部分得0分，直线l的部分得5分。\n(2) 最小值的部分得0分。\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 78,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "23.已知 $a, b, c$ 为正数, 且满足 $a b c=1$. 证明:\n(1) $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c} \\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$\n(2) $(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \\geq 24$.\n",
            "standard_answer": "【详解】 (1) $\\because a b c=1 \\quad \\therefore \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}=\\left(\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}\\right) \\cdot a b c=b c+a c+a b$\n\n$\\because 2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)=\\left(a^{2}+b^{2}\\right)+\\left(b^{2}+c^{2}\\right)+\\left(c^{2}+a^{2}\\right) \\geq 2 a b+2 b c+2 a c$\n\n当且仅当 $a=b=c$ 时取等号\n\n$\\therefore 2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right) \\geq 2\\left(\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}\\right)$, 即: $a^{2}+b^{2}+c^{2} \\geqslant \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}$\n\n(2) $\\because(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$, 当且仅当 $a=b=c$ 时取等\n\n号\n\n又 $a+b \\geq 2 \\sqrt{a b}, b+c \\geq 2 \\sqrt{b c}, a+c \\geq 2 \\sqrt{a c}$ (当且仅当 $a=b=c$ 时等号同时成立)\n\n$\\therefore(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \\geq 3 \\times 2 \\sqrt{a b} \\times 2 \\sqrt{b c} \\times 2 \\sqrt{a c}=24 \\sqrt{(a b c)^{2}}$\n\n又 $a b c=1 \\quad \\therefore(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \\geq 24$\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 利用 $a b c=1$ 将所证不等式可变为证明: $a^{2}+b^{2}+c^{2} \\geq b c+a c+a b$, 利用基本不等 式可证得 $2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right) \\geq 2 a b+2 b c+2 a c$, 从而得到结论; (2) 利用基本不等式可得 $(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$, 再次利用基本不等式可将式转化为 $(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \\geq 24 \\sqrt{(a b c)^{2}}$, 在取等条件一致的情况下, 可得结论.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们知道$a,b,c$为正数，所以我们可以使用柯西不等式，也就是柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）。\n柯西不等式的形式为：$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2) \\geq (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$。\n我们可以将$a,b,c$看作是$a_1,a_2,a_3$，将$\\frac{1}{a},\\frac{1}{b},\\frac{1}{c}$看作是$b_1,b_2,b_3$，然后将这些数代入柯西不等式中，得到$(a^2+b^2+c^2)(\\frac{1}{a^2}+\\frac{1}{b^2}+\\frac{1}{c^2}) \\geq (\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c})^2$。\n然后我们利用已知条件$abc=1$，将其代入上述不等式，得到$(a^2+b^2+c^2)(\\frac{1}{a^2}+\\frac{1}{b^2}+\\frac{1}{c^2}) \\geq 1$。\n最后，我们再次利用已知条件$abc=1$，将其代入上述不等式，得到$(a^2+b^2+c^2) \\geq \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}$，即$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c} \\leq a^2+b^2+c^2$。<eoe>\n【答案】\n根据柯西不等式，我们有$(a^2+b^2+c^2)(\\frac{1}{a^2}+\\frac{1}{b^2}+\\frac{1}{c^2}) \\geq (\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c})^2$。\n根据已知条件$abc=1$，我们可以得到$(a^2+b^2+c^2)(\\frac{1}{a^2}+\\frac{1}{b^2}+\\frac{1}{c^2}) \\geq 1$。\n再次利用已知条件$abc=1$，我们可以得到$(a^2+b^2+c^2) \\geq \\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}$，即$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c} \\leq a^2+b^2+c^2$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n我们可以将$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3$展开，得到$2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2)$。\n然后我们可以利用已知条件$abc=1$，将其代入上述等式，得到$2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2+b^2+c^2)$。\n然后我们可以利用阿姆-格姆不等式（AM-GM Inequality），它的形式为：对于所有的正数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \\geq \\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$。\n我们可以将$a^3,b^3,c^3$看作是$a_1,a_2,a_3$，然后将这些数代入阿姆-格姆不等式中，得到$\\frac{a^3+b^3+c^3}{3} \\geq \\sqrt[3]{a^3b^3c^3}$。\n然后我们可以利用已知条件$abc=1$，将其代入上述不等式，得到$\\frac{a^3+b^3+c^3}{3} \\geq 1$，即$a^3+b^3+c^3 \\geq 3$。\n最后，我们将这个结果代入原不等式，得到$2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2+b^2+c^2) \\geq 24$，即$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3 \\geq 24$。<eoe>\n【答案】\n将$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3$展开，得到$2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2)$。\n利用已知条件$abc=1$，我们可以得到$2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2+b^2+c^2)$。\n利用阿姆-格姆不等式，我们有$\\frac{a^3+b^3+c^3}{3} \\geq \\sqrt[3]{a^3b^3c^3}$。\n利用已知条件$abc=1$，我们可以得到$\\frac{a^3+b^3+c^3}{3} \\geq 1$，即$a^3+b^3+c^3 \\geq 3$。\n将这个结果代入原不等式，我们可以得到$2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2+b^2+c^2) \\geq 24$，即$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3 \\geq 24$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生使用了柯西不等式，但是应用不正确，因为柯西不等式的正确形式是 $(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2) \\geq (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，而学生将 $\\frac{1}{a^2}, \\frac{1}{b^2}, \\frac{1}{c^2}$ 与 $a^2, b^2, c^2$ 相乘，这是不正确的。学生的分析和答案没有正确证明题目中的不等式，因此不能给分。\n\n(2) 学生在解析中错误地将 $(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3$ 展开为 $2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2)$，这是错误的，正确的展开应该包含所有的 $a^3, b^3, c^3$ 以及 $a^2b, ab^2, b^2c, bc^2, c^2a, ca^2$ 项。学生没有正确地使用 AM-GM 不等式，并且在代入 $abc=1$ 后得出的结论 $a^3+b^3+c^3 \\geq 3$ 也是错误的。因此，学生的分析和答案没有正确证明题目中的不等式，不能给分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 79,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "18.\n\n11 分制乒乓球比赛, 每赢一球得 1 分, 当某局打成 $10: 10$ 平后, 每球交换发球权, 先多 得 2 分的一方获胜, 该局比赛结束. 甲、乙两位同学进行单打比赛, 假设甲发球时甲得 分的概率为 0.5 , 乙发球时甲得分的概率为 0.4 , 各球的结果相互独立.在某局双方 $10: 10$ 平后，甲先发球，两人又打了 $X$ 个球该局比赛结束.\n\n(1) 求 $P(X=2)$;\n\n(2) 求事件“ $X=4$ 且甲获胜”的概率.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1)由题意可知, $P(X=2)$ 所包含的事件为 “甲连赢两球或乙连赢两球”\n\n所以 $P(X=2)=0.5{\\times} 0.4+0.5{\\times} 0.6=0.5$\n\n(2)由题意可知, $P(X=4)$ 包含的事件为 “前两球甲乙各得 1 分, 后两球均为甲得分” 所以 $P(X=4)=0.5{\\times}0.6{\\times}0.5{\\times}0.4+0.5{\\times}0.4{\\times}0.5{\\times}0.4=0.1$\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1)本题首先可以通过题意推导出 $P(X=2)$ 所包含的事件为 “甲连赢两球或乙连赢两球”, 然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果;\n\n(2)本题首先可以通过题意推导出 $P(X=4)$ 所包含的事件为 “前两球甲乙各得 1 分, 后两球 均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果。\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n当X=2时，甲乙两人各打了一个球，甲先发球，所以甲需要连续赢得两个球才能使比赛结束。由于各球的结果相互独立，所以甲连续赢得两个球的概率为甲发球时甲得分的概率乘以乙发球时甲得分的概率，即0.5*0.4。<eoe>\n【答案】\n$P(X=2)=0.5*0.4=0.2$<eoa>\n\n(2)【解析】\n当X=4且甲获胜时，甲乙两人各打了两个球，甲先发球。由于比赛在第四个球结束，所以甲必须在第一个和第四个球中赢得一球，并在第二个和第三个球中赢得一球。由于各球的结果相互独立，所以这个事件的概率为甲发球时甲得分的概率乘以乙发球时乙得分的概率再乘以甲发球时乙得分的概率再乘以乙发球时甲得分的概率，即0.5*(1-0.4)*(1-0.5)*0.4。<eoe>\n【答案】\n$P(X=4且甲获胜)=0.5*(1-0.4)*(1-0.5)*0.4=0.06$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的分析过程错误，没有考虑到乙连赢两球的情况，只计算了甲连赢两球的概率。学生的答案 $P(X=2)=0.5*0.4=0.2$ 与标准答案不符，标准答案为 $P(X=2)=0.5$。因此，该部分给分为0分。\n\n(2) 学生的分析过程错误，没有正确理解题意。题目要求的是甲获胜的情况，即甲在第三个和第四个球中都要赢得分，而学生的分析中考虑了甲在第二个和第三个球中赢得一球的情况，这是错误的。学生的答案 $P(X=4且甲获胜)=0.5*(1-0.4)*(1-0.5)*0.4=0.06$ 与标准答案不符，标准答案为 $P(X=4)=0.1$。因此，该部分给分为0分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 80,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "19.\n\n已知数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 和 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 满足 $a_{1}=1, b_{1}=0,4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4$.\n\n(1) 证明: $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是等比数列, $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是等差数列;\n\n(2) 求 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 和 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的通项公式.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1)由题意可知 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4,4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4, a_{1}+b_{1}=1, a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $4 a_{n+1}+4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4+3 b_{n}-a_{n}-4=2 a_{n}+2 b_{n}$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\\frac{1}{2}\\left(a_{n}+b_{n}\\right)$, 所以数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是首项为 1 、公比为 $\\frac{1}{2}$ 的等比数列, $a_{n}+b_{n}=\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}$, 因为 $4 a_{n+1}-4 b_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4-\\left(3 b_{n}-a_{n}-4\\right)=4 a_{n}-4 b_{n}+8$, 所以 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$, 数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是首项 1 公差为 2 的等差数列, $a_{n}-b_{n}=2 n-1$\n\n(2)由(1)可知, $a_{n}+b_{n}=\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$,\n\n所以 $a_{n}=\\frac{1}{2}\\left(a_{n}+b_{n}+a_{n}-b_{n}\\right)=\\frac{1}{2^{n}}+n-\\frac{1}{2}, b_{n}=\\frac{1}{2}$ 轾 战 $^{n}+b_{n}-\\left(a_{n}-b_{n}\\right)=\\frac{1}{2^{n}}-n+\\frac{1}{2}$ 。\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1)可通过题意中的 $4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4$ 以及 $4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4$ 对两式进行相加和相减即 可推导出数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是等比数列以及数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是等差数列;\n\n(2)可通过(1)中的结果推导出数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 以及数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 的通项公式, 然后利用数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 以及数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 的通项公式即可得出结果。\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们可以将两个给定的递推关系式相加和相减，得到两个新的递推关系式。\n然后，我们可以检查这两个新的递推关系式是否满足等比数列和等差数列的定义。<eoe>\n\n【答案】 \n将两个给定的递推关系式相加，得到 $4(a_{n+1}+b_{n+1})=3(a_{n}+b_{n})$，这说明 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是等比数列，公比为$\\frac{3}{4}$。\n将两个给定的递推关系式相减，得到 $4(a_{n+1}-b_{n+1})=4(a_{n}-b_{n})$，这说明 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是等差数列，公差为$0$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n由于 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$ 是等比数列，$\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$ 是等差数列，我们可以分别利用等比数列和等差数列的通项公式求解 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 和 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 的通项公式。<eoe>\n\n【答案】 \n对于等比数列 $\\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\}$，其通项公式为 $a_{n}+b_{n}=a_{1}\\times q^{n-1}=1\\times (\\frac{3}{4})^{n-1}$。\n对于等差数列 $\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\}$，其通项公式为 $a_{n}-b_{n}=a_{1}+(n-1)\\times d=1+0=1$。\n解这两个方程，得到 $a_{n}=\\frac{1+(\\frac{3}{4})^{n-1}}{2}$，$b_{n}=\\frac{1-(\\frac{3}{4})^{n-1}}{2}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在分析过程中正确地将两个递推关系式相加和相减，但是在计算公比和公差时出现了错误。学生得出的公比为 $\\frac{3}{4}$ 和公差为 $0$，这与标准答案中的公比 $\\frac{1}{2}$ 和公差 $2$ 不符。因此，这部分给出部分分数，考虑到正确的分析过程，可以给出一半的分数。\n\n(2) 学生在求解通项公式时，由于使用了错误的公比和公差，导致得出的通项公式不正确。因此，这部分不得分。\n\n【得分】\n(1) 由于学生的分析过程是正确的，但是计算结果错误，因此给出一半的分数。这部分满分为5分，所以给出2.5分。\n(2) 由于学生的通项公式完全错误，这部分满分为5分，所以给出0分。\n\n【总分】2.5分",
            "model_correction_score": [
                2.5
            ]
        },
        {
            "index": 81,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "20.\n\n已知函数 $f(x)=\\ln x-\\frac{x+1}{x-1}$.\n\n(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性, 并证明 $f(x)$ 有且仅有两个零点;\n\n(2) 设 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 的一个零点, 证明曲线 $y=\\ln x$ 在点 $A\\left(x_{0}, \\ln x_{0}\\right)$ 处的切线也是曲线 $y=\\mathrm{e}^{x}$ 的切线.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1) 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,1) \\cup(1,+\\infty)$,\n\n$f(x)=\\ln x-\\frac{x+1}{x-1} \\Rightarrow f^{\\prime}(x)=\\frac{x^{2}+1}{x(x-1)^{2}}$, 因为函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,1) \\cup(1,+\\infty)$, 所以 $f^{\\prime}(x)>0$, 因此函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\\infty)$ 上是单调增函数;\n\n当 $x \\in(0,1)$, 时, $x \\rightarrow 0, y \\rightarrow-\\infty$, 而 $f\\left(\\frac{1}{e}\\right)=\\ln \\frac{1}{e}-\\frac{\\frac{1}{e}+1}{\\frac{1}{e}-1}=\\frac{2}{e-1}>0$, 显然当 $x \\in(0,1)$, 函数 $f(x)$ 有零点, 而函数 $f(x)$ 在 $x \\in(0,1)$ 上单调递增, 故当 $x \\in(0,1)$ 时, 函数 $f(x)$ 有唯一 的零点;\n\n当 $x \\in(1,+\\infty)$ 时, $f(e)=\\ln e-\\frac{e+1}{e-1}=\\frac{-2}{e-1}<0, f\\left(e^{2}\\right)=\\ln e^{2}-\\frac{e^{2}+1}{e^{2}-1}=\\frac{e^{2}-3}{e^{2}-1}>0$, 因为 $f(e) \\cdot f\\left(e^{2}\\right)<0$, 所以函数 $f(x)$ 在 $\\left(e, e^{2}\\right)$ 必有一零点, 而函数 $f(x)$ 在 $(1,+\\infty)$ 上是单 调递增, 故当 $x \\in(1,+\\infty)$ 时, 函数 $f(x)$ 有唯一的零点\n\n综上所述, 函数 $f(x)$ 的定义域 $(0,1) \\cup(1,+\\infty)$ 内有 2 个零点;\n\n(2) 因为 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 的一个零点, 所以 $f\\left(x_{0}\\right)=\\ln x_{0}-\\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}=0 \\Rightarrow \\ln x_{0}=\\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}$\n\n$y=\\ln x \\Rightarrow y^{\\prime}=\\frac{1}{x}$, 所以曲线 $y=\\ln x$ 在 $\\mathrm{A}\\left(x_{0}, \\ln x_{0}\\right)$ 处的切线 $l$ 的斜率 $k=\\frac{1}{x_{0}}$, 故曲线 $y=\\ln x$ 在 $\\mathrm{A}\\left(x_{0}, \\ln x_{0}\\right)$ 处的切线 $l$ 的方程为: $y-\\ln x_{0}=\\frac{1}{x_{0}}\\left(x-x_{0}\\right)$ 而 $\\ln x_{0}=\\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}$, 所以 $l$ 的方程为 $y=\\frac{x}{x_{0}}+\\frac{2}{x_{0}-1}$, 它在纵轴的截距为 $\\frac{2}{x_{0}-1}$.\n\n设曲线 $y=e^{x}$ 的切点为 $B\\left(x_{1}, e^{x_{1}}\\right)$, 过切点为 $B\\left(x_{1}, e^{x_{1}}\\right)$ 切线 $l^{\\prime}, y=e^{x} \\Rightarrow y^{\\prime}=e^{x}$, 所以在 $B\\left(x_{1}, e^{x_{1}}\\right)$ 处的切线 $l^{\\prime}$ 的斜率为 $e^{x_{1}}$, 因此切线 $l^{\\prime}$ 的方程为 $y=e^{x_{1}} x+e^{x_{1}}\\left(1-x_{1}\\right)$,\n\n当切线 $l^{\\prime}$ 的斜率 $k_{1}=e^{x_{1}}$ 等于直线 $l$ 的斜率 $k=\\frac{1}{x_{0}}$ 时, 即 $e^{x_{1}}=\\frac{1}{x_{0}} \\Rightarrow x_{1}=-\\left(\\ln x_{0}\\right)$,\n\n切线 $l^{\\prime}$ 在纵轴的截距为 $b_{1}=e^{x_{1}}\\left(1-x_{1}\\right)=e^{-\\ln x_{0}}\\left(1+\\ln x_{0}\\right)=\\frac{1}{x_{0}}\\left(1+\\ln x_{0}\\right)$, 而 $\\ln x_{0}=\\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}$, 所以 $b_{1}=\\frac{1}{x_{0}}\\left(1+\\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}\\right)=\\frac{2}{x_{0}-1}$, 直线 $l, l^{\\prime}$ 的斜率相等, 在纵轴上的截距也相等, 因此直线 $l, l^{\\prime}$ 重合, 故曲线 $y=\\ln x$ 在 $\\mathrm{A}\\left(x_{0}, \\ln x_{0}\\right)$ 处的切线也是曲线 $y=e^{x}$ 的切线.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 对函数 $f(x)$ 求导, 结合定义域, 判断函数的单调性;\n\n(2) 先求出曲线 $y=\\ln x$ 在 $\\mathrm{A}\\left(x_{0}, \\ln x_{0}\\right)$ 处的切线 $l$, 然后求出当曲线 $y=e^{x}$ 切线的斜率与 $l$ 斜率相等时, 证明曲线 $y=e^{x}$ 切线 $l^{\\prime}$ 在纵轴上的截距与 $l$ 在纵轴的截距相等即可.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要找到函数的定义域。由于函数中有对数运算和分数运算，我们需要保证$x>0$且$x\\neq1$，所以函数的定义域为$x\\in(0,1)\\cup(1,+\\infty)$。其次，我们需要找到函数的导数，以便讨论函数的单调性。函数的导数可以通过求导公式得到。然后，我们需要找到导数为0的点，这些点是函数可能的极值点。最后，我们需要证明函数有且仅有两个零点，这可以通过分析函数的单调性和函数在定义域的取值情况得到。<eoe>\n\n【答案】首先，求函数的导数$f'(x)=\\frac{1}{x}-\\frac{1}{(x-1)^2}$。对于$x\\in(0,1)$，$f'(x)<0$，所以$f(x)$在$(0,1)$上单调递减；对于$x\\in(1,+\\infty)$，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$(1,+\\infty)$上单调递增。因此，函数$f(x)$在其定义域上是先单调递减后单调递增的。又因为$\\lim_{x\\rightarrow0^{+}}f(x)=+\\infty$，$\\lim_{x\\rightarrow1^{-}}f(x)=-\\infty$，$\\lim_{x\\rightarrow1^{+}}f(x)=+\\infty$，$\\lim_{x\\rightarrow+\\infty}f(x)=-\\infty$，所以由函数的连续性和中值定理，函数$f(x)$在$(0,1)$和$(1,+\\infty)$上各有一个零点，即函数$f(x)$有且仅有两个零点。<eoa>\n\n(2)【解析】首先，我们需要找到曲线$y=\\ln x$在点$A\\left(x_{0}, \\ln x_{0}\\right)$处的切线。这可以通过求导数并将$x_{0}$代入得到。然后，我们需要证明这条切线也是曲线$y=e^{x}$的切线。这可以通过比较两个函数在$x_{0}$处的导数得到。如果两个函数在$x_{0}$处的导数相等，那么它们在$x_{0}$处的切线就是同一条直线。<eoe>\n\n【答案】曲线$y=\\ln x$在点$A\\left(x_{0}, \\ln x_{0}\\right)$处的切线的斜率为$\\frac{1}{x_{0}}$，所以切线的方程为$y-\\ln x_{0}=\\frac{1}{x_{0}}(x-x_{0})$。又因为$x_{0}$是函数$f(x)$的零点，所以$f(x_{0})=0$，即$\\ln x_{0}-\\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}=0$，解得$x_{0}=e$。所以切线的方程为$y-\\ln e=\\frac{1}{e}(x-e)$，即$y=x-1$。另一方面，曲线$y=e^{x}$在点$\\left(e, e^{e}\\right)$处的切线的斜率为$e^{e}$，所以切线的方程为$y-e^{e}=e^{e}(x-e)$，即$y=x-1$。所以曲线$y=\\ln x$在点$A\\left(x_{0}, \\ln x_{0}\\right)$处的切线也是曲线$y=e^{x}$的切线。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在分析过程中没有正确求出导数，导数计算错误，但是正确地讨论了函数的单调性和零点存在性，给出了正确的结论。因此，可以给予部分分数。由于导数计算错误，不能给满分，但考虑到学生正确地使用了极限和中值定理，可以给予一半的分数。\n\n(2) 学生在分析过程中正确地找到了曲线$y=\\ln x$在点$A\\left(x_{0}, \\ln x_{0}\\right)$处的切线，并且正确地证明了这条切线也是曲线$y=e^{x}$的切线。但是，学生在解答过程中错误地假设了$x_{0}=e$，这是一个不恰当的特殊情况假设，而不是一般性的证明。因此，这部分不能给满分。但是，由于学生正确地找到了切线方程，并且得出了正确的结论，可以给予一半的分数。\n\n【得分】\n(1) 由于导数计算错误，但结论正确，给予2.5分（满分5分的一半）。\n(2) 由于特殊情况假设错误，但结论正确，给予2.5分（满分5分的一半）。\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 82,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "21.\n\n已知点 $A(-2,0), B(2,0)$, 动点 $M(x, y)$ 满足直线 $A M$ 与 $B M$ 的斜率之积为 $-\\frac{1}{2}$. 记 $M$ 的轨 迹为曲线 $C$. (1) 求 $C$ 的方程, 并说明 $C$ 是什么曲线;\n\n(2) 过坐标原点的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 点 $P$ 在第一象限, $P E \\perp x$ 轴, 垂足为 $E$, 连结 $Q E$ 并延长交 $C$ 于点 $G$.\n\n(i) 证明: $\\triangle P Q G$ 是直角三角形;\n\n(ii) 求 $\\triangle P Q G$ 面积的最大值.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1) 直线 $A M$ 的斜率为 $\\frac{y}{x+2}(x \\neq-2)$, 直线 $B M$ 的斜率为 $\\frac{y}{x-2}(x \\neq 2)$, 由题意 可知: $\\frac{y}{x+2} \\cdot \\frac{y}{x-2}=-\\frac{1}{2} \\Rightarrow x^{2}+2 y^{2}=4,(x \\neq \\pm 2)$, 所以曲线 $C$ 是以坐标原点为中心, 焦 点在 $x$ 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为 $\\frac{x^{2}}{4}+\\frac{y^{2}}{2}=1,(x \\neq \\pm 2)$;\n\n(2) (i) 设直线 $P Q$ 的方程为 $y=k x$, 由题意可知 $k>0$, 直线 $P Q$ 的方程与椭圆方程\n\n$$\nx^{2}+2 y^{2}=4 \\text { 联立, 即 }\\left\\{\\begin{array} { l } \n{ y = k x , } \\\\\n{ x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 4 . }\n\\end{array} \\Rightarrow \\left\\{\\begin{array} { l } \n{ x = \\frac { 2 } { \\sqrt { 2 k ^ { 2 } + 1 } } , } \\\\\n{ y = \\frac { 2 k } { \\sqrt { 2 k ^ { 2 } + 1 } } . }\n\\end{array} \\text { 或 } \\left\\{\\begin{array}{l}\nx=\\frac{-2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}, \\\\\ny=\\frac{-2 k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}} .\n\\end{array} \\text {, 点 } P\\right.\\right.\\right. \\text { 在第一象 }\n$$\n\n限, 所以 $P\\left(\\frac{2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}, \\frac{2 k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}\\right), Q\\left(\\frac{-2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}, \\frac{-2 k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}\\right)$, 因此点 $E$ 的坐标为\n\n$\\left(\\frac{2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}, 0\\right)$\n\n直线 $Q E$ 的斜率为 $k_{Q E}=\\frac{k}{2}$, 可得直线 $Q E$ 方程: $y=\\frac{k}{2} x-\\frac{k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}$, 与椭圆方程联立,\n\n$\\left\\{\\begin{array}{l}y=\\frac{k}{2} x-\\frac{k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}, \\\\ x^{2}+2 y^{2}=4 .\\end{array}\\right.$ 消去 $y$ 得, $\\left(2+k^{2}\\right) x^{2}-\\frac{4 k^{2} x}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}-\\frac{12 k^{2}+8}{2 k^{2}+1}=0 \\quad\\left({ }^{*}\\right)$, 设点\n\n$G\\left(x_{1}, y_{1}\\right)$ ，显然 $Q$ 点的横坐标 $\\frac{-2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}$ 和 $x_{1}$ 是方程 $(*)$ 的解\n\n所以有 $x_{1} \\cdot \\frac{-2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}=\\frac{-\\frac{12 k^{2}+8}{2 k^{2}+1}}{2+k^{2}} \\Rightarrow x_{1}=\\frac{6 k^{2}+4}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}$, 代人直线 $Q E$ 方程中, 得\n\n$y_{1}=\\frac{2 k^{3}}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}$, 所以点 $G$ 的坐标为 $\\left(\\frac{6 k^{2}+4}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}, \\frac{2 k^{3}}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}\\right)$,\n\n直线 $P G$ 的斜率为; $k_{P G}=\\frac{\\frac{2 k^{3}}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}-\\frac{2 k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}}{\\frac{6 k^{2}+4}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}-\\frac{2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}}=\\frac{2 k^{3}-2 k\\left(k^{2}+2\\right)}{6 k^{2}+4-2\\left(k^{2}+2\\right)}=-\\frac{1}{k}$,\n\n因为 $k_{P Q} k_{P G}=k \\cdot\\left(-\\frac{1}{k}\\right)=-1$, 所以 $P Q \\perp P G$, 因此 $\\triangle P Q G$ 是直角三角形;\n\n(ii) 由 (i) 可知: $P\\left(\\frac{2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}, \\frac{2 k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}\\right), Q\\left(\\frac{-2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}, \\frac{-2 k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}\\right)$,\n\n$G$ 的坐标为 $\\left(\\frac{6 k^{2}+4}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}, \\frac{2 k^{3}}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}\\right)$,\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& P Q=\\sqrt{\\left(\\frac{-2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}-\\frac{2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}\\right)^{2}+\\left(\\frac{-2 k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}-\\frac{2 k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}\\right)^{2}}=\\frac{4 \\sqrt{1+k^{2}}}{\\sqrt{2 k^{2}+1}} \\\\\n& P G=\\sqrt{\\left(\\frac{6 k^{2}+4}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}-\\frac{2}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2 k^{3}}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}-\\frac{2 k}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}\\right)^{2}}=\\frac{4 k \\sqrt{k^{2}+1}}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}}\n\\end{aligned}\n$$\n\n$S_{\\triangle P Q G}=\\frac{1}{2} \\times \\frac{4 k \\sqrt{k^{2}+1}}{\\left(k^{2}+2\\right) \\sqrt{2 k^{2}+1}} \\cdot \\frac{4 \\sqrt{1+k^{2}}}{\\sqrt{2 k^{2}+1}}=\\frac{8\\left(k^{3}+k\\right)}{2 k^{4}+5 k^{2}+2}$\n\n$S^{\\prime}=\\frac{-8(k+1)(k-1)\\left(2 k^{4}+3 k^{2}+2\\right)}{\\left(2 k^{4}+5 k^{2}+2\\right)^{2}}$, 因为 $k>0$, 所以当 $0<k<1$ 时, $S^{\\prime}>0$, 函数 $S(k)$ 单\n\n调递增, 当 $k>1$ 时, $S<0$, 函数 $S(k)$ 单调递减, 因此当 $k=1$ 时, 函数 $S(k)$ 有最大值,\n\n最大值为 $S(1)=\\frac{16}{9}$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 分别求出直线 $A M$ 与 $B M$ 的斜率, 由已知直线 $A M$ 与 $B M$ 的斜率之积为 $-\\frac{1}{2}$, 可以得 到等式, 化简可以求出曲线 $C$ 的方程, 注意直线 $A M$ 与 $B M$ 有斜率的条件;\n\n(2) (i) 设出直线 $P Q$ 的方程, 与椭圆方程联立, 求出 $P, Q$ 两点的坐标, 进而求出点 $E$ 的 坐标, 求出直线 $Q E$ 的方程, 与椭圆方程联立, 利用根与系数关系求出 $G$ 的坐标, 再求出 直线 $P G$ 的斜率, 计算 $k_{P Q} k_{P G}$ 的值, 就可以证明出 $\\triangle P Q G$ 是直角三角形;\n\n(ii) 由 (i) 可知 $P, Q, G$ 三点坐标, $\\triangle P Q G$ 是直角三角形, 求出 $P Q, P G$ 的长, 利用面积 公式求出 $\\triangle P Q G$ 的面积, 利用导数求出面积的最大值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要找出点M的轨迹。由题意，我们知道点M是动点，且直线AM和BM的斜率之积为-1/2。我们可以通过斜率公式，即(y2-y1)/(x2-x1)，来找出这两个斜率。对于直线AM，斜率为(y-0)/(x-(-2))=y/(x+2)，对于直线BM，斜率为(y-0)/(x-2)=y/(x-2)。将这两个斜率的乘积设为-1/2，我们可以得到一个方程，解这个方程就可以得到点M的轨迹。<eoe>\n\n【答案】\n设直线AM的斜率为k1，直线BM的斜率为k2，根据题意，我们有k1*k2=-1/2。将k1和k2的表达式代入，我们得到方程y/(x+2)*y/(x-2)=-1/2，化简得到x^2-2y^2=4。这是一个双曲线的方程，所以点M的轨迹是一个双曲线。<eoa>\n\n(2)(i)【解析】\n要证明三角形PQG是直角三角形，我们需要证明其中一个角是90度。由于PE垂直于x轴，所以角PEQ是90度。又因为直线QE与直线PG相交于点E，所以角PEQ等于角PGQ。因此，三角形PQG是直角三角形。<eoe>\n\n【答案】\n由于PE垂直于x轴，所以角PEQ是90度。又因为直线QE与直线PG相交于点E，所以角PEQ等于角PGQ。因此，三角形PQG是直角三角形。<eoa>\n\n(2)(ii)【解析】\n要求三角形PQG面积的最大值，我们需要找出三角形的高和底。由于三角形PQG是直角三角形，所以我们可以直接使用面积公式1/2*底*高。底可以是PQ或者PG，高可以是PE或者QE。我们可以通过求解方程x^2-2y^2=4来找出P、Q、G的坐标，然后通过坐标来计算出底和高的长度。<eoe>\n\n【答案】\n由于三角形PQG是直角三角形，所以我们可以直接使用面积公式1/2*底*高。底可以是PQ或者PG，高可以是PE或者QE。我们可以通过求解方程x^2-2y^2=4来找出P、Q、G的坐标，然后通过坐标来计算出底和高的长度。经过计算，我们可以得到三角形PQG面积的最大值为2。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解答第一部分时，错误地认为曲线C是双曲线，而实际上根据标准答案，曲线C是椭圆。学生没有给出正确的方程，也没有正确说明曲线C的类型。因此，这一部分得0分。\n\n(2)(i) 学生在解答第二部分(i)时，错误地认为角PEQ等于角PGQ，而没有正确地证明三角形PQG是直角三角形。学生没有使用正确的方法来证明这一点，因此这一部分得0分。\n\n(2)(ii) 学生在解答第二部分(ii)时，错误地给出了三角形PQG面积的最大值为2，而实际上根据标准答案，最大值应该是16/9。学生没有正确地求解面积的最大值，因此这一部分得0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 83,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]\n\n在极坐标系中, $O$ 为极点, 点 $M\\left(\\rho_{0}, \\theta_{0}\\right)\\left(\\rho_{0}>0\\right)$ 在曲线 $C: \\rho=4 \\sin \\theta$ 上, 直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $O M$ 垂直, 垂足为 $P$.\n\n(1) 当 $\\theta_{0}=\\frac{\\pi}{3}$ 时, 求 $\\rho_{0}$ 及 $l$ 的极坐标方程;\n\n(2) 当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $O M$ 上时, 求 $P$ 点轨迹的极坐标方程.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1) 因为点 $M\\left(\\rho_{0}, \\theta_{0}\\right)\\left(\\rho_{0}>0\\right)$ 在曲线 $C: \\rho=4 \\sin \\theta$ 上,\n\n所以 $\\rho_{0}=4 \\sin \\theta_{0}=4 \\sin \\frac{\\pi}{3}=2 \\sqrt{3}$;\n\n即 $M\\left(2 \\sqrt{3}, \\frac{\\pi}{3}\\right)$, 所以 $k_{O M}=\\tan \\frac{\\pi}{3}=\\sqrt{3}$ ，\n\n因为直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $O M$ 垂直, 所以直线 $l$ 的直角坐标方程为 $y=-\\frac{\\sqrt{3}}{3}(x-4)$, 即 $x+\\sqrt{3} y-4=0$;\n\n因此, 其极坐标方程为 $\\rho \\cos \\theta+\\sqrt{3} \\rho \\sin \\theta=4$, 即 $l$ 的极坐标方程为 $\\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{6}\\right)=2$;\n\n(2) 设 $P(x, y)$ ，则 $k_{O P}=\\frac{y}{x}, \\quad k_{A P}=\\frac{y}{x-4}$,\n\n由题意, $O P \\perp A P$, 所以 $k_{O P} k_{A P}=-1$, 故 $\\frac{y^{2}}{x^{2}-4 x}=-1$, 整理得 $x^{2}+y^{2}-4 x=0$,\n\n因为 $P$ 在线段 $O M$ 上, $M$ 在 $C$ 上运动, 所以 $0 \\leq x \\leq 2,2 \\leq y \\leq 4$,\n\n所以, $P$ 点轨迹的极坐标方程为 $\\rho^{2}-4 \\rho \\cos \\theta=0$, 即 $\\rho=4 \\cos \\theta\\left(\\frac{\\pi}{4} \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2}\\right)$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 先由题意, 将 $\\theta_{0}=\\frac{\\pi}{3}$ 代人 $\\rho=4 \\sin \\theta$ 即可求出 $\\rho_{0}$; 根据题意求出直线 $l$ 的直角坐标方 程, 再化为极坐标方程即可;\n\n(2) 先由题意得到 $P$ 点轨迹的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可, 要注意变量的取值 范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要找到点$M$的极坐标$\\rho_0$。由于点$M$在曲线$C: \\rho=4 \\sin \\theta$上，我们可以将$\\theta_0=\\frac{\\pi}{3}$代入这个方程，求出$\\rho_0$。然后，我们需要找到直线$l$的极坐标方程。由于直线$l$与$OM$垂直，我们知道$l$的极坐标方程形式为$\\theta=\\theta_0+\\frac{\\pi}{2}$或$\\theta=\\theta_0-\\frac{\\pi}{2}$。但是，由于直线$l$过点$A(4,0)$，我们可以确定$l$的极坐标方程为$\\theta=\\theta_0+\\frac{\\pi}{2}$。<eoe>\n\n【答案】\n首先，将$\\theta_0=\\frac{\\pi}{3}$代入曲线$C: \\rho=4 \\sin \\theta$的方程，得到$\\rho_0=4 \\sin \\frac{\\pi}{3}=4*\\frac{\\sqrt{3}}{2}=2\\sqrt{3}$。然后，由于直线$l$与$OM$垂直，且过点$A(4,0)$，所以$l$的极坐标方程为$\\theta=\\theta_0+\\frac{\\pi}{2}=\\frac{\\pi}{3}+\\frac{\\pi}{2}=\\frac{5\\pi}{6}$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n当$M$在$C$上运动且$P$在线段$OM$上时，$P$点的极坐标$\\rho$肯定小于或等于$M$点的极坐标$\\rho_0$。由于$P$是$OM$在$l$上的垂足，所以$OP$的延长线一定会经过点$A(4,0)$。因此，$P$点的极坐标方程应该是$\\rho=4\\cos\\theta$。<eoe>\n\n【答案】\n当$M$在$C$上运动且$P$在线段$OM$上时，$P$点的轨迹的极坐标方程为$\\rho=4\\cos\\theta$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求 $\\rho_0$ 时正确代入 $\\theta_0=\\frac{\\pi}{3}$ 到曲线方程 $\\rho=4 \\sin \\theta$ 中，得到正确答案 $\\rho_0=2\\sqrt{3}$，给分3分。但在求直线 $l$ 的极坐标方程时，学生错误地认为直线 $l$ 的极坐标方程形式为 $\\theta=\\theta_0+\\frac{\\pi}{2}$ 或 $\\theta=\\theta_0-\\frac{\\pi}{2}$，并错误地选择了 $\\theta=\\frac{5\\pi}{6}$ 作为 $l$ 的极坐标方程，这是错误的。正确的极坐标方程应为 $\\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{6}\\right)=2$。因此，这部分给分0分。\n\n(2) 学生正确地认识到 $P$ 点的极坐标 $\\rho$ 小于或等于 $M$ 点的极坐标 $\\rho_0$，并且正确地得出 $P$ 点轨迹的极坐标方程为 $\\rho=4\\cos\\theta$，但是没有给出 $\\theta$ 的取值范围。正确答案应包括取值范围 $\\left(\\frac{\\pi}{4} \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2}\\right)$。因此，这部分给分4分。\n\n【得分】\n(1) 3分\n(2) 4分\n【总分】7分",
            "model_correction_score": [
                7.0
            ]
        },
        {
            "index": 84,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "23.[选修 4-5：不等式选讲]\n\n已知 $f(x)=|x-a| x+|x-2|(x-a)$.\n\n（1）当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x)<0$ 的解集;\n\n(2) 若 $x \\in(-\\infty, 1)$ 时, $f(x)<0$, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1) 当 $a=1$ 时, 原不等式可化为 $|x-1| x+|x-2|(x-1)<0$;\n\n当 $x<1$ 时, 原不等式可化为 $(1-x) x+(2-x)(x-1)<0$, 即 $(x-1)^{2}>0$, 显然成立, 此时解集为 $(-\\infty, 1)$;\n\n当 $1 \\leq x<2$ 时, 原不等式可化为 $(x-1) x+(2-x)(x-1)<0$, 解得 $x<1$, 此时解集为空集; 当 $x \\geq 2$ 时, 原不等式可化为 $(x-1) x+(x-2)(x-1)<0$, 即 $(x-1)^{2}<0$, 显然不成立; 此 时解集为空集;\n\n综上, 原不等式的解集为 $(-\\infty, 1)$;\n\n(2) 当 $a \\geqslant 1$ 时, 因为 $x \\in(-\\infty, 1)$, 所以由 $f(x)<0$ 可得 $(a-x) x+(2-x)(x-a)<0$,\n\n即 $(x-a)(x-1)>0$ ，显然恒成立; 所以 $a \\geqslant 1$ 满足题意;\n\n当 $a<1$ 时, $f(x)=\\left\\{\\begin{array}{c}2(x-a), a \\leq x<1 \\\\ 2(x-a)(1-x), x<a\\end{array}\\right.$, 因为 $a \\leq x<1$ 时, $f(x)<0$ 显然不能成立,\n\n所以 $a<1$ 不满足题意;\n\n综上, $a$ 的取值范围是 $[1,+\\infty)$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 根据 $a=1$, 将原不等式化为 $|x-1| x+|x-2|(x-1)<0$, 分别讨论 $x<1,1 \\leq x<2$,\n\n$x \\geq 2$ 三种情况, 即可求出结果;\n\n(2) 分别讨论 $a \\geqslant 1$ 和 $a<1$ 两种情况， 即可得出结果.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n当$a=1$时，$f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1)$，由绝对值的性质我们知道，当$x<1$时，$|x-1|=1-x$，当$x>1$时，$|x-1|=x-1$，同理，当$x<2$时，$|x-2|=2-x$，当$x>2$时，$|x-2|=x-2$。所以我们可以将$f(x)$分段讨论。\n当$x<1$时，$f(x)=(1-x)x+(2-x)(1-x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$；\n当$1<x<2$时，$f(x)=(x-1)x+(2-x)(1-x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$；\n当$x>2$时，$f(x)=(x-1)x+(x-2)(x-1)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$。\n所以$f(x)=(x-1)(x-2)$，解不等式$(x-1)(x-2)<0$，解得$x\\in(1,2)$。\n<eoe>\n【答案】 \n当$a=1$时，不等式$f(x)<0$的解集为$x\\in(1,2)$。\n<eoa>\n\n(2)【解析】 \n若$x \\in(-\\infty, 1)$时，$f(x)<0$，即$|x-a|x+|x-2|(x-a)<0$，在$x<1$的范围内，$|x-a|=a-x$，$|x-2|=2-x$，所以$f(x)=(a-x)x+(2-x)(a-x)=x^2-(a+2)x+a<0$，这是一个关于$x$的二次函数，由于$x<1$，所以二次函数的图像在$x<1$的部分应该在$x$轴的下方，即二次函数的顶点在$x=1$右侧，所以$\\frac{a+2}{2}>1$，解得$a>0$。\n<eoe>\n【答案】 \n当$x \\in(-\\infty, 1)$时，$f(x)<0$，$a$的取值范围为$a>0$。\n<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在分析过程中错误地将 $f(x)$ 的表达式简化为 $(x-1)(x-2)$，并且错误地得出了解集为 $(1,2)$。这与标准答案中的解集 $(-\\infty, 1)$ 完全不符。因此，该部分得0分。\n\n(2) 学生在分析过程中错误地将 $f(x)$ 的表达式简化为 $x^2-(a+2)x+a<0$，并且错误地得出了 $a$ 的取值范围为 $a>0$。这与标准答案中的取值范围 $[1,+\\infty)$ 不符。因此，该部分得0分。\n\n【得分】\n(1) 得0分；\n(2) 得0分；\n【总分】0分。",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 85,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 10,
            "question": "18. $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $a \\sin \\frac{A+C}{2}=b \\sin A$.\n\n(1) 求 $B$;\n\n(2) 若 $\\triangle A B C$ 为锐角三角形, 且 $c=1$, 求 $\\triangle A B C$ 面积的取值范围.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1)根据题意 $a \\sin \\frac{A+C}{2}=b \\sin A$ 由正弦定理得 $\\sin A \\sin \\frac{A+C}{2}=\\sin B \\sin A$, 因 为 $0<A<\\pi$, 故 $\\sin A>0$, 消去 $\\sin A$ 得 $\\sin \\frac{A+C}{2}=\\sin B$ 。 $0<B, 0<\\frac{A+C}{2}<\\pi$ 因为故 $\\frac{A+C}{2}=B$ 或者 $\\frac{A+C}{2}+B=\\pi$, 而根据题意 $A+B+C=\\pi$, 故 $\\frac{A+C}{2}+B=\\pi$ 不成立, 所以 $\\frac{A+C}{2}=B$, 又因为 $A+B+C=\\pi$, 代人得 $3 B=\\pi$, 所以 $B=\\frac{\\pi}{3}$.\n\n(2)因为 $\\mathrm{V} A B C$ 是锐角三角形, 又由前问 $B=\\frac{\\pi}{3}, \\frac{\\pi}{6}<A, C<\\frac{\\pi}{2}, A+B+C=\\pi$ 得到 $A+C=\\frac{2}{3} \\pi$, 故 $\\frac{\\pi}{6}<C<\\frac{\\pi}{2}$ 又应用正弦定理 $\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{c}{\\sin C}, \\frac{12}{25}$, 由三角形面积公式有\n\n$S_{\\triangle A B C}=\\frac{1}{2} a c \\cdot \\sin B=\\frac{1}{2} c^{2} \\frac{a}{c} \\cdot \\sin B=\\frac{1}{2} c^{2} \\frac{\\sin A}{\\sin C} \\cdot \\sin B=\\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{\\sin \\left(\\frac{2 \\pi}{3}-C\\right)}{\\sin C}$\n\n$=\\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{\\sin \\frac{2 \\pi}{3} \\cos C-\\cos \\frac{2 \\pi}{3} \\sin C}{\\sin C}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot\\left(\\sin \\frac{2 \\pi}{3} \\cot C-\\cos \\frac{2 \\pi}{3}\\right)=\\frac{3}{8} \\cot C+\\frac{\\sqrt{3}}{8}$. 又因\n\n$\\frac{\\pi}{6}<C<\\frac{\\pi}{2}$, 故 $\\frac{\\sqrt{3}}{8}=\\frac{3}{8} \\cot \\frac{\\pi}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{8}<S_{\\triangle A B C}<\\frac{3}{8} \\cot \\frac{\\pi}{6}+\\frac{\\sqrt{3}}{8}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, 故 $\\frac{\\sqrt{3}}{8}<S_{\\triangle A B C}<\\frac{\\sqrt{3}}{2}$.\n\n故 $S_{\\triangle A B C}$ 的取值范围是 $\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{8}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1)利用正弦定理化简题中等式, 得到关于 $B$ 的三角方程, 最后根据 A,B,C 均为三角形内角 解得 $B=\\frac{\\pi}{3}$.(2)根据三角形面积公式 $S_{\\triangle A B C}=\\frac{1}{2} a c \\cdot \\sin B$, 又根据正弦定理和 $\\frac{12}{25}$ 得到 $S_{\\triangle A B C}$ 关于 $C$ 的函数, 由于 $\\mathrm{V} A B C$ 是锐角三角形, 所以利用三个内角都小于 $\\frac{\\pi}{2}$ 来计算 $C$ 的定义 域, 最后求解 $S_{\\triangle A B C}(C)$ 的值域.\n",
            "model_output": "(1)【解析】根据题目已知条件，我们可以通过正弦定理和三角形内角和公式来解决这个问题。正弦定理可以得到$a/sinA=b/sinB=c/sinC$，三角形内角和公式可以得到$A+B+C=\\pi$，将这两个公式结合起来，我们可以找出$B$的表达式。<eoe>\n【答案】根据正弦定理，我们有\n$$\na=\\frac{b \\sin A}{\\sin B}, \\quad c=\\frac{b \\sin C}{\\sin B}\n$$\n代入题目已知条件$a \\sin \\frac{A+C}{2}=b \\sin A$，得到\n$$\n\\frac{b \\sin A}{\\sin B} \\sin \\frac{A+C}{2}=b \\sin A\n$$\n化简得到\n$$\n\\sin \\frac{A+C}{2}=\\sin B\n$$\n根据三角形内角和公式$A+B+C=\\pi$，我们可以得到\n$$\n\\sin \\frac{A+\\pi-B}{2}=\\sin B\n$$\n因为$\\sin x=\\sin(\\pi-x)$，所以\n$$\n\\sin \\frac{\\pi-B}{2}=\\sin B\n$$\n所以，$B=\\frac{\\pi}{2}$。<eoa>\n\n(2)【解析】根据题目条件，我们知道$c=1$，$\\triangle ABC$为锐角三角形，我们可以通过三角形面积公式$S=\\frac{1}{2}ab\\sin C$来求解。由于$C=\\pi-A-B$，我们可以将$C$代入公式中，然后通过正弦定理将$a$和$b$表示为$c$的函数，从而得到$\\triangle ABC$面积的取值范围。<eoe>\n【答案】根据三角形面积公式，我们有\n$$\nS=\\frac{1}{2}ab\\sin C=\\frac{1}{2}ab\\sin(\\pi-A-B)\n$$\n根据正弦定理，我们有\n$$\na=\\frac{\\sin A}{\\sin B}, \\quad b=\\frac{\\sin B}{\\sin A}\n$$\n代入面积公式，得到\n$$\nS=\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{\\sin A}{\\sin B}\\cdot\\frac{\\sin B}{\\sin A}\\sin(\\pi-A-B)=\\frac{1}{2}\\sin(\\pi-A-B)\n$$\n由于$\\triangle ABC$为锐角三角形，所以$0<A,B,C<\\pi/2$，所以$0<\\pi-A-B<\\pi$，所以$0<\\sin(\\pi-A-B)<1$，所以三角形面积的取值范围为$0<S<\\frac{1}{2}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解答第一问时，正确地使用了正弦定理和三角形内角和公式，但在解题过程中出现了错误。学生得出$\\sin \\frac{A+C}{2}=\\sin B$是正确的，但在后续的推导中错误地得出$B=\\frac{\\pi}{2}$，实际上应该是$B=\\frac{\\pi}{3}$。因此，第一问的答案错误，不给分。\n\n(2) 学生在解答第二问时，正确地使用了三角形面积公式，但在后续的推导中出现了错误。学生没有正确地使用正弦定理来表示$a$和$b$，并且错误地得出了面积的取值范围为$0<S<\\frac{1}{2}$，而正确的取值范围应该是$\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{8}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$。因此，第二问的答案也是错误的，不给分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 86,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 10,
            "question": "21. 已知曲线 $C: y=\\frac{x^{2}}{2}, D$ 为直线 $y=-\\frac{1}{2}$ 上的动点, 过 $D$ 作 $C$ 的两条切线, 切点分别为 $A$, B.\n\n(1) 证明: 直线 $A B$ 过定点:\n\n(2) 若以 $E\\left(0, \\frac{5}{2}\\right)$ 为圆心的圆与直线 $A B$ 相切, 且切点为线段 $A B$ 的中点, 求四边形 $A D B E$ 的面积.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1)证明: 设 A, B 两点的坐标分别为 $\\left(x_{1}, y_{1}\\right),\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$, 因为 $y=\\frac{1}{2} x^{2}$, 所以 $y^{\\prime}=x$, 则切线 DA 为: $y-y_{1}=x_{1}\\left(x-x_{1}\\right) \\cdots-\\cdots--(1)$, 切线 DB 为: $y-y_{2}=x_{2}\\left(x-x_{2}\\right)-\\cdots-\\cdots$ (2), 代人 $y=\\frac{1}{2} x^{2}$ 得 $\\left\\{\\begin{array}{l}y-\\frac{1}{2} x_{1}^{2}=x_{1} x-x_{1}^{2} \\cdots \\cdots \\text { (1) } \\\\ y-\\frac{1}{2} x_{2}^{2}=x_{2} x-x_{2}^{2} \\cdots \\cdots \\text { (2) }\\end{array},(1) x_{2}-2 \\times x_{1}\\right.$ 得 $\\left(x_{2}-x_{1}\\right) y+\\frac{1}{2} x_{1} x_{2}\\left(x_{1}-x_{2}\\right)=0$, 因为 $x_{1}-x_{2} \\neq 0$ 故消去得交点的纵坐标 $y=\\frac{1}{2} x_{1} x_{2}$, 因为 $\\mathrm{DA}$ 和 $\\mathrm{DB}$ 的交点 $\\mathrm{D}$ 为直线 $y=-\\frac{1}{2}$ 上的动点, 所以有 $y=\\frac{1}{2} x_{1} x_{2}=-\\frac{1}{2}, x_{1} x_{2}=-1$, 直线 $\\mathrm{AB}$ 为 $\\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$, 点 $\\mathrm{A}$, $\\mathrm{B}$ 在曲线 $y=\\frac{x^{2}}{2}$ 上, 则有 $\\frac{y-\\frac{x_{1}^{2}}{2}}{\\frac{x_{2}^{2}}{2}-\\frac{x_{1}^{2}}{2}}=\\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$, 整理 得 $y=\\frac{1}{2}\\left(x_{1}+x_{2}\\right)\\left(x-x_{1}\\right)+\\frac{x_{1}^{2}}{2}=-\\frac{1}{2} x_{1} x_{2}+\\left(x_{1}+x_{2}\\right) x=\\frac{1}{2}+\\left(x_{1}+x_{2}\\right) x$, 即 $\\left(x_{1}+x_{2}\\right) x+\\left(\\frac{1}{2}-y\\right)=0$. 当 $x=0, y=\\frac{1}{2}$ 时无论 $x_{1}, x_{2}$ 取何值时, 此等式均成立。因此直线 $\\mathrm{AB}$ 过定点 $\\left(0, \\frac{1}{2}\\right)$, 得证。\n\n(2)设 $\\mathrm{AB}$ 的中点为 $\\mathrm{G}$, 由题得 $\\mathrm{G}$ 点坐标为 $\\left(\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\\right)$, 则 $\\overrightarrow{E G}=\\left(\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}-0, \\frac{y_{1}+y_{2}}{2}-\\frac{5}{2}\\right)$, 又 $\\overrightarrow{B A}=\\left(x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2}\\right)$. 由题意知 $E G \\perp B A$, 即 $\\overrightarrow{E G} \\cdot \\overrightarrow{B A}=0$ 即 $\\left(\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\\right)\\left(x_{1}-x_{2}\\right)+\\left(\\frac{y_{1}+y_{2}}{2}-\\frac{5}{2}\\right)\\left(y_{1}-y_{2}\\right)=0$. 代人 $y=\\frac{1}{2} x^{2}$ 得 $\\frac{1}{2}\\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\\right)+\\left(\\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4}-\\frac{5}{2}\\right) \\cdot \\frac{1}{2}\\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\\right)=0$ 整理得 $\\left(x_{1}-x_{2}\\right)\\left(x_{1}+x_{2}\\right)\\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6\\right)=0$. 因 $x_{1}-x_{2} \\neq 0$, 故 $\\left(x_{1}+x_{2}\\right)\\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6\\right)=0$. 所以 $x_{1}+x_{2}=0$ 或 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6=0$. 由第一问中 $\\left\\{\\begin{array}{l}y-\\frac{1}{2} x_{1}^{2}=x_{1} x-x_{1}^{2} \\cdots \\cdots \\text { (1) } \\\\ y-\\frac{1}{2} x_{2}^{2}=x_{2} x-x_{2}^{2} \\cdots \\cdots \\text { (2) }\\end{array}\\right.$, 为这里的 $(x, y)$ 为 $\\mathrm{D}$ 点坐标,然而 $y=\\frac{1}{2}$, 故 $-\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2} x_{1}^{2}=x_{1} x-x_{1}^{2}$, 所以 $x=\\frac{1}{2}\\left(x_{1}-\\frac{1}{x_{1}}\\right)$, 又因为 $x_{1} x_{2}=-1$. 所以 $x=\\frac{1}{2}\\left(x_{1}-\\frac{1}{x_{1}}\\right)=\\frac{1}{2}\\left(x_{1}-\\frac{-x_{1} x_{2}}{x_{1}}\\right)=\\frac{1}{2}\\left(x_{1}+x_{2}\\right)$ 。即 $\\mathrm{D}$ 坐标为 $\\left(\\frac{1}{2}\\left(x_{1}+x_{2}\\right),-\\frac{1}{2}\\right)$. 那么 $\\overrightarrow{B A}=\\left(x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2}\\right), \\overrightarrow{E D}=\\left(\\frac{1}{2}\\left(x_{1}+x_{2}\\right), 3\\right)$.\n\n设 $\\theta$ 为 $\\overrightarrow{B A}$ 与 $\\overrightarrow{E D}$ 的夹角, 那么有\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& S_{\\text {四边形 } A D B E}=\\frac{1}{2} B A \\cdot E D \\sin \\theta=\\frac{1}{2} \\sqrt{B A^{2} \\cdot E D^{2}\\left(1-\\cos ^{2} \\theta\\right)}=\\frac{1}{2} \\sqrt{|B A|^{2} \\cdot \\mid \\overrightarrow{\\left.E D\\right|^{2}-(\\overrightarrow{B A} \\cdot \\overrightarrow{E D})^{2}}} \\\\\n& =\\frac{1}{2} \\sqrt{\\left[\\left(x_{1}-x_{2}\\right)^{2}+\\left(y_{1}-y_{2}\\right)^{2}\\right] \\cdot\\left[\\frac{1}{4}\\left(x_{1}+x_{2}\\right)^{2}+9\\right]^{2}-\\left[\\left(x_{1}-x_{2}\\right) \\cdot \\frac{1}{2}\\left(x_{1}+x_{2}\\right)-3\\left(y_{1}-y_{2}\\right)\\right]^{2}}\n\\end{aligned}\n$$\n\n代人 $y=\\frac{1}{2} x^{2}$ 进行化简有 $S_{\\text {四边形 } A D B E}=\\frac{1}{2} \\sqrt{\\left(x_{1}-x_{2}\\right)^{2} \\cdot\\left[9+3\\left(x_{1}+x_{2}\\right)^{2}+\\frac{\\left(x_{1}+x_{2}\\right)^{4}}{16}\\right]}$\n\n若 $x_{1}+x_{2}=0$, 则 $S_{\\text {四边形 } A D B E}=\\frac{1}{2} \\sqrt{\\left(x_{1}-x_{2}\\right)^{2} \\cdot 9}=\\frac{3}{2} \\sqrt{\\left(x_{1}+x_{2}\\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=3$.\n\n若 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6=0$, 则 $\\left(x_{1}+x_{2}\\right)^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}=4,\\left(x_{1}-x_{2}\\right)^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2 x_{1} x_{2}=8$\n\n代人有 $S_{\\text {四边形 } A D B E}=\\frac{1}{2} \\sqrt{8 \\cdot\\left(9+\\frac{3}{2} \\cdot 4+\\frac{4^{2}}{16}\\right)}=4 \\sqrt{2}$.\n\n所以四边形 $A D B E$ 的面积为 3 或 $4 \\sqrt{2}$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n可用解析法和几何法证明。解析法可设 $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}$ 两点的坐标分别为 $\\left(x_{1}, y_{1}\\right),\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$, 然后求 出 $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}$ 两点处的切线, 两条切线交于直线 $y=-\\frac{1}{2}$ 之上, 所以交点的纵坐标为 $-\\frac{1}{2}$\n\n联立方程可解 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的关系。之后用两点式求出直线 $A B$ 方程, 最后根据直线 $A B$ 方程求 出它所过的定点.(2)应用四边形面积公式, 代人化简出关于 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的对称式。然后分情况 讨论求解。如果不知道四面下面积公式则可以将四边形分成两个三角形求面积之后做和, 但 会稍微麻烦一些。 (此题若用向量积的概念则更为容易)\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们要找到曲线$C: y=\\frac{x^{2}}{2}$的切线的方程。我们知道，一般来说，曲线$y=f(x)$在点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率是$f'(x_0)$，所以切线的方程是$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。对于曲线$C: y=\\frac{x^{2}}{2}$，我们有$f'(x)=x$，所以在点$(x_0, \\frac{x_0^2}{2})$处的切线的方程是$y-\\frac{x_0^2}{2}=x_0(x-x_0)$，即$y=x_0x-\\frac{x_0^2}{2}$。然后，我们知道点$D$在直线$y=-\\frac{1}{2}$上，所以$D$的坐标是$(x_D, -\\frac{1}{2})$。将$D$的坐标代入切线的方程，我们得到$-\\frac{1}{2}=x_0x_D-\\frac{x_0^2}{2}$，解这个方程，我们得到$x_0=\\frac{1}{2}x_D$。所以，切点$A$和$B$的坐标是$\\left(\\frac{1}{2}x_D, \\frac{1}{4}x_D^2\\right)$和$\\left(-\\frac{1}{2}x_D, \\frac{1}{4}x_D^2\\right)$。因此，直线$AB$的斜率是$0$，所以$AB$是一条水平线，即$AB$过定点$(0, \\frac{1}{4}x_D^2)$。<eoe>\n\n【答案】\n直线$AB$过定点$(0, \\frac{1}{4}x_D^2)$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n由于直线$AB$是水平的，所以它的斜率是$0$，因此，它的方程是$y=\\frac{1}{4}x_D^2$。然后，我们知道圆的切线的斜率是圆心到切点的连线的斜率的负倒数，所以，由于圆心$E(0, \\frac{5}{2})$，切点是直线$AB$的中点，所以切点的坐标是$\\left(0, \\frac{1}{4}x_D^2\\right)$。因此，圆的半径$r$是$\\frac{5}{2}-\\frac{1}{4}x_D^2$。然后，我们知道四边形$ADBE$的面积是$\\frac{1}{2}AD*BE$，其中$AD$是直线$AD$的长度，$BE$是直线$BE$的长度。我们可以通过勾股定理计算$AD$和$BE$的长度，$AD=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}x_D\\right)^2+\\left(\\frac{1}{4}x_D^2+\\frac{1}{2}\\right)^2}$，$BE=\\sqrt{\\left(0-\\frac{1}{2}x_D\\right)^2+\\left(\\frac{5}{2}-\\frac{1}{4}x_D^2\\right)^2}$。然后，我们可以将$AD$和$BE$的长度代入四边形$ADBE$的面积的公式，得到四边形$ADBE$的面积。<eoe>\n\n【答案】\n四边形$ADBE$的面积是$\\frac{1}{2}\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}x_D\\right)^2+\\left(\\frac{1}{4}x_D^2+\\frac{1}{2}\\right)^2}*\\sqrt{\\left(0-\\frac{1}{2}x_D\\right)^2+\\left(\\frac{5}{2}-\\frac{1}{4}x_D^2\\right)^2}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的解析过程中，对于切线的斜率和方程的推导是正确的，但是在求解切点坐标时出现了错误。学生错误地认为切点坐标是$\\left(\\frac{1}{2}x_D, \\frac{1}{4}x_D^2\\right)$和$\\left(-\\frac{1}{2}x_D, \\frac{1}{4}x_D^2\\right)$，这与标准答案中的切点坐标不符。标准答案中切点坐标应该是通过求导数得到的切线方程与曲线方程联立求解得到的，而不是直接由动点D的横坐标推导。因此，学生的答案没有正确证明直线AB过定点，答案错误。\n\n(2) 学生的解析过程中，对于圆的切线斜率的理解是错误的，学生错误地认为直线AB的斜率是0，并且错误地认为切点的坐标是$\\left(0, \\frac{1}{4}x_D^2\\right)$。实际上，切点的坐标应该是通过解析几何方法求解得到的，而不是直接假设。学生的答案没有正确使用四边形面积公式，也没有正确求解四边形ADBE的面积，答案错误。\n\n【得分】\n(1) 学生的答案没有正确证明直线AB过定点，因此这一部分得0分。\n(2) 学生的答案在解析过程和答案中均有错误，没有正确求解四边形ADBE的面积，因此这一部分也得0分。\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 87,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 设 $x, y, z \\in R$ ，且 $x+y+z=1$.\n\n(1) 求 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}$ 的最小值;\n\n(2) 若 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2} \\geq \\frac{1}{3}$ 成立, 证明: $a \\leqslant-3$ 或 $a \\geq-1$.\n",
            "standard_answer": "【详解】\n\n$\\left[(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}\\right]\\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\\right) \\geq[(x-1)+(y+1)+(z+1)]^{2}=(x+y+z+1)^{2}=4$\n\n故 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2} \\geq \\frac{4}{3}$ 等号成立当且仅当 $x-1=y+1=z+1$ 而又因 $x+y+z=1$, 解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{5}{3} \\\\ y=-\\frac{1}{3} \\text { 时等号成立 } \\\\ z=-\\frac{1}{3}\\end{array}\\right.$\n\n所以 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}$ 的最小值为 $\\frac{4}{3}$.\n\n因为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2} \\geq \\frac{1}{3}$, 所以 $\\left[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}\\right]\\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\\right) \\geq 1$.\n\n根据柯西不等式等号成立条件, 当 $x-2=y-1=z-a$, 即 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2-\\frac{a+2}{3} \\\\ y=1-\\frac{a+2}{3} \\\\ z=a-\\frac{a+2}{3}\\end{array}\\right.$ 时有\n\n$\\left[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}\\right]\\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\\right)=(x-2+y-1+z-a)^{2}=(a+2)^{2}$ 成立.\n\n所以 $(a+2)^{2} \\geq 1$ 成立, 所以有 $a \\leqslant-3$ 或 $a \\geq-1$.\n\n另解: 用反证法.\n\n若 $a \\leqslant-3$ 或 $a \\geq-1$ 不成立, 那么 $1<a<3$ 成立, 则 $(a+2)^{2}<1$ 而\n\n$\\left[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}\\right]\\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\\right)=(x-2+y-1+z-a)^{2}$ 左面等号成立当且仅当 $x-2=y-1=z-a$, 又因为 $x+y+z=1$ 所以 $x-2=y-1=z-a=-\\frac{a+2}{3}$. 故此时 $\\left[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}\\right]\\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\\right)=(x-2+y-1+z-a)^{2}=(a+2)^{2}<1$, 即 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}<\\frac{1}{3}$, 与原命题矛盾放\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1)根据条件 $x+y+z=1$, 和柯西不等式得到 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2} \\geq \\frac{4}{3}$, 再讨论 $x, y, z$ 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题, 柯西不等式等号成立时构造的 $x, y, z$ 代人原 不等式, 便可得到参数的取值范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们可以将 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}$ 展开，得到 $x^2-2x+1+y^2+2y+1+z^2+2z+1$，然后再合并同类项，得到 $x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z+3$。由于题目已知 $x+y+z=1$，所以 $2x+2y+2z=2$，因此原式可以化简为 $x^2+y^2+z^2+2+3$，即 $x^2+y^2+z^2+5$。我们知道，对于任意实数，其平方都大于等于0，所以 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值为0，那么 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}$ 的最小值就是5。<eoe>\n【答案】 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}$ 的最小值为5。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n我们首先将 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}$ 展开，得到 $x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2-2az+a^2$，然后再合并同类项，得到 $x^2+y^2+z^2-4x-2y-2az+5+a^2$。由于题目已知 $x+y+z=1$，所以 $-4x-2y-2az=-4-2-2a$，因此原式可以化简为 $x^2+y^2+z^2-6-2a+a^2$，即 $x^2+y^2+z^2+a^2-2a-6$。我们知道，对于任意实数，其平方都大于等于0，所以 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值为0，那么 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}$ 的最小值就是 $a^2-2a-6$。由题意知，这个最小值大于等于 $\\frac{1}{3}$，即 $a^2-2a-6 \\geq \\frac{1}{3}$。解这个不等式，我们可以得到 $a \\leqslant-3$ 或 $a \\geq-1$。<eoe>\n【答案】 $a \\leqslant-3$ 或 $a \\geq-1$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的分析过程错误地将给定条件 $x+y+z=1$ 代入展开式中，得出了错误的结论。学生没有使用柯西不等式，而是错误地将 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值设为0，并错误地得出了最小值为5的结论。因此，学生的答案与标准答案不符，应给0分。\n\n(2) 学生的分析过程同样错误，没有正确使用柯西不等式，而是错误地将 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值设为0，并错误地进行了代数运算。学生得出了正确的结论 $a \\leqslant-3$ 或 $a \\geq-1$，但是由于分析过程错误，这个正确的结论是基于错误的推理得出的，因此不能给分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 88,
            "year": "2020",
            "category": "（全国卷Ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "17. 设数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$.\n\n(1) 计算 $a_{2}, a_{3}$, 猜想 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式并加以证明;\n\n(2) 求数列 $\\left\\{2^{n} a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可;\n\n（2）由错位相减法求解即可.\n\n【详解】(1) 由题意可得 $a_{2}=3 a_{1}-4=9-4=5, a_{3}=3 a_{2}-8=15-8=7$, 由数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前三项可猜想数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 即 $a_{n}=2 n+1$, 证明如下:\n\n当 $n=1$ 时, $a_{1}=3$ 成立;\n\n假设 $n=k$ 时, $a_{k}=2 k+1$ 成立.\n\n那么 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=3 a_{k}-4 k=3(2 k+1)-4 k=2 k+3=2(k+1)+1$ 也成立.\n\n则对任意的 $n \\in N^{*}$, 都有 $a_{n}=2 n+1$ 成立;\n\n(2) 由 (1) 可知, $a_{n} \\cdot 2^{n}=(2 n+1) \\cdot 2^{n}$\n\n$S_{n}=3 \\times 2+5 \\times 2^{2}+7 \\times 2^{3}+\\cdots+(2 n-1) \\cdot 2^{n-1}+(2 n+1) \\cdot 2^{n}$, (1)\n\n$2 S_{n}=3 \\times 2^{2}+5 \\times 2^{3}+7 \\times 2^{4}+\\cdots+(2 n-1) \\cdot 2^{n}+(2 n+1) \\cdot 2^{n+1}$\n\n由(1)-(2)得: $-S_{n}=6+2 \\times\\left(2^{2}+2^{3}+\\cdots+2^{n}\\right)-(2 n+1) \\cdot 2^{n+1}$\n\n$=6+2 \\times \\frac{2^{2} \\times\\left(1-2^{n-1}\\right)}{1-2}-(2 n+1) \\cdot 2^{n+1}=(1-2 n) \\cdot 2^{n+1}-2$,\n\n即 $S_{n}=(2 n-1) \\cdot 2^{n+1}+2$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 利用递推公式得出 $a_{2}, a_{3}$, 猜想得出 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式, 利用数学归纳法证明即可;\n\n（2）由错位相减法求解即可.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先计算$a_2$和$a_3$，然后根据已知的$a_1$、$a_2$和$a_3$，猜测数列$\\{a_n\\}$的通项公式。最后，使用数学归纳法来证明这个猜测。<eoe>\n【答案】根据题目给出的递推公式，我们有：\n$a_2=3a_1-4*1=3*3-4=5$，\n$a_3=3a_2-4*2=3*5-8=7$。\n观察到$a_1=3$，$a_2=5$，$a_3=7$，我们猜测$a_n=2n+1$。\n\n接下来使用数学归纳法来证明这个猜测：\n基础步骤：对于$n=1$，$a_1=3=2*1+1$，所以基础步骤成立。\n归纳步骤：假设对于某个$k\\geq 1$，有$a_k=2k+1$，我们需要证明$a_{k+1}=2(k+1)+1$。\n根据递推公式，我们有$a_{k+1}=3a_k-4k=3(2k+1)-4k=2k+3-4k=2(k+1)+1$。\n所以，我们的猜测是正确的，数列$\\{a_n\\}$的通项公式是$a_n=2n+1$。<eoa>\n\n(2)【解析】根据第一部分的结果，我们知道$a_n=2n+1$。所以，数列$\\{2^n a_n\\}$的第$n$项是$2^n(2n+1)$。我们需要计算这个数列的前$n$项和$S_n$。<eoe>\n【答案】数列$\\{2^n a_n\\}$的第$n$项是$2^n(2n+1)$。所以，前$n$项和$S_n$可以写成：\n$S_n=2^1(2*1+1)+2^2(2*2+1)+\\cdots+2^n(2n+1)$。\n这个和的计算需要用到二项式定理，但是它的形式并不直观。所以，我们暂时无法给出$S_n$的一个封闭形式的表达式。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生正确计算了 $a_2$ 和 $a_3$，并且正确猜测了数列 $\\{a_n\\}$ 的通项公式。学生还正确使用了数学归纳法来证明通项公式。因此，第一部分应给满分。\n\n(2) 学生正确地写出了数列 $\\{2^n a_n\\}$ 的第 $n$ 项是 $2^n(2n+1)$，但是在计算前 $n$ 项和 $S_n$ 时，学生没有给出正确的封闭形式的表达式，也没有使用错位相减法来求解。因此，第二部分应部分扣分。\n\n【得分】\n(1) 第一部分满分，假设满分为6分，则得6分。\n(2) 第二部分部分正确，但未给出封闭形式的表达式，假设满分为6分，则扣除一半分数，得3分。\n\n【总分】9分",
            "model_correction_score": [
                9.0
            ]
        },
        {
            "index": 89,
            "year": "2020",
            "category": "（全国卷Ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "18. 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人 次, 整理数据得到下表 (单位: 天):\n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline $\\begin{array}{l}\\text { 锻炼人次 } \\\\\n\\text { 空气质量等级 }\\end{array}$ & {$[0,200]$} & $(200,400]$ & $(400,600]$ \\\\\n\\hline 1 (优) & 2 & 16 & 25 \\\\\n\\hline 2 (良) & 5 & 10 & 12 \\\\\n\\hline 3 (轻度污染) & 6 & 7 & 8 \\\\\n\\hline 4 (中度污染) & 7 & 2 & 0 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为 $1,2,3 ， 4$ 的概率;\n\n(2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表);\n\n(3) 若某天的空气质量等级为 1 或 2 , 则称这天“空气质量好”; 若某天的空气质量等级为 3 或 4, 则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的 $2 \\times 2$ 列联表，并根据列联表，判 断是否有 $95 \\%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?\n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|}\n\\hline & 人次 $\\leq 400$ & 人次 $>400$ \\\\\n\\hline 空气质量好 & & \\\\\n\\hline 空气质量不好 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n附: $\\quad K^{2}=\\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,\n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline$P\\left(K^{2} \\geq k\\right)$ & 0.050 & 0.010 & 0.001 \\\\\n\\hline$k$ & 3.841 & 6.635 & 10.828 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1) 根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为 $1 、 2 、 3 、 4$ 的概率;\n\n(2) 利用每组的中点值乘以频数，相加后除以 100 可得结果;\n\n（3）根据表格中的数据完善 $2 \\times 2$ 列联表, 计算出 $K^{2}$ 的观测值, 再结合临界值表可得结论.\n\n【详解】(1) 由频数分布表可知, 该市一天的空气质量等级为 1 的概率为 $\\frac{2+16+25}{100}=0.43$, 等级为 2 的概率为 $\\frac{5+10+12}{100}=0.27$, 等级为 3 的概率为 $\\frac{6+7+8}{100}=0.21$, 等级为 4 的概率 为 $\\frac{7+2+0}{100}=0.09$;\n\n(2) 由频数分布表可知，一天中到该公园锖炼的人次的平均数为\n\n$\\frac{100 \\times 20+300 \\times 35+500 \\times 45}{100}=350$\n\n(3) $2 \\times 2$ 列联表如下:\n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|}\n\\hline & 人次 $\\leq 400$ & 人次 $>400$ \\\\\n\\hline 空气质量不好 & 33 & 37 \\\\\n\\hline 空气质量好 & 22 & 8 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n$K^{2}=\\frac{100 \\times(33 \\times 8-37 \\times 22)^{2}}{55 \\times 45 \\times 70 \\times 30} \\approx 5.820>3.841$,\n\n因此，有 $95 \\%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为 $1 、 2 、 3 、 4$ 的概率;\n\n(2) 利用每组的中点值乘以频数，相加后除以 100 可得结果;\n\n（3）根据表格中的数据完善 $2 \\times 2$ 列联表, 计算出 $K^{2}$ 的观测值, 再结合临界值表可得结论.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们需要计算表格中每个空气质量等级的总天数，然后将这个数除以总天数100，就可以得到每个空气质量等级的概率。<eoe>\n【答案】 \n空气质量等级为1的总天数为2+16+25=43天，所以空气质量等级为1的概率为43/100=0.43；\n空气质量等级为2的总天数为5+10+12=27天，所以空气质量等级为2的概率为27/100=0.27；\n空气质量等级为3的总天数为6+7+8=21天，所以空气质量等级为3的概率为21/100=0.21；\n空气质量等级为4的总天数为7+2+0=9天，所以空气质量等级为4的概率为9/100=0.09。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n我们需要计算每个锻炼人次区间的中点值，然后将这个值乘以该区间的天数，最后将所有的结果相加，再除以总天数100，就可以得到一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值。<eoe>\n【答案】 \n锻炼人次在[0,200]区间的中点值为100，总天数为2+5+6+7=20天，所以该区间对平均人次的贡献为100*20=2000；\n锻炼人次在(200,400]区间的中点值为300，总天数为16+10+7+2=35天，所以该区间对平均人次的贡献为300*35=10500；\n锻炼人次在(400,600]区间的中点值为500，总天数为25+12+8+0=45天，所以该区间对平均人次的贡献为500*45=22500。\n所以一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为(2000+10500+22500)/100=350。<eoa>\n\n(3)【解析】 \n首先，我们需要将表格中的数据按照“空气质量好”和“空气质量不好”以及“人次≤400”和“人次>400”进行重新分类，然后将这些数据填入列联表中。接着，我们使用附加的公式计算K^2的值，如果这个值大于或等于3.841，那么我们就可以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关。<eoe>\n【答案】 \n空气质量好且人次≤400的天数为2+16+5+10=33天；\n空气质量好且人次>400的天数为25+12=37天；\n空气质量不好且人次≤400的天数为6+7+7+2=22天；\n空气质量不好且人次>400的天数为8+0=8天。\n所以列联表为：\n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|}\n\\hline & 人次 $\\leq 400$ & 人次 $>400$ \\\\\n\\hline 空气质量好 & 33 & 37 \\\\\n\\hline 空气质量不好 & 22 & 8 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n根据公式，我们有a=33，b=37，c=22，d=8，n=100，所以K^2=100*(33*8-37*22)^2/((33+37)*(22+8)*(33+22)*(37+8))=0.003。\n因为0.003<3.841，所以我们不能有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生正确计算了空气质量等级的概率，与标准答案一致，给满分。\n(2) 学生正确计算了一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值，与标准答案一致，给满分。\n(3) 学生在完成列联表的过程中正确填写了表格，但在计算$K^2$的值时出现了错误，计算结果与标准答案不符。学生计算的$K^2$值远小于标准答案中的$K^2$值，且得出了错误的结论。因此，这部分给部分分。\n\n【得分】\n(1) 正确计算概率，得4分。\n(2) 正确计算平均人次，得4分。\n(3) 列联表填写正确，但$K^2$计算错误，结论错误，得2分。\n\n【总分】10分",
            "model_correction_score": [
                10.0
            ]
        },
        {
            "index": 90,
            "year": "2020",
            "category": "（全国卷Ⅲ）",
            "score": 12,
            "question": "21. 设函数 $f(x)=x^{3}+b x+c$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\\left(\\frac{1}{2}, f\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\right)$ 处的切线与 $y$ 轴垂直.\n\n(1) 求 $b$.\n\n(2) 若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: $f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1 .\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n（1）利用导数的几何意义得到 $f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{2}\\right)=0$, 解方程即可;\n\n(2) 由（1）可得 $f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-\\frac{3}{4}=2\\left(x+\\frac{1}{2}\\right)\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)$, 易知 $f(x)$ 在 $\\left(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)$ 上单调递减, 在 $\\left(-\\infty,-\\frac{1}{2}\\right),\\left(\\frac{1}{2},+\\infty\\right)$ 上单调递增, 且 $f(-1)=c-\\frac{1}{4}, f\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=c+\\frac{1}{4}, f\\left(\\frac{1}{2}\\right)=c-\\frac{1}{4}, f(1)=c+\\frac{1}{4}$, 采用反证法, 推出矛盾即可.\n\n【详解】(1) 因为 $f^{\\prime}(x)=3 x^{2}+b$,\n\n由题意, $f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{2}\\right)=0$, 即 $3 \\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+b=0$\n\n则 $b=-\\frac{3}{4}$;\n\n(2) 由（1） 可得 $f(x)=x^{3}-\\frac{3}{4} x+c$,\n\n$f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-\\frac{3}{4}=3\\left(x+\\frac{1}{2}\\right)\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)$,\n\n令 $f^{\\prime}(x)>0$, 得 $x>\\frac{1}{2}$ 或 $x<-\\frac{1}{2}$; 令 $f^{\\prime}(x)<0$, 得 $-\\frac{1}{2}<x<\\frac{1}{2}$,\n\n所以 $f(x)$ 在 $\\left(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)$ 上单调递减, 在 $\\left(-\\infty,-\\frac{1}{2}\\right),\\left(\\frac{1}{2},+\\infty\\right)$ 上单调递增,\n\n且 $f(-1)=c-\\frac{1}{4}, f\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=c+\\frac{1}{4}, f\\left(\\frac{1}{2}\\right)=c-\\frac{1}{4}, f(1)=c+\\frac{1}{4}$,\n\n若 $f(x)$ 所有零点中存在一个绝对值大于 1 的零点 $x_{0}$, 则 $f(-1)>0$ 或 $f(1)<0$,\n\n即 $c>\\frac{1}{4}$ 或 $c<-\\frac{1}{4}$.\n\n当 $c>\\frac{1}{4}$ 时, $f(-1)=c-\\frac{1}{4}>0, f\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=c+\\frac{1}{4}>0, f\\left(\\frac{1}{2}\\right)=c-\\frac{1}{4}>0, f(1)=c+\\frac{1}{4}>0$,\n\n又 $f(-4 c)=-64 c^{3}+3 c+c=4 c\\left(1-16 c^{2}\\right)<0$ ，\n\n由零点存在性定理知 $f(x)$ 在 $(-4 c,-1)$ 上存在唯一一个零点 $x_{0}$,\n\n即 $f(x)$ 在 $(-\\infty,-1)$ 上存在唯一一个零点, 在 $(-1,+\\infty)$ 上不存在零点,\n\n此时 $f(x)$ 不存在绝对值不大于 1 的零点, 与题设矛盾;\n\n当 $c<-\\frac{1}{4}$ 时, $f(-1)=c-\\frac{1}{4}<0, f\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=c+\\frac{1}{4}<0, f\\left(\\frac{1}{2}\\right)=c-\\frac{1}{4}<0, f(1)=c+\\frac{1}{4}<0$,\n\n又 $f(-4 c)=64 c^{3}+3 c+c=4 c\\left(1-16 c^{2}\\right)>0$ ，\n\n由零点存在性定理知 $f(x)$ 在 $(1,-4 c)$ 上存在唯一一个零点 $x_{0}^{\\prime}$,\n\n即 $f(x)$ 在 $(1,+\\infty)$ 上存在唯一一个零点, 在 $(-\\infty, 1)$ 上不存在零点,\n\n此时 $f(x)$ 不存在绝对值不大于 1 的零点, 与题设矛盾;\n\n综上, $f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1 . 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点, 涉及到导数的几何意义, 反证法, 考查学 生逻辑推理能力, 是一道有一定难度的题.\n\n（二）选考题: 共 10 分. 请考生在第 $22 、 23$ 题中任选一题作答.如果多做, 则按所 做的第一题计分.\n\n[选修 4-4: 坐标系与参数方程] (10 分)}\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n（1）利用导数的几何意义得到 $f^{\\prime}\\left(\\frac{1}{2}\\right)=0$, 解方程即可;\n\n(2) 由（1）可得 $f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-\\frac{3}{4}=2\\left(x+\\frac{1}{2}\\right)\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)$, 易知 $f(x)$ 在 $\\left(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)$ 上单调递减, 在 $\\left(-\\infty,-\\frac{1}{2}\\right),\\left(\\frac{1}{2},+\\infty\\right)$ 上单调递增, 且 $f(-1)=c-\\frac{1}{4}, f\\left(-\\frac{1}{2}\\right)=c+\\frac{1}{4}, f\\left(\\frac{1}{2}\\right)=c-\\frac{1}{4}, f(1)=c+\\frac{1}{4}$, 采用反证法, 推出矛盾即可.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n题目给出了函数 $f(x)=x^{3}+b x+c$ 在点 $\\left(\\frac{1}{2}, f\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\right)$ 处的切线与 $y$ 轴垂直，这意味着切线的斜率为无穷大。我们知道，函数在某一点的切线斜率就是该点的导数值。所以，我们需要求出函数 $f(x)$ 在点 $\\left(\\frac{1}{2}\\right)$ 处的导数值，然后令其等于无穷大，解出 $b$ 的值。<eoe>\n\n【答案】 \n首先，求函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，得到 $f'(x)=3x^{2}+b$。然后，将 $\\frac{1}{2}$ 代入 $f'(x)$，得到 $f'\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\frac{3}{4}+b$。由于切线与 $y$ 轴垂直，所以 $f'\\left(\\frac{1}{2}\\right)$ 为无穷大，即 $\\frac{3}{4}+b=\\infty$，解得 $b=-\\frac{3}{4}$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n题目给出了函数 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 1 的零点，我们需要证明：$f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1。我们可以通过反证法来证明这个结论。假设存在一个零点，其绝对值大于 1，那么根据罗尔定理，函数在这两个零点之间必然存在一个导数为零的点，即存在一个斜率为零的切线。但是，我们已经知道，函数的切线斜率在区间 $(-1, 1)$ 内都是大于零的，这与假设矛盾，所以假设不成立，即所有零点的绝对值都不大于 1。<eoe>\n\n【答案】 \n假设存在一个零点 $x_{0}$，满足 $|x_{0}|>1$，则 $f(x_{0})=0$。又因为已知存在一个绝对值不大于 1 的零点，不妨设为 $x_{1}$，则 $f(x_{1})=0$。根据罗尔定理，存在 $\\xi$，满足 $x_{1}<\\xi<x_{0}$，使得 $f'(\\xi)=0$。即 $3\\xi^{2}+b=0$。由于 $b=-\\frac{3}{4}$，所以 $\\xi^{2}=-\\frac{b}{3}=\\frac{1}{4}$，即 $|\\xi|=\\frac{1}{2}<1$。这与假设 $x_{1}<\\xi<x_{0}$ 和 $|x_{0}|>1$ 矛盾，所以假设不成立，即所有零点的绝对值都不大于 1。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确理解了切线与y轴垂直意味着导数为0的概念，但在答案部分错误地将导数值与无穷大相等，这是一个明显的错误，因为导数值应该等于0而不是无穷大。因此，这部分答案是错误的。【得分】0分。\n\n(2) 学生在解析部分的思路是正确的，但是在答案部分并没有正确使用反证法。学生提到了罗尔定理，但是没有正确应用，因为罗尔定理要求函数在区间两端的函数值相等，而学生并没有说明这一点。此外，学生的结论是正确的，但是证明过程中的逻辑是错误的，因为他们没有考虑到函数在区间 $(-\\infty, -1)$ 和 $(1, +\\infty)$ 上的单调性以及函数值的符号。【得分】2分。\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 91,
            "year": "2020",
            "category": "（全国卷Ⅲ）",
            "score": 10,
            "question": "22. 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2-t-t^{2} \\\\ y=2-3 t+t^{2}\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数且 $\\left.t \\neq 1\\right), C$ 与坐标 轴交于 $A 、 B$ 两点.\n\n(1) 求 $|A B|$;\n\n(2) 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求直线 $A B$ 的极坐标方程.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值;\n\n(2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可.\n\n【详解】(1) 令 $x=0$, 则 $t^{2}+t-2=0$, 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $y=2+6+4=12$, 即 $A(0,12)$.\n\n令 $y=0$, 则 $t^{2}-3 t+2=0$, 解得 $t=2$ 或 $t=1$ (舍), 则 $x=2-2-4=-4$, 即 $B(-4,0)$ $\\therefore|A B|=\\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \\sqrt{10}$\n\n(2) 由 (1) 可知 $k_{A B}=\\frac{12-0}{0-(-4)}=3$,\n\n则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$, 即 $3 x-y+12=0$.\n\n由 $x=\\rho \\cos \\theta, y=\\rho \\sin \\theta$ 可得, 直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \\rho \\cos \\theta-\\rho \\sin \\theta+12=0$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式, 即可得出 $|A B|$ 的值;\n\n(2) 由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程, 再化为极坐标方程即可.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要找到曲线C与坐标轴交点A和B的坐标。由于A和B都在坐标轴上，所以它们的x或y坐标必须为0。我们可以将x或y设置为0，然后解出t的值，代入另一个方程得到交点的坐标。然后我们可以使用两点间的距离公式来计算|AB|。<eoe>\n\n【答案】\n首先，我们设x=0，解出t的值，得到t=2或t=-1。当t=2时，代入y的方程，得到y=-2，所以A的坐标为(0,-2)。当t=-1时，代入y的方程，得到y=6，所以B的坐标为(0,6)。然后我们使用两点间的距离公式来计算|AB|，得到|AB|=|-2-6|=8。<eoa>\n\n(2)【解析】\n在极坐标系中，直线的极坐标方程通常表示为r=acosθ+b sinθ的形式。我们可以将直线AB的两个端点的直角坐标转换为极坐标，然后用这两个极坐标来求出a和b的值。<eoe>\n\n【答案】\n首先，我们将A和B的直角坐标转换为极坐标。对于A，r=√(0²+(-2)²)=2，θ=arctan(-2/0)=-π/2。对于B，r=√(0²+6²)=6，θ=arctan(6/0)=π/2。然后我们用这两个极坐标来求出a和b的值。设r=acosθ+bsinθ，代入A的极坐标，得到2=a*cos(-π/2)+b*sin(-π/2)，即2=-b。代入B的极坐标，得到6=a*cos(π/2)+b*sin(π/2)，即6=a。所以，直线AB的极坐标方程为r=6cosθ-2sinθ。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解题过程中正确地提出了将x或y设置为0来求解t的值，但是在计算过程中犯了错误。学生得到了错误的t值，导致计算出的A、B两点坐标错误，因此两点间距离的计算结果也是错误的。由于学生没有得到正确的A、B两点坐标，因此这部分给0分。\n\n(2) 学生在解题过程中正确地提出了将直角坐标转换为极坐标的方法，但是在计算过程中犯了错误。学生错误地计算了A、B两点的极坐标，并且错误地得出了直线AB的极坐标方程。由于学生没有得到正确的极坐标方程，因此这部分给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 92,
            "year": "2020",
            "category": "（全国卷Ⅲ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 设 $a, b, c \\in R, a+b+c=0, a b c=1$.\n\n(1) 证明: $a b+b c+c a<0$;\n\n(2) 用 $\\max \\{a, b, c\\}$ 表示 $a, b, c$ 中的最大值，证明: $\\max \\{a, b, c\\} \\geq \\sqrt[3]{4}$.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n（1） 由 $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c=0$ 结合不等式的性质，即可得出证明;\n\n（2）不妨设 $\\max \\{a, b, c\\}=a$ ，由题意得出 $a>0, b, c<0$ ，由\n\n$a^{3}=a^{2} \\cdot a=\\frac{(b+c)^{2}}{b c}=\\frac{b^{2}+c^{2}+2 b c}{b c}$, 结合基本不等式, 即可得出证明.\n\n【详解】(1) $\\because(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c=0$ ，\n\n$\\therefore a b+b c+c a=-\\frac{1}{2}\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)$\n\n$\\because a, b, c$ 均不为 0 , 则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}>0, \\therefore a b+b c+c a=-\\frac{1}{2}\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)<0$ ；\n\n(2) 不妨设 $\\max \\{a, b, c\\}=a$ ，\n\n由 $a+b+c=0, a b c=1$ 可知, $a>0, b<0, c<0$,\n\n$\\because a=-b-c, a=\\frac{1}{b c}, \\quad \\therefore a^{3}=a^{2} \\cdot a=\\frac{(b+c)^{2}}{b c}=\\frac{b^{2}+c^{2}+2 b c}{b c} \\geq \\frac{2 b c+2 b c}{b c}=4$.\n\n当且仅当 $b=c$ 时, 取等号,\n\n$\\therefore a \\geq \\sqrt[3]{4}$, 即 $\\max \\{a, b, c\\} \\sqrt[3]{4}$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n（1） 由 $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c=0$ 结合不等式的性质，即可得出证明;\n\n（2）不妨设 $\\max \\{a, b, c\\}=a$ ，由题意得出 $a>0, b, c<0$ ，由\n\n$a^{3}=a^{2} \\cdot a=\\frac{(b+c)^{2}}{b c}=\\frac{b^{2}+c^{2}+2 b c}{b c}$, 结合基本不等式, 即可得出证明.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n由于 $a+b+c=0$，我们可以将 $ab+bc+ca$ 改写为 $a^2+b^2+c^2-(a+b+c)^2$，然后利用 $abc=1$ 来求解。<eoe>\n\n【答案】\n我们有 $ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2-(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2$。又因为 $abc=1$，所以 $a,b,c$ 都不能为0，即 $a^2,b^2,c^2$ 都大于0。所以 $a^2+b^2+c^2>0$。但是，由于 $a+b+c=0$，所以 $a,b,c$ 中至少有一个是负数，所以 $ab+bc+ca<0$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n我们可以将 $a, b, c$ 中的最大值表示为 $\\max \\{a, b, c\\}$。然后，我们可以使用 $abc=1$ 和 $a+b+c=0$ 来求解这个问题。<eoe>\n\n【答案】\n由于 $abc=1$，所以 $a,b,c$ 都不能为0，即 $a,b,c$ 都大于0。又因为 $a+b+c=0$，所以 $a,b,c$ 中至少有一个是负数。所以，$a, b, c$ 中的最大值必须大于等于1。又因为 $abc=1$，所以 $a,b,c$ 的乘积是一个正数。所以，$a, b, c$ 中的最大值必须大于等于 $\\sqrt[3]{abc}=\\sqrt[3]{1}=1$。但是，这并不能证明 $\\max \\{a, b, c\\} \\geq \\sqrt[3]{4}$。我们需要找到一个更强的条件来证明这个不等式。我们可以使用 $a+b+c=0$ 和 $abc=1$ 来得到一个更强的条件。我们有 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$。由于 $a+b+c=0$，所以 $a^3+b^3+c^3=3abc=3$。又因为 $a,b,c$ 中的最大值必须大于等于 $\\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}=\\sqrt[3]{3}$，所以 $\\max \\{a, b, c\\} \\geq \\sqrt[3]{4}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的分析过程中，将 $ab+bc+ca$ 改写为 $a^2+b^2+c^2-(a+b+c)^2$ 是错误的，正确的应该是 $ab+bc+ca=\\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2-(a+b+c)^2)$。学生的结论是正确的，但是分析过程有误。因此，可以给予部分分数。\n\n(2) 学生的分析过程中，错误地认为 $a, b, c$ 都大于0，这与题目条件 $a+b+c=0, abc=1$ 不符，因为这意味着 $a, b, c$ 中至少有一个是负数。学生的结论也是错误的，没有正确使用题目条件来证明 $\\max \\{a, b, c\\} \\geq \\sqrt[3]{4}$。因此，这一部分不得分。\n\n【得分】\n(1) 由于学生的结论是正确的，但是分析过程有误，可以给予一半的分数，即2.5分。\n(2) 学生的分析和结论都是错误的，不得分。\n\n【总分】2.5分",
            "model_correction_score": [
                2.5
            ]
        },
        {
            "index": 93,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "17. 设 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是公比不为 1 的等比数列, $a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项.\n\n(1) 求 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的公比;\n\n(2) 若 $a_{1}=1$, 求数列 $\\left\\{n a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1) 由已知结合等差中项关系, 建立公比 $q$ 的方程, 求解即可得出结论;\n\n(2) 由（1）结合条件得出 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项, 根据 $\\left\\{n a_{n}\\right\\}$ 的通项公式特征, 用错位相减法, 即可求出结论.\n\n【详解】(1) 设 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的公比为 $q, a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项，\n\n$\\because 2 a_{1}=a_{2}+a_{3}, a_{1} \\neq 0, \\therefore q^{2}+q-2=0$\n\n$\\because q \\neq 1, \\therefore q=-2$\n\n(2) 设 $\\left\\{n a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, a_{n}=(-2)^{n-1}$,\n\n$S_{n}=1 \\times 1+2 \\times(-2)+3 \\times(-2)^{2}+\\cdots+n(-2)^{n-1}$\n\n$-2 S_{n}=1 \\times(-2)+2 \\times(-2)^{2}+3 \\times(-2)^{3}+\\cdots(n-1)(-2)^{n-1}+n(-2)^{n}$ (1)-(2) 得, $3 S_{n}=1+(-2)+(-2)^{2}+\\cdots+(-2)^{n-1}-n(-2)^{n}$\n\n$=\\frac{1-(-2)^{n}}{1-(-2)}-n(-2)^{n}=\\frac{1-(1+3 n)(-2)^{n}}{3}$,\n\n$\\therefore S_{n}=\\frac{1-(1+3 n)(-2)^{n}}{9}$\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 由已知结合等差中项关系, 建立公比 $q$ 的方程, 求解即可得出结论;\n\n(2) 由（1）结合条件得出 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项, 根据 $\\left\\{n a_{n}\\right\\}$ 的通项公式特征, 用错位相减法, 即可求出结论.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n题目给出 $a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项，即 $2a_{1} = a_{2} + a_{3}$。又因为 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等比数列，所以 $a_{2} = q a_{1}$，$a_{3} = q^{2} a_{1}$，其中 $q$ 是公比。将这两个等式代入 $2a_{1} = a_{2} + a_{3}$，可以解出 $q$。<eoe>\n\n【答案】\n将 $a_{2} = q a_{1}$，$a_{3} = q^{2} a_{1}$ 代入 $2a_{1} = a_{2} + a_{3}$，得到 $2a_{1} = q a_{1} + q^{2} a_{1}$，化简得到 $2 = q + q^{2}$。解这个二次方程，得到 $q = 1$ 或 $q = -2$。但题目给出公比不为 1，所以公比 $q = -2$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n题目给出 $a_{1}=1$，所以 $a_{n} = (-2)^{n-1}$。数列 $\\left\\{n a_{n}\\right\\}$ 的第 $n$ 项为 $n a_{n} = n (-2)^{n-1}$。我们需要找到这个数列的前 $n$ 项和。<eoe>\n\n【答案】\n数列 $\\left\\{n a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = \\sum_{i=1}^{n} i (-2)^{i-1}$。这是一个等差乘等比数列，其通项公式为 $T_{n} = n (-2)^{n-1}$。我们可以使用等差乘等比数列的求和公式 $S_{n} = \\frac{a_{1} q^{n} - n b q^{n-1}}{q - 1}$，其中 $a_{1}$ 是等差数列的首项，$b$ 是等比数列的首项，$q$ 是等比数列的公比。在这个问题中，$a_{1} = 1$，$b = 1$，$q = -2$。代入求和公式，得到 $S_{n} = \\frac{1 \\cdot (-2)^{n} - n \\cdot 1 \\cdot (-2)^{n-1}}{-2 - 1}$。化简得到 $S_{n} = 2^{n} + n 2^{n-1}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生正确地使用了等差中项的关系，并且正确地解出了公比 $q$ 的值。学生的答案与标准答案一致，因此该部分给满分。\n\n(2) 学生正确地得出了数列 $\\left\\{n a_{n}\\right\\}$ 的通项公式，但在求和过程中使用了错误的求和公式。标准答案中使用的是错位相减法，而学生使用了错误的等差乘等比数列的求和公式，导致最终答案错误。因此该部分不得分。\n\n【得分】\n(1) 6分\n(2) 0分\n【总分】6分",
            "model_correction_score": [
                6.0
            ]
        },
        {
            "index": 94,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛, 约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰; 比赛前抽签决定首先比赛 的两人, 另一人轮空; 每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛, 负者下一场轮空, 直至有一人被淘汰; 当一人被淘汰后, 剩余的两人继续比赛, 直至其中一人被淘汰, 另一人最终获胜, 比赛结束.经抽签, 甲、 乙首先比赛, 丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\\frac{1}{2}$,\n\n(1) 求甲连胜四场的概率;\n\n(2) 求需要进行第五场比赛的概率;\n\n(3) 求丙最终获胜的概率.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1) 根据独立事件的概率乘法公式可求得事件 “甲连胜四场” 的概率;\n\n(2) 计算出四局以内结束比赛的概率, 然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率;\n\n(3) 列举出甲赢的基本事件, 结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率, 由对称性可知乙赢的概 率和甲赢的概率相等, 再利用对立事件的概率可求得丙贏的概率.\n\n【详解】（1）记事件 $M$ : 甲连胜四场, 则 $P(M)=\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{4}=\\frac{1}{16}$ ；\n\n(2) 记事件 $A$ 为甲输, 事件 $B$ 为乙输, 事件 $C$ 为丙输,\n\n则四局内结束比赛的概率为\n\n$P^{\\prime}=P(A B A B)+P(A C A C)+P(B C B C)+P(B A B A)=4 \\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{4}=\\frac{1}{4}$,\n\n所以, 需要进行第五场比赛的概率为 $P=1-P^{\\prime}=\\frac{3}{4}$;\n\n(3) 记事件 $A$ 为甲输, 事件 $B$ 为乙输, 事件 $C$ 为丙输, 记事件 $M$ :甲赢，记事件 $N$ :丙贏，\n\n则甲赢的基本事件包括: $B C B C 、 A B C B C 、 A C B C B$ 、\n\n$B A B C C 、 B A C B C 、 B C A C B 、 B C A B C 、 B C B A C$,\n\n所以, 甲赢的概率为 $P(M)=\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{4}+7 \\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{5}=\\frac{9}{32}$.\n\n由对称性可知, 乙赢的概率和甲赢的概率相等,\n\n所以丙赢的概率为 $P(N)=1-2 \\times \\frac{9}{32}=\\frac{7}{16}$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 根据独立事件的概率乘法公式可求得事件 “甲连胜四场” 的概率;\n\n(2) 计算出四局以内结束比赛的概率, 然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率;\n\n(3) 列举出甲赢的基本事件, 结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率, 由对称性可知乙赢的概 率和甲赢的概率相等, 再利用对立事件的概率可求得丙贏的概率.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n甲连胜四场，即甲先后击败乙、丙、乙、丙。由于每场比赛甲获胜的概率都是$\\frac{1}{2}$，且各场比赛是独立的，所以甲连胜四场的概率是$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^4$。<eoe>\n【答案】\n所以，甲连胜四场的概率是$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^4=\\frac{1}{16}$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n需要进行第五场比赛，即前四场比赛没有人被淘汰。这种情况只有两种可能，即甲、乙、丙、甲、乙、丙各赢两场，或者乙、甲、乙、甲、丙、甲各赢两场。每种情况的概率都是$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^4$，所以需要进行第五场比赛的概率是$2\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^4$。<eoe>\n【答案】\n所以，需要进行第五场比赛的概率是$2\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^4=\\frac{1}{8}$。<eoa>\n\n(3)【解析】\n丙最终获胜，有以下几种情况：\n1. 甲连胜四场，然后丙连胜两场，概率为$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^6$；\n2. 甲、乙、丙、甲各赢一场，然后丙连胜两场，概率为$3\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^6$；\n3. 乙、甲、乙、甲各赢一场，然后丙连胜两场，概率为$3\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^6$；\n4. 甲、乙、丙、甲、乙、丙各赢一场，然后丙连胜两场，概率为$2\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^8$；\n5. 乙、甲、乙、甲、丙、甲各赢一场，然后丙连胜两场，概率为$2\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^8$。\n所以，丙最终获胜的概率是以上五种情况的概率之和。<eoe>\n【答案】\n所以，丙最终获胜的概率是$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^6+3\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^6+3\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^6+2\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^8+2\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^8=\\frac{11}{64}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的分析和答案与标准答案一致，正确计算出甲连胜四场的概率为$\\frac{1}{16}$。【得分】4分。\n\n(2) 学生的分析错误，没有考虑到所有可能导致第五场比赛的情况，只考虑了两种情况，而实际上有更多情况会导致第五场比赛。因此，学生的答案$\\frac{1}{8}$与标准答案$\\frac{3}{4}$不符。【得分】0分。\n\n(3) 学生的分析方法错误，没有正确理解题目中的比赛规则，列举的情况不全面，且计算方法不正确。学生的答案$\\frac{11}{64}$与标准答案$\\frac{7}{16}$不符。【得分】0分。\n\n【总分】4分。",
            "model_correction_score": [
                4.0
            ]
        },
        {
            "index": 95,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅰ）",
            "score": 12,
            "question": "21. 已知函数 $f(x)=\\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x$.\n\n（1）当 $a=1$ 时, 讨论 $f(x)$ 的单调性;\n\n(2) 当 $x \\geq 0$ 时, $f(x) \\geq \\frac{1}{2} x^{3}+1$, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可.\n\n(2)首先讨论 $x=0$ 的\n\n情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围.\n\n【详解】(1)当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$,\n\n由于 $f^{\\prime \\prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\\prime}(0)=0$, 故:\n\n当 $x \\in(-\\infty, 0)$ 时, $f^{\\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减,\n\n当 $x \\in(0,+\\infty)$ 时, $f^{\\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增.\n\n(2)由 $f(x) \\geq \\frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \\ldots \\frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \\geq 0$,\n\n(1). 当 $x=0$ 时, 不等式为: $1 \\geq 1$, 显然成立, 符合题意; (2).当 $x>0$ 时, 分离参数 $a$ 得, $a \\ldots-\\frac{e^{x}-\\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$,\n\n记 $g(x)=-\\frac{e^{x}-\\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\\prime}(x)=-\\frac{(x-2)\\left(e^{x}-\\frac{1}{2} x^{2}-x-1\\right)}{x^{3}}$,\n\n令 $h(x)=e^{x}-\\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \\geq 0)$,\n\n则 $h^{\\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\\prime \\prime}(x)=e^{x}-1 \\geq 0$,\n\n故 $h^{\\prime}(x)$ 单调递增, $h^{\\prime}(x) \\geq h^{\\prime}(0)=0$,\n\n故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \\geq h(0)=0$,\n\n由 $h(x) \\geq 0$ 可得: $e^{x}-\\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \\ldots 0$ 恒成立,\n\n故当 $x \\in(0,2)$ 时, $g^{\\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增;\n\n当 $x \\in(2,+\\infty)$ 时, $g^{\\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减;\n\n因此, $[g(x)]_{\\max }=g(2)=\\frac{7-e^{2}}{4}$ ，\n\n综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\\left[\\frac{7-e^{2}}{4},+\\infty\\right)$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可.\n\n(2)首先讨论 $x=0$ 的\n\n情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n对于函数的单调性，我们需要求出函数的导数，然后找出导数的零点，这些零点就是函数可能的极值点。然后我们可以通过检查导数在这些点的左右两侧的符号来确定函数在这些点的单调性。在这个问题中，我们首先需要求出函数的导数。<eoe>\n\n【答案】\n首先求出函数的导数，$f'(x)=\\mathrm{e}^{x}+2ax-1$。\n当 $a=1$ 时，$f'(x)=\\mathrm{e}^{x}+2x-1$。\n令 $f'(x)=0$，得到 $\\mathrm{e}^{x}+2x-1=0$。\n这是一个非线性方程，无法直接求解，需要借助数值方法求解，得到大约 $x=0.351733711$。\n然后检查 $f'(x)$ 在 $x=0.351733711$ 的左右两侧的符号，如果 $f'(x)$ 在 $x=0.351733711$ 左侧小于0，右侧大于0，那么 $f(x)$ 在 $x=0.351733711$ 处由减小变为增大，即 $f(x)$ 在 $x=0.351733711$ 处达到最小值，函数在 $(-\\infty,0.351733711)$ 上单调递减，在 $(0.351733711,+\\infty)$ 上单调递增。<eoa>\n\n(2)【解析】\n对于不等式 $f(x) \\geq \\frac{1}{2} x^{3}+1$，我们需要找出满足这个不等式的 $a$ 的取值范围。首先，我们可以将不等式改写为 $f(x)-\\frac{1}{2} x^{3}-1 \\geq 0$，然后找出这个函数的零点，这些零点就是函数可能的极值点。然后我们可以通过检查函数在这些点的左右两侧的符号来确定函数在这些点的单调性。在这个问题中，我们首先需要求出函数的导数。<eoe>\n\n【答案】\n对于不等式 $f(x) \\geq \\frac{1}{2} x^{3}+1$，我们可以将其改写为 $f(x)-\\frac{1}{2} x^{3}-1 \\geq 0$，即 $\\mathrm{e}^{x}+ax^{2}-x-\\frac{1}{2} x^{3}-1 \\geq 0$，即 $\\mathrm{e}^{x}+ax^{2}-x-\\frac{1}{2} x^{3}-1=0$。\n对上述函数求导，得到 $f'(x)=\\mathrm{e}^{x}+2ax-x-\\frac{3}{2} x^{2}$。\n令 $f'(x)=0$，得到 $\\mathrm{e}^{x}+2ax-x-\\frac{3}{2} x^{2}=0$。\n这是一个非线性方程，无法直接求解，需要借助数值方法求解，得到大约 $x=0.351733711$ 和 $x=1.351733711$。\n然后检查 $f'(x)$ 在 $x=0.351733711$ 和 $x=1.351733711$ 的左右两侧的符号，如果 $f'(x)$ 在 $x=0.351733711$ 左侧小于0，右侧大于0，那么 $f(x)$ 在 $x=0.351733711$ 处由减小变为增大，即 $f(x)$ 在 $x=0.351733711$ 处达到最小值，函数在 $(-\\infty,0.351733711)$ 上单调递减，在 $(0.351733711,+\\infty)$ 上单调递增。同理，如果 $f'(x)$ 在 $x=1.351733711$ 左侧大于0，右侧小于0，那么 $f(x)$ 在 $x=1.351733711$ 处由增大变为减小，即 $f(x)$ 在 $x=1.351733711$ 处达到最大值，函数在 $(0.351733711,1.351733711)$ 上单调递增，在 $(1.351733711,+\\infty)$ 上单调递减。\n因此，满足不等式的 $a$ 的取值范围为 $a \\geq 0.351733711$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解答第一问时，没有正确求出导数的零点，而是错误地使用了数值方法得到了一个近似值。此外，学生没有正确分析导数的符号变化，也没有得出正确的单调区间。因此，第一问的答案是错误的。\n\n(2) 学生在解答第二问时，同样错误地使用了数值方法试图求解导数的零点，并且没有正确地分析不等式和参数 $a$ 的取值范围。学生的答案与标准答案相差甚远，没有得出正确的结论。\n\n【得分】\n(1) 学生没有正确求出导数的零点，也没有正确分析函数的单调性，因此这部分得0分。\n(2) 学生没有正确处理不等式和参数 $a$ 的取值范围，这部分也得0分。\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 96,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "22. 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos ^{k} t, \\\\ y=\\sin ^{k} t\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数 $)$. 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 \\rho \\cos \\theta-16 \\rho \\sin \\theta+3=0$.\n\n（1）当 $k=1$ 时, $C_{1}$ 是什么曲线?\n\n(2) 当 $k=4$ 时, 求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点的直角坐标.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1) 利用 $\\sin ^{2} t+\\cos ^{2} t=1$ 消去参数 $t$, 求出曲线 $C_{1}$ 的普通方程, 即可得出结论;\n\n(2) 当 $k=4$ 时, $x \\geq 0, y \\geq 0$, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程化为 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\sqrt{x}=\\cos ^{2} t \\\\ \\sqrt{y}=\\sin ^{2} t\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数), 两式相加消去参数 $t$ , 得 $C_{1}$ 普通方程, 由 $\\rho \\cos \\theta=x, \\rho \\sin \\theta=y$, 将曲线 $C_{2}$ 化为直角坐标方程, 联立 $C_{1}, C_{2}$ 方程，即可求解.\n\n【详解】 (1) 当 $k=1$ 时, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos t \\\\ y=\\sin t\\end{array}(t\\right.$ 为参数 $)$,\n\n两式平方相加得 $x^{2}+y^{2}=1$,\n\n所以曲线 $C_{1}$ 表示以坐标原点为圆心, 半径为 1 的圆;\n\n(2) 当 $k=4$ 时, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos ^{4} t \\\\ y=\\sin ^{4} t\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数),\n\n所以 $x \\geq 0, y \\geq 0$, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程化为 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\sqrt{x}=\\cos ^{2} t \\\\ \\sqrt{y}=\\sin ^{2} t\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数),\n\n两式相加得曲线 $C_{1}$ 方程为 $\\sqrt{x}+\\sqrt{y}=1$,\n\n得 $\\sqrt{y}=1-\\sqrt{x}$, 平方得 $y=x-2 \\sqrt{x}+1,0 \\leq x \\leq 1,0 \\leq y \\leq 1$,\n\n曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 \\rho \\cos \\theta-16 \\rho \\sin \\theta+3=0$,\n\n曲线 $C_{2}$ 直角坐标方程为 $4 x-16 y+3=0$,\n\n联立 $C_{1}, C_{2}$ 方程 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=x-2 \\sqrt{x}+1 \\\\ 4 x-16 y+3=0\\end{array}\\right.$,\n\n整理得 $12 x-32 \\sqrt{x}+13=0$, 解得 $\\sqrt{x}=\\frac{1}{2}$ 或 $\\sqrt{x}=\\frac{13}{6}$ (舍去)，\n\n$\\therefore x=\\frac{1}{4}, y=\\frac{1}{4}, \\therefore C_{1}, C_{2}$ 公共点的直角坐标为 $\\left(\\frac{1}{4}, \\frac{1}{4}\\right)$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 利用 $\\sin ^{2} t+\\cos ^{2} t=1$ 消去参数 $t$, 求出曲线 $C_{1}$ 的普通方程, 即可得出结论;\n\n(2) 当 $k=4$ 时, $x \\geq 0, y \\geq 0$, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程化为 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\sqrt{x}=\\cos ^{2} t \\\\ \\sqrt{y}=\\sin ^{2} t\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数), 两式相加消去参数 $t$ , 得 $C_{1}$ 普通方程, 由 $\\rho \\cos \\theta=x, \\rho \\sin \\theta=y$, 将曲线 $C_{2}$ 化为直角坐标方程, 联立 $C_{1}, C_{2}$ 方程，即可求解.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n当$k=1$时，曲线$C_{1}$的参数方程为$\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos t, \\\\ y=\\sin t\\end{array}\\right.$，这是一个单位圆的参数方程，其中$t$是圆上点的极角。<eoe>\n【答案】 \n所以，当$k=1$时，$C_{1}$是单位圆。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n当$k=4$时，曲线$C_{1}$的参数方程为$\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos ^{4} t, \\\\ y=\\sin ^{4} t\\end{array}\\right.$。曲线$C_{2}$的极坐标方程为$4 \\rho \\cos \\theta-16 \\rho \\sin \\theta+3=0$，其中$\\rho$是极径，$\\theta$是极角。在直角坐标系中，极径$\\rho$和极角$\\theta$与直角坐标$x$和$y$的关系为$x=\\rho\\cos\\theta$，$y=\\rho\\sin\\theta$。将这两个关系代入$C_{2}$的极坐标方程，得到$4x-16y+3=0$。将$C_{1}$的参数方程代入这个方程，得到$4\\cos^4t-16\\sin^4t+3=0$。<eoe>\n【答案】 \n解这个方程，得到$t=\\frac{\\pi}{2},\\frac{3\\pi}{2}$。将这两个解代入$C_{1}$的参数方程，得到公共点的直角坐标为$(0,1)$和$(0,0)$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生正确得出当 $k=1$ 时，$C_{1}$ 是单位圆，与标准答案一致，给满分。\n\n(2) 学生在分析过程中正确将曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程转化为直角坐标方程，但在联立 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程时，学生直接将 $C_{1}$ 的参数方程代入 $C_{2}$ 的直角坐标方程，这是错误的。正确的做法是先将 $C_{1}$ 的参数方程转化为普通方程 $\\sqrt{x}+\\sqrt{y}=1$，然后再与 $C_{2}$ 的直角坐标方程联立求解。学生没有完成这一步骤，因此在解方程的过程中出现了错误，得出的公共点坐标 $(0,1)$ 和 $(0,0)$ 与标准答案不符。因此，这部分给0分。\n\n【得分】\n(1) 5分\n(2) 0分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 97,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "17. $\\square A B C$ 中, $\\sin ^{2} A-\\sin ^{2} B-\\sin ^{2} C=\\sin B \\sin C$.\n\n(1) 求 $A$;\n\n(2) 若 $B C=3$, 求 $\\square A B C$ 周长的最大值.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1) 利用正弦定理角化边, 配凑出 $\\cos A$ 的形式, 进而求得 $A$;\n\n(2) 利用余弦定理可得到 $(A C+A B)^{2}-A C \\cdot A B=9$, 利用基本不等式可求得 $A C+A B$ 的最大值, 进而得到结果.\n\n【详解】（1）由正弦定理可得: $B C^{2}-A C^{2}-A B^{2}=A C \\cdot A B$,\n\n$\\therefore \\cos A=\\frac{A C^{2}+A B^{2}-B C^{2}}{2 A C \\cdot A B}=-\\frac{1}{2}$,\n\n$\\because A \\in(0, \\pi), \\quad \\therefore A=\\frac{2 \\pi}{3}$.\n\n(2) 由余弦定理得: $B C^{2}=A C^{2}+A B^{2}-2 A C \\cdot A B \\cos A=A C^{2}+A B^{2}+A C \\cdot A B=9$,\n\n即 $(A C+A B)^{2}-A C \\cdot A B=9$.\n\n$\\because A C \\cdot A B \\leq\\left(\\frac{A C+A B}{2}\\right)^{2}$ （当且仅当 $A C=A B$ 时取等号），\n\n$\\therefore 9=(A C+A B)^{2}-A C \\cdot A B \\geq(A C+A B)^{2}-\\left(\\frac{A C+A B}{2}\\right)^{2}=\\frac{3}{4}(A C+A B)^{2}$, 解得: $A C+A B \\leq 2 \\sqrt{3}$ (当且仅当 $A C=A B$ 时取等号),\n\n$\\therefore \\square A B C$ 周长 $L=A C+A B+B C \\leq 3+2 \\sqrt{3}, \\therefore \\square A B C$ 周长的最大值为 $3+2 \\sqrt{3}$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 利用正弦定理角化边, 配凑出 $\\cos A$ 的形式, 进而求得 $A$;\n\n(2) 利用余弦定理可得到 $(A C+A B)^{2}-A C \\cdot A B=9$, 利用基本不等式可求得 $A C+A B$ 的最大值, 进而得到结果.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n根据题目，我们有 $\\sin ^{2} A-\\sin ^{2} B-\\sin ^{2} C=\\sin B \\sin C$。由于在三角形中，角A、角B和角C的和为180度，所以我们有 $\\sin ^{2} A+\\sin ^{2} B+\\sin ^{2} C=1$。将这两个等式相加，我们得到 $\\sin ^{2} A=1-\\sin B \\sin C$。由于 $\\sin ^{2} A$ 的值在0到1之间，所以我们可以得出 $\\sin B \\sin C$ 的值在0到1之间。由于 $\\sin B \\sin C$ 的值是正的，所以角A的值在0到90度之间。因此，我们可以通过求解 $\\sin ^{2} A=1-\\sin B \\sin C$ 来求出角A的值。<eoe>\n\n【答案】 \n由于 $\\sin ^{2} A=1-\\sin B \\sin C$，所以 $\\sin A=\\sqrt{1-\\sin B \\sin C}$。由于 $\\sin B \\sin C$ 的值在0到1之间，所以 $\\sin A$ 的值在0到1之间。因此，角A的值在0到90度之间。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n根据题目，我们知道 $BC=3$。由于 $\\sin B \\sin C$ 的值在0到1之间，所以 $\\sin B$ 和 $\\sin C$ 的值也在0到1之间。由于 $\\sin B$ 和 $\\sin C$ 的值是正的，所以角B和角C的值在0到90度之间。由于在三角形中，角A、角B和角C的和为180度，所以我们可以通过求解 $\\sin B$ 和 $\\sin C$ 的值来求出三角形的周长。由于 $\\sin B$ 和 $\\sin C$ 的值在0到1之间，所以三角形的周长的最大值出现在 $\\sin B$ 和 $\\sin C$ 的值都为1的情况下。在这种情况下，三角形的周长为 $BC+AC+AB=3+2+2=7$。<eoe>\n\n【答案】 \n三角形的周长的最大值为7。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的分析过程错误地将三角形中的三个角的正弦平方和等于1，这是不正确的。正确的关系是三角形中的三个角的和等于180度。学生没有正确使用正弦定理来配凑出 $\\cos A$ 的形式，也没有得出正确的 $A$ 的值。因此，这一部分得0分。\n\n(2) 学生的分析过程同样错误，没有正确使用余弦定理来得到 $(AC+AB)^2-AC\\cdot AB=9$ 的关系，也没有使用基本不等式来求得 $AC+AB$ 的最大值。学生错误地假设了 $\\sin B$ 和 $\\sin C$ 的值都为1来求得周长的最大值，这是不正确的。正确的方法是使用余弦定理和基本不等式来求解。因此，这一部分也得0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 98,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "18. 某沙漠地区经过治理, 生态系统得到很大改善, 野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的 数量, 将其分成面积相近的 200 个地块, 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区, 调查得 到样本数据 $\\left(x_{i}, y_{i}\\right)(i=1,2, \\ldots, 20)$, 其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积(单位: 公顷)和这种野 生动物的数量, 并计算得 $\\sum_{i=1}^{20} x_{i}=60, \\sum_{i=1}^{20} y_{i}=1200, \\sum_{i=1}^{20}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2}=80, \\sum_{i=1}^{20}\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)^{2}=9000$, $\\sum_{i=1}^{20}\\left(x_{i}(-\\bar{x}) y_{i}-\\bar{y}\\right)=800$\n\n(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值 (这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平 均数乘以地块数）;\n\n(2) 求样本 $\\left(x_{i}, y_{i}\\right)(i=1,2, \\ldots, 20)$ 的相关系数（精确到 0.01$)$;\n\n(3) 根据现有统计资料, 各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动 物数量更准确的估计, 请给出一种你认为更合理的抽样方法, 并说明理由.\n\n附: 相关系数 $r=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}(-\\bar{x}) y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}(-\\bar{x})^{2} \\sum_{i=1}^{n} y_{i}-\\bar{y}\\right)^{2}}}, \\quad \\sqrt{2}=1.414$.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1) 利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数, 代入数据即可;\n\n(2) 利用公式 $r=\\frac{\\sum_{i=1}^{20}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{20}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2} \\sum_{i=1}^{20}\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)^{2}}}$ 计算即可;\n\n(3) 各地块间植物覆盖面积差异较大, 为提高样本数据的代表性, 应采用分层抽样. 【详解】（1）样区野生动物平均数为 $\\frac{1}{20} \\sum_{i=1}^{20} y_{i}=\\frac{1}{20} \\times 1200=60$ ，\n\n地块数为 200 , 该地区这种野生动物的估计值为 $200 \\times 60=12000$\n\n(2) 样本 $\\left(x_{i}, y_{i}\\right)$ 的相关系数为\n\n$r=\\frac{\\sum_{i=1}^{20}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{20}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2} \\sum_{i=1}^{20}\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)^{2}}}=\\frac{800}{\\sqrt{80 \\times 9000}}=\\frac{2 \\sqrt{2}}{3} \\approx 0.94$\n\n(3)\n\n由于各地块间植物覆盖面积差异较大, 为提高样本数据的代表性, 应采用分层抽样 先将植物覆盖面积按优中差分成三层,\n\n在各层内按比例抽取样本,\n\n在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.\n\n【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取, 考查学生数学运算能力, 是一道容易题.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数, 代入数据即可;\n\n(2) 利用公式 $r=\\frac{\\sum_{i=1}^{20}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{20}\\left(x_{i}-\\bar{x}\\right)^{2} \\sum_{i=1}^{20}\\left(y_{i}-\\bar{y}\\right)^{2}}}$ 计算即可;\n\n(3) 各地块间植物覆盖面积差异较大, 为提高样本数据的代表性, 应采用分层抽样.\n",
            "model_output": "(1)【解析】这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数。样区这种野生动物数量的平均数可以通过$\\sum_{i=1}^{20} y_{i}$除以样区的数量20得到，然后再乘以地块数200。<eoe>\n【答案】野生动物数量的估计值 = $\\frac{\\sum_{i=1}^{20} y_{i}}{20} \\times 200 = \\frac{1200}{20} \\times 200 = 12000$<eoa>\n\n(2)【解析】根据相关系数的公式$r=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}(-\\bar{x}) y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}(-\\bar{x})^{2} \\sum_{i=1}^{n} y_{i}-\\bar{y}\\right)^{2}}}$，我们可以将已知的数值代入公式计算。<eoe>\n【答案】相关系数$r=\\frac{\\sum_{i=1}^{20}\\left(x_{i}(-\\bar{x}) y_{i}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{20}\\left(x_{i}(-\\bar{x})^{2} \\sum_{i=1}^{20} y_{i}-\\bar{y}\\right)^{2}}}=\\frac{800}{\\sqrt{80 \\times 9000}}=\\frac{800}{\\sqrt{720000}}=\\frac{800}{848.53}=0.94$<eoa>\n\n(3)【解析】由于各地块间植物覆盖面积差异很大，所以简单随机抽样可能无法准确反映出整个地区的情况。为了提高样本的代表性，可以采用分层抽样的方法。将地块按照植物覆盖面积的大小分成几个层次，然后从每个层次中随机抽取样本。这样可以保证每个层次的地块都能被抽到，从而提高样本的代表性。<eoe>\n【答案】我认为更合理的抽样方法是分层抽样。将地块按照植物覆盖面积的大小分成几个层次，然后从每个层次中随机抽取样本。这样可以保证每个层次的地块都能被抽到，从而提高样本的代表性。这种方法的理由是，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，简单随机抽样可能无法准确反映出整个地区的情况。分层抽样可以更好地反映各个层次地块的情况，从而获得该地区这种野生动物数量更准确的估计。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生给出了正确的计算过程和答案，得分4分。\n\n(2) 学生正确地使用了相关系数的公式，但在计算过程中，将$\\sqrt{720000}$近似为$848.53$，这是一个计算错误，正确的值应该是$\\sqrt{720000}=848.5281374$（使用计算器得到）。然而，学生最终的答案$0.94$与标准答案相符，因为标准答案中也要求四舍五入到0.01。因此，学生的答案虽然计算过程有误，但最终结果正确，给分3分。\n\n(3) 学生正确地提出了分层抽样的方法，并给出了合理的理由，得分5分。\n\n【得分】\n(1) 4分\n(2) 3分\n(3) 5分\n【总分】12分",
            "model_correction_score": [
                12.0
            ]
        },
        {
            "index": 99,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅱ）",
            "score": 12,
            "question": "21.已知函数 $f(x)=\\sin ^{2} x \\sin 2 x$.\n\n(1) 讨论 $f(x)$ 在区间 $(0, \\pi)$ 的单调性;\n\n(2) 证明: $|f(x)| \\leq \\frac{3 \\sqrt{3}}{8}$;\n\n(3) 设 $n \\in N^{*}$, 证明: $\\sin ^{2} x \\sin ^{2} 2 x \\sin ^{2} 4 x \\ldots \\sin ^{2} 2^{n} x \\leq \\frac{3^{n}}{4^{n}}$.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可;\n\n(2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式;\n\n(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得\n\n$f(x)=\\left[\\sin x\\left(\\sin ^{2} x \\sin 2 x\\right)\\left(\\sin ^{2} 2 x \\sin 4 x\\right) \\cdots\\left(\\sin ^{2} 2^{n-1} x \\sin 2^{n} x\\right) \\sin ^{2} 2^{n} x\\right]^{\\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.\n\n【详解】(1)由函数的解析式可得: $f(x)=2 \\sin ^{3} x \\cos x$, 则:\n\n$f^{\\prime}(x)=2\\left(3 \\sin ^{2} x \\cos ^{2} x-\\sin ^{4} x\\right)=2 \\sin ^{2} x\\left(3 \\cos ^{2} x-\\sin ^{2} x\\right)$\n\n$=2 \\sin ^{2} x\\left(4 \\cos ^{2} x-1\\right)=2 \\sin ^{2} x(2 \\cos x+1)(2 \\cos x-1)$,\n\n$f^{\\prime}(x)=0$ 在 $x \\in(0, \\pi)$ 上的根为: $x_{1}=\\frac{\\pi}{3}, x_{2}=\\frac{2 \\pi}{3}$,\n\n当 $x \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{3}\\right)$ 时, $f^{\\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增,\n\n当 $x \\in\\left(\\frac{\\pi}{3}, \\frac{2 \\pi}{3}\\right)$ 时, $f^{\\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减,\n\n当 $x \\in\\left(\\frac{2 \\pi}{3}, \\pi\\right)$ 时, $f^{\\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增.\n\n(2)注意到 $f(x+\\pi)=\\sin ^{2}(x+\\pi) \\sin [2(x+\\pi)]=\\sin ^{2} x \\sin 2 x=f(x)$,\n\n故函数 $f(x)$ 是周期为 $\\pi$ 的函数,\n\n结合(1)的结论, 计算可得: $f(0)=f(\\pi)=0$,\n\n$f\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right)=\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2} \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{3 \\sqrt{3}}{8}, f\\left(\\frac{2 \\pi}{3}\\right)=\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2} \\times\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)=-\\frac{3 \\sqrt{3}}{8}$,\n\n据此可得: $[f(x)]_{\\max }=\\frac{3 \\sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\\min }=-\\frac{3 \\sqrt{3}}{8}$,\n\n即 $|f(x)| \\leq \\frac{3 \\sqrt{3}}{8}$.\n\n(3)结合(2)的结论有:\n\n$\\sin ^{2} x \\sin ^{2} 2 x \\sin ^{2} 4 x \\cdots \\sin ^{2} 2^{n} x$\n\n$=\\left[\\sin ^{3} x \\sin ^{3} 2 x \\sin ^{3} 4 x \\cdots \\sin ^{3} 2^{n} x\\right]^{\\frac{2}{3}}$\n\n$=\\left[\\sin x\\left(\\sin ^{2} x \\sin 2 x\\right)\\left(\\sin ^{2} 2 x \\sin 4 x\\right) \\cdots\\left(\\sin ^{2} 2^{n-1} x \\sin 2^{n} x\\right) \\sin ^{2} 2^{n} x\\right]^{\\frac{2}{3}}$\n\n$\\leq\\left[\\sin x \\times \\frac{3 \\sqrt{3}}{8} \\times \\frac{3 \\sqrt{3}}{8} \\times \\cdots \\times \\frac{3 \\sqrt{3}}{8} \\times \\sin ^{2} 2^{n} x\\right]^{\\frac{2}{3}}$ $\\leq\\left[\\left(\\frac{3 \\sqrt{3}}{8}\\right)^{n}\\right]^{\\frac{2}{3}}=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{n}$\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1)首先求得导函数的解析式, 然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号, 最后确定原函数的单调性 即可;\n\n(2) 首先确定函数的周期性, 然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式;\n\n(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得\n\n$f(x)=\\left[\\sin x\\left(\\sin ^{2} x \\sin 2 x\\right)\\left(\\sin ^{2} 2 x \\sin 4 x\\right) \\cdots\\left(\\sin ^{2} 2^{n-1} x \\sin 2^{n} x\\right) \\sin ^{2} 2^{n} x\\right]^{\\frac{2}{3}}$ , 然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要找到函数的导数。然后，我们可以通过分析导数的符号来确定函数在给定区间内的单调性。<eoe>\n【答案】首先，我们找到函数的导数 $f'(x)$:\n$f'(x) = 2\\sin x\\cos x\\sin 2x + \\sin^2 x\\cos 2x = \\sin 2x(\\sin 2x + \\cos 2x)$\n在区间 $(0, \\pi)$，$\\sin 2x > 0$，$\\sin 2x + \\cos 2x = \\sqrt{2}\\sin(2x + \\frac{\\pi}{4})$，当 $0 < x < \\frac{\\pi}{4}$ 或 $\\frac{3\\pi}{4} < x < \\pi$ 时，$\\sin(2x + \\frac{\\pi}{4}) > 0$，所以 $f'(x) > 0$，函数在这两个区间内单调增加；当 $\\frac{\\pi}{4} < x < \\frac{3\\pi}{4}$ 时，$\\sin(2x + \\frac{\\pi}{4}) < 0$，所以 $f'(x) < 0$，函数在这个区间内单调减少。<eoa>\n\n(2)【解析】我们需要找到函数的最大值，这可以通过找到函数的导数等于0的点，然后比较这些点和区间端点的函数值来实现。<eoe>\n【答案】我们已经找到了函数的导数 $f'(x) = \\sin 2x(\\sin 2x + \\cos 2x)$，令其等于0，我们得到 $\\sin 2x = 0$ 或 $\\sin 2x = -\\cos 2x$。在区间 $(0, \\pi)$，我们得到 $x = \\frac{\\pi}{4}, \\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{4}$。比较这些点和区间端点的函数值，我们得到 $f(0) = f(\\pi) = 0$，$f(\\frac{\\pi}{4}) = \\frac{1}{2}$，$f(\\frac{\\pi}{2}) = 0$，$f(\\frac{3\\pi}{4}) = \\frac{3\\sqrt{3}}{8}$。所以，$|f(x)| \\leq \\frac{3\\sqrt{3}}{8}$。<eoa>\n\n(3)【解析】我们可以使用数学归纳法来证明这个不等式。首先，我们需要证明当 $n=1$ 时，不等式成立。然后，我们假设当 $n=k$ 时，不等式成立，我们需要证明当 $n=k+1$ 时，不等式也成立。<eoe>\n【答案】当 $n=1$ 时，不等式变为 $\\sin^2 x \\sin^2 2x \\leq \\frac{3}{4}$，这是由第(2)问的结论得到的，所以当 $n=1$ 时，不等式成立。\n\n假设当 $n=k$ 时，不等式 $\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^k x \\leq \\frac{3^k}{4^k}$ 成立。\n\n当 $n=k+1$ 时，我们需要证明 $\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^k x \\sin^2 2^{k+1} x \\leq \\frac{3^{k+1}}{4^{k+1}}$。\n\n由于 $\\sin^2 2^{k+1} x = 2\\sin^2 2^k x - \\sin^4 2^k x \\leq 2\\sin^2 2^k x$，所以 $\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^k x \\sin^2 2^{k+1} x \\leq \\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^k x \\cdot 2\\sin^2 2^k x = 2\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots (\\sin^2 2^k x)^2$。\n\n根据假设，我们有 $\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots (\\sin^2 2^k x)^2 \\leq \\frac{3^k}{4^k} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{3^{k+1}}{4^{k+1}}$。\n\n所以，当 $n=k+1$ 时，不等式也成立。\n\n因此，对于所有的 $n \\in N^*$，不等式 $\\sin^2 x \\sin^2 2x \\sin^2 4x \\ldots \\sin^2 2^n x \\leq \\frac{3^n}{4^n}$ 都成立。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求导过程中出现了错误，导数计算不正确，因此单调性的讨论也是错误的。【得分】0分。\n\n(2) 学生在求函数最大值的过程中同样出现了错误，导数的计算不正确，因此得出的结论也是错误的。【得分】0分。\n\n(3) 学生在证明不等式的过程中使用了错误的方法，没有正确应用题目(2)中的结论，也没有正确使用数学归纳法，因此证明是错误的。【得分】0分。\n\n【总分】0分。",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 100,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "22. 已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程分别为 $C_{1}$ : $\\left\\{\\begin{array}{l}x=4 \\cos ^{2} \\theta, \\\\ y=4 \\sin ^{2} \\theta\\end{array}\\right.$ ( $\\theta$ 为参数), $C_{2}:\\left\\{\\begin{array}{l}x=t+\\frac{1}{t}, \\\\ y=t-\\frac{1}{t}\\end{array}\\right.$ ( $t$ 为参数).\n\n(1) 将 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程化为普通方程;\n\n(2) 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 设 $C_{1}, C_{2}$ 的交点为 $P$, 求圆心在极轴上, 且经过 极点和 $P$ 的圆的极坐标方程.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1) 分别消去参数 $\\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程;\n\n(2) 两方程联立求得点 $P$\n\n, 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.\n\n【详解】（1）由 $\\cos ^{2} \\theta+\\sin ^{2} \\theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为: $x+y=4$;\n\n由 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=t+\\frac{1}{t} \\\\ y=t-\\frac{1}{t}\\end{array}\\right.$ 得: $\\left\\{\\begin{array}{c}x^{2}=t^{2}+\\frac{1}{t^{2}}+2 \\\\ y^{2}=t^{2}+\\frac{1}{t^{2}}-2\\end{array}\\right.$, 两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为: $x^{2}-y^{2}=4$.\n\n(2) 由 $\\left\\{\\begin{array}{l}x+y=4 \\\\ x^{2}-y^{2}=4\\end{array}\\right.$ 得: $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\frac{5}{2} \\\\ y=\\frac{3}{2}\\end{array}\\right.$, 即 $P\\left(\\frac{5}{2}, \\frac{3}{2}\\right)$; 设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$, 其中 $a>0$,\n\n则 $\\left(a-\\frac{5}{2}\\right)^{2}+\\left(0-\\frac{3}{2}\\right)^{2}=a^{2}$, 解得: $a=\\frac{17}{10}, \\therefore$ 所求圆的半径 $r=\\frac{17}{10}$,\n\n$\\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为: $\\left(x-\\frac{17}{10}\\right)^{2}+y^{2}=\\left(\\frac{17}{10}\\right)^{2}$, 即 $x^{2}+y^{2}=\\frac{17}{5} x$,\n\n$\\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\\rho=\\frac{17}{5} \\cos \\theta$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 分别消去参数 $\\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程;\n\n(2) 两方程联立求得点 $P$\n\n, 求得所求圆的直角坐标方程后, 根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n对于$C_{1}$，我们可以利用三角恒等式$\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$将其参数方程化为普通方程。对于$C_{2}$，我们可以将其参数方程中的$t$消去，得到普通方程。<eoe>\n\n【答案】\n对于$C_{1}$，由$\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$，我们有$x+y=4$。\n对于$C_{2}$，我们可以将其参数方程中的$t$消去，得到普通方程。首先，我们有$t=\\frac{x+y}{2}$和$t=\\frac{x-y}{2}$，将这两个方程相加，得到$x=t+\\frac{1}{t}$，然后将这个方程平方，得到$x^2=t^2+2+\\frac{1}{t^2}$。又因为$t^2=\\frac{x^2-2}{2}$，所以我们有$x^2=y^2+2$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n在极坐标系中，$C_{1}$和$C_{2}$的交点$P$的坐标可以通过解$C_{1}$和$C_{2}$的普通方程得到。然后，我们可以利用极坐标的性质，求出圆心在极轴上，且经过极点和$P$的圆的极坐标方程。<eoe>\n\n【答案】\n首先，解$C_{1}$和$C_{2}$的普通方程$x+y=4$和$x^2=y^2+2$，得到$P$的坐标为$(2,2)$。然后，将$P$的坐标转换为极坐标，得到$r=\\sqrt{2^2+2^2}=2\\sqrt{2}$，$\\theta=\\arctan\\frac{2}{2}=\\frac{\\pi}{4}$。因此，$P$的极坐标为$(2\\sqrt{2},\\frac{\\pi}{4})$。由于圆心在极轴上，且经过极点和$P$，所以圆的极坐标方程为$r=2\\sqrt{2}\\cos\\theta$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求解 $C_1$ 的普通方程时正确得到 $x+y=4$，得分2分。在求解 $C_2$ 的普通方程时，学生的方法不正确，未能得到正确的普通方程 $x^2-y^2=4$，而是错误地得到了 $x^2=y^2+2$，因此不得分。\n\n(2) 学生在求解 $C_1$ 和 $C_2$ 的交点 $P$ 时，错误地使用了 $x+y=4$ 和 $x^2=y^2+2$，得到了错误的坐标 $(2,2)$，因此不得分。在求解圆的极坐标方程时，学生错误地使用了错误的点 $P$ 的坐标，得到了错误的极坐标方程 $r=2\\sqrt{2}\\cos\\theta$，因此不得分。\n\n【得分】2分\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 101,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅱ）",
            "score": 10,
            "question": "23. 已知函数 $f(x)=\\left|x-a^{2}\\right|+|x-2 a+1|$.\n\n(1) 当 $a=2$ 时, 求不等式 $f(x) \\ldots 4$ 的解集;\n\n(2) 若 $f(x) \\ldots 4$, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "【解析】}\n\n【分析】}\n\n(1) 分别在 $x \\leq 3 、 3<x<4$ 和 $x \\geq 4$ 三种情况下解不等式求得结果;\n\n（2）利用绝对值三角不等式可得到 $f(x) \\geq(a-1)^{2}$, 由此构造不等式求得结果.\n\n【详解】（1）当 $a=2$ 时, $f(x)=|x-4|+|x-3|$.\n\n当 $x \\leq 3$ 时, $f(x)=4-x+3-x=7-2 x \\geq 4$, 解得: $x \\leqslant \\frac{3}{2}$;\n\n当 $3<x<4$ 时, $f(x)=4-x+x-3=1 \\geq 4$, 无解;\n\n当 $x \\geq 4$ 时, $f(x)=x-4+x-3=2 x-7 \\geq 4$, 解得: $x \\geq \\frac{11}{2}$;\n\n综上所述: $f(x) \\geq 4$ 的解集为 $\\left\\{x \\mid x \\leq \\frac{3}{2}\\right.$ 或 $\\left.x \\geq \\frac{11}{2}\\right\\}$.\n\n(2) $f(x)=\\left|x-a^{2}\\right|+|x-2 a+1| \\geq\\left|\\left(x-a^{2}\\right)-(x-2 a+1)\\right|=\\left|-a^{2}+2 a-1\\right|=(a-1)^{2}$ （当且仅当 $2 a-1 \\leq x \\leq a^{2}$ 时取等号), $\\therefore(a-1)^{2} \\geq 4$, 解得: $a \\leq-1$ 或 $a \\geq 3$,\n\n$\\therefore a$ 的取值范围为 $(-\\infty,-1] \\cup[3,+\\infty)$.\n",
            "analysis": "【分析】}\n\n(1) 分别在 $x \\leq 3 、 3<x<4$ 和 $x \\geq 4$ 三种情况下解不等式求得结果;\n\n（2）利用绝对值三角不等式可得到 $f(x) \\geq(a-1)^{2}$, 由此构造不等式求得结果.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n当$a=2$时，函数$f(x)$变为$f(x)=|x-4|+|x-3|$，我们需要求解不等式$f(x)<4$。首先，我们需要找出函数的分段点，即$x-4=0$和$x-3=0$，解得$x=3,4$。然后，我们将定义域分为三个区间，即$(-\\infty,3),(3,4),(4,+\\infty)$，在每个区间内，函数$f(x)$的表达式都是确定的，我们可以分别求解不等式。<eoe>\n\n【答案】\n对于区间$(-\\infty,3)$，函数$f(x)=-(x-4)-(x-3)=7-2x$，解不等式$7-2x<4$得$x>\\frac{3}{2}$。\n对于区间$(3,4)$，函数$f(x)=-(x-4)+(x-3)=-1$，解不等式$-1<4$得$x\\in R$。\n对于区间$(4,+\\infty)$，函数$f(x)=(x-4)+(x-3)=2x-7$，解不等式$2x-7<4$得$x<\\frac{11}{2}$。\n综上，不等式$f(x)<4$的解集为$\\left(\\frac{3}{2},\\frac{11}{2}\\right)$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n我们需要求解的是不等式$f(x)<4$，即$|x-a^2|+|x-2a+1|<4$。首先，我们需要找出函数的分段点，即$x=a^2$和$x=2a-1$。然后，我们将定义域分为三个区间，即$(-\\infty,a^2),(a^2,2a-1),(2a-1,+\\infty)$，在每个区间内，函数$f(x)$的表达式都是确定的，我们可以分别求解不等式。然后，我们需要找出满足所有区间的不等式解的$a$的取值范围。<eoe>\n\n【答案】\n对于区间$(-\\infty,a^2)$，函数$f(x)=-(x-a^2)+(x-2a+1)=1-2a$，解不等式$1-2a<4$得$a>\\frac{-3}{2}$。\n对于区间$(a^2,2a-1)$，函数$f(x)=-(x-a^2)-(x-2a+1)=3a-1$，解不等式$3a-1<4$得$a<\\frac{5}{3}$。\n对于区间$(2a-1,+\\infty)$，函数$f(x)=(x-a^2)+(x-2a+1)=2x-1$，解不等式$2x-1<4$得$x<\\frac{5}{2}$。\n综上，$a$的取值范围为$\\left(\\frac{-3}{2},\\frac{5}{3}\\right)$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解题过程中正确地找到了函数的分段点，并且正确地分析了每个区间内的函数表达式。但是在解不等式时犯了错误，学生解得的是 $f(x)<4$ 的解集，而题目要求的是 $f(x) \\geq 4$ 的解集。因此，学生的答案与题目要求不符。根据学生的解答过程，可以给予部分分数，因为学生理解了分段讨论的方法，但是解题方向错误。\n\n(2) 学生在解题过程中没有正确理解题目的要求，没有使用绝对值三角不等式，而是错误地对不等式进行了分段讨论，并且得出了错误的结论。学生的答案与标准答案完全不符，因此不能给分。\n\n【得分】\n(1) 对于第一问，学生虽然理解了分段讨论的方法，但是解题方向错误，可以给予部分分数，比如2分。\n(2) 对于第二问，学生的答案与标准答案完全不符，不能给分。\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 102,
            "year": "2021",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 10,
            "question": "17. 甲、乙两台机床生产同种产品, 产品按质量分为一级品和二级品, 为了比较两台机床产品的质量, 分别 用两台机床各生产了 200 件产品, 产品的质量情况统计如下表:\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline & 一级品 & 二级品 & 合计 \\\\\n\\hline 甲机床 & 150 & 50 & 200 \\\\\n\\hline 乙机床 & 120 & 80 & 200 \\\\\n\\hline 合计 & 270 & 130 & 400 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n(1) 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?\n\n(2) 能否有 $99 \\%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?\n\n附: $\\quad K^{2}=\\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$\n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline$P\\left(K^{2} \\geq k\\right)$ & 0.050 & 0.010 & 0.001 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n\n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\n\\hline$k$ & 3.841 & 6.635 & 10.828 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n",
            "standard_answer": "【详解】(1) 甲机床生产的产品中的一级品的频率为 $\\frac{150}{200}=75 \\%$ ，\n\n乙机床生产的产品中的一级品的频率为 $\\frac{120}{200}=60 \\%$.\n\n(2) $K^{2}=\\frac{400(150 \\times 80-120 \\times 50)^{2}}{270 \\times 130 \\times 200 \\times 200}=\\frac{400}{39}>10>6.635$,\n\n故能有 $99 \\%$ 的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.\n",
            "analysis": "【分析】本题考查频率统计和独立性检验, 属基础题, 根据给出公式计算即可\n",
            "model_output": "(1)【解析】一级品的频率可以通过一级品的数量除以总的产品数量得到。<eoe>\n【答案】甲机床生产的产品中一级品的频率是150/200=0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是120/200=0.6。<eoa>\n\n(2)【解析】这是一个二项分布的假设检验问题，我们可以使用给出的公式来计算检验统计量K^2，然后与表中的k值进行比较。如果计算出的K^2大于表中的k值，那么我们就可以有足够的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。<eoe>\n【答案】首先，我们将甲机床和乙机床的数据代入公式，得到K^2的值。其中，a=150，b=50，c=120，d=80，n=200。代入公式得到K^2=200*(150*80-50*120)^2/((150+50)*(120+80)*(150+120)*(50+80))=1.5。然后，我们将这个值与表中的k值进行比较，发现1.5小于3.841，因此，我们不能有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生给出了正确的频率计算方法，并得出了正确的结果，应给满分。\n\n(2) 学生在计算$K^2$时犯了错误，计算结果1.5与标准答案不符。正确的计算应该是$K^2=\\frac{400(150 \\times 80-120 \\times 50)^{2}}{270 \\times 130 \\times 200 \\times 200}$，而学生的计算结果显然是错误的。此外，学生的结论也与标准答案相反。因此，这部分应给0分。\n\n【得分】\n(1) 5分\n(2) 0分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 103,
            "year": "2021",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 10,
            "question": "18. 已知数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的各项均为正数, 记 $S_{n}$ 为 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, 从下面(1)(2)(3)中选取两个作为条件, 证明另 外一个成立.\n\n(1)数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列: (2)数列 $\\left\\{\\sqrt{S_{n}}\\right\\}$ 是等差数列; (3) $a_{2}=3 a_{1}$.\n\n注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.\n",
            "standard_answer": "【详解】选(1)(2)作条件证明(3):\n\n设 $\\sqrt{S_{n}}=a n+b(a>0)$, 则 $S_{n}=(a n+b)^{2}$,\n\n当 $n=1$ 时, $a_{1}=S_{1}=(a+b)^{2}$; 当 $n \\geq 2$ 时, $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=(a n+b)^{2}-(a n-a+b)^{2}=a(2 a n-a+2 b)$;\n\n因为 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 也是等差数列, 所以 $(a+b)^{2}=a(2 a-a+2 b)$, 解得 $b=0$ ；\n\n所以 $a_{n}=a^{2}(2 n-1)$, 所以 $a_{2}=3 a_{1}$.\n\n选(1)(3)作条件证明(2):\n\n因为 $a_{2}=3 a_{1},\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列,\n\n所以公差 $d=a_{2}-a_{1}=2 a_{1}$,\n\n所以 $S_{n}=n a_{1}+\\frac{n(n-1)}{2} d=n^{2} a_{1}$, 即 $\\sqrt{S_{n}}=\\sqrt{a_{1}} n$ ，\n\n因为 $\\sqrt{S_{n+1}}-\\sqrt{S_{n}}=\\sqrt{a_{1}}(n+1)-\\sqrt{a_{1}} n=\\sqrt{a_{1}}$,\n\n所以 $\\left\\{\\sqrt{S_{n}}\\right\\}$ 是等差数列.\n\n选(2)(3)作条件证明(1):\n\n设 $\\sqrt{S_{n}}=a n+b(a>0)$, 则 $S_{n}=(a n+b)^{2}$,\n\n当 $n=1$ 时, $a_{1}=S_{1}=(a+b)^{2}$;\n\n当 $n \\geq 2$ 时, $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=(a n+b)^{2}-(a n-a+b)^{2}=a(2 a n-a+2 b)$;\n\n因为 $a_{2}=3 a_{1}$, 所以 $a(3 a+2 b)=3(a+b)^{2}$ ， 解得 $b=0$ 或 $b=-\\frac{4 a}{3}$ ；\n\n当 $b=0$ 时, $a_{1}=a^{2}, a_{n}=a^{2}(2 n-1)$, 当 $n \\geq 2$ 时, $a_{n}-a_{n-1}=2 a^{2}$ 满足等差数列的定义, 此时 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 为等差 数列;\n\n当 $b=-\\frac{4 a}{3}$ 时, $\\sqrt{S_{n}}=a n+b=a n-\\frac{4}{3} a, \\sqrt{S_{1}}=-\\frac{a}{3}<0$ 不合题意, 舍去.\n\n综上可知 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 为等差数列.\n",
            "analysis": "【分析】选(1)(2)作条件证明(3)时, 可设出 $\\sqrt{S_{n}}$, 结合 $a_{n}, S_{n}$ 的关系求出 $a_{n}$, 利用 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列可证 $a_{2}=3 a_{1}$\n\n选(1)(3)作条件证明(2)时, 根据等差数列的求和公式表示出 $\\sqrt{S_{n}}$, 结合等差数列定义可证;\n\n选(2)(3)作条件证明(1)时, 设出 $\\sqrt{S_{n}}=a n+b$, 结合 $a_{n}, S_{n}$ 的关系求出 $a_{n}$, 根据 $a_{2}=3 a_{1}$ 可求 $b$, 然后可证 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n首先，我们选择条件(1)和条件(3)来证明条件(2)。\n已知数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列，设公差为d，且 $a_{2}=3 a_{1}$，则有 $a_{1}+d=3a_{1}$，解得 $d=2a_{1}$。\n数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n}) = \\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d) = \\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)2a_{1}) = na_{1}n = n^{2}a_{1}$。\n所以，$\\sqrt{S_{n}} = \\sqrt{n^{2}a_{1}} = na_{1}$，即数列 $\\left\\{\\sqrt{S_{n}}\\right\\}$ 是等差数列，公差为$a_{1}$。<eoe>\n\n【答案】\n已知数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列，设公差为d，且 $a_{2}=3 a_{1}$，则有 $a_{1}+d=3a_{1}$，解得 $d=2a_{1}$。\n数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n}) = \\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d) = \\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)2a_{1}) = na_{1}n = n^{2}a_{1}$。\n所以，$\\sqrt{S_{n}} = \\sqrt{n^{2}a_{1}} = na_{1}$，即数列 $\\left\\{\\sqrt{S_{n}}\\right\\}$ 是等差数列，公差为$a_{1}$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n接下来，我们选择条件(2)和条件(3)来证明条件(1)。\n已知数列 $\\left\\{\\sqrt{S_{n}}\\right\\}$ 是等差数列，设公差为d，且 $a_{2}=3 a_{1}$。\n因为 $\\sqrt{S_{n}}$ 是等差数列，所以有 $S_{n} = (\\sqrt{S_{1}}+(n-1)d)^{2}$。\n又因为 $S_{n} = a_{1}+a_{2}+...+a_{n} = na_{1}+ (n-1)d$，所以有 $na_{1}+ (n-1)d = (\\sqrt{S_{1}}+(n-1)d)^{2}$。\n解这个方程，我们可以得到 $a_{n} = a_{1}+ (n-1)d$，即数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列。<eoe>\n\n【答案】\n已知数列 $\\left\\{\\sqrt{S_{n}}\\right\\}$ 是等差数列，设公差为d，且 $a_{2}=3 a_{1}$。\n因为 $\\sqrt{S_{n}}$ 是等差数列，所以有 $S_{n} = (\\sqrt{S_{1}}+(n-1)d)^{2}$。\n又因为 $S_{n} = a_{1}+a_{2}+...+a_{n} = na_{1}+ (n-1)d$，所以有 $na_{1}+ (n-1)d = (\\sqrt{S_{1}}+(n-1)d)^{2}$。\n解这个方程，我们可以得到 $a_{n} = a_{1}+ (n-1)d$，即数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生选择了条件(1)和条件(3)来证明条件(2)，并且正确地证明了条件(2)，即数列 $\\left\\{\\sqrt{S_{n}}\\right\\}$ 是等差数列。学生的分析过程和答案都是正确的，没有出现计算错误或逻辑错误。\n\n学生还选择了条件(2)和条件(3)来证明条件(1)，但是在证明过程中出现了错误。学生错误地将 $S_{n}$ 表示为 $na_{1}+ (n-1)d$，这是不正确的，因为 $S_{n}$ 应该是数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和，而不是 $na_{1}+ (n-1)d$。此外，学生没有正确地使用条件 $\\left\\{\\sqrt{S_{n}}\\right\\}$ 是等差数列来求解 $a_{n}$ 的表达式。因此，这部分证明是错误的。\n\n【得分】\n第一部分正确证明了条件(2)，给满分5分。\n第二部分证明错误，不给分。\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 104,
            "year": "2021",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 10,
            "question": "20. 抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$. 焦点在 $x$ 轴上, 直线 $l: x=1$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 且 $O P \\perp O Q$. 已知 点 $M(2,0)$, 且 $\\odot M$ 与 $l$ 相切.\n\n(1) 求 $C, \\odot M$ 的方程; (2) 设 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是 $C$ 上的三个点, 直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 均与 $\\odot M$ 相切. 判断直线 $A_{2} A_{3}$ 与 $\\odot M$ 的位置关系, 并说明理由.\n",
            "standard_answer": "【详解】（1）依题意设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0), P\\left(1, y_{0}\\right), Q\\left(1,-y_{0}\\right)$,\n\n$\\because O P \\perp O Q, \\therefore \\overrightarrow{O P} \\cdot \\overrightarrow{O Q}=1-y_{0}^{2}=1-2 p=0, \\therefore 2 p=1$\n\n所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=x$,\n\n$M(0,2), \\odot M$ 与 $x=1$ 相切, 所以半径为 1 ,\n\n所以 $\\odot M$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$;\n\n(2) 设 $A_{1}\\left(x_{1} y_{1}\\right), A_{2}\\left(x_{2}, y_{2}\\right), A_{3}\\left(x_{3}, y_{3}\\right)$\n\n若 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 则 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$ 或 $x=3$,\n\n若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=1$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(1,1)$,\n\n则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的另一条直线方程为 $y=1$,\n\n此时该直线与抛物线只有一个交点, 即不存在 $A_{3}$, 不合题意;\n\n若 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $x=3$, 根据对称性不妨设 $A_{1}(3, \\sqrt{3}), A_{2}(3,-\\sqrt{3})$,\n\n则过 $A_{1}$ 与圆 $M$ 相切的直线 $A_{1} A_{3}$ 为 $y-\\sqrt{3}=\\frac{\\sqrt{3}}{3}(x-3)$,\n\n又 $k_{A_{1} A_{3}}=\\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\\frac{1}{y_{1}+y_{3}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}+y_{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\therefore y_{3}=0$, $x_{3}=0, A_{3}(0,0)$, 此时直线 $A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 关于 $x$ 轴对称,\n\n所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切;\n\n若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率均存在,\n\n则 $k_{A_{1} A_{2}}=\\frac{1}{y_{1}+y_{2}}, k_{A_{1} A_{3}}=\\frac{1}{y_{1}+y_{3}}, k_{A_{2} A_{3}}=\\frac{1}{y_{2}+y_{3}}$ ，\n\n所以直线 $A_{1} A_{2}$ 方程为 $y-y_{1}=\\frac{1}{y_{1}+y_{2}}\\left(x-x_{1}\\right)$,\n\n整理得 $x-\\left(y_{1}+y_{2}\\right) y+y_{1} y_{2}=0$ ，\n\n同理直线 $A_{1} A_{3}$ 的方程为 $x-\\left(y_{1}+y_{3}\\right) y+y_{1} y_{3}=0$,\n\n直线 $A_{2} A_{3}$ 的方程为 $x-\\left(y_{2}+y_{3}\\right) y+y_{2} y_{3}=0$,\n\n$\\because A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, $\\therefore \\frac{\\left|2+y_{1} y_{2}\\right|}{\\sqrt{1+\\left(y_{1}+y_{2}\\right)^{2}}}=1$\n\n整理得 $\\left(y_{1}^{2}-1\\right) y_{2}^{2}+2 y_{1} y_{2}+3-y_{1}^{2}=0$,\n\n$A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 同理 $\\left(y_{1}^{2}-1\\right) y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{3}+3-y_{1}^{2}=0$\n\n所以 $y_{2}, y_{3}$ 为方程 $\\left(y_{1}^{2}-1\\right) y^{2}+2 y_{1} y+3-y_{1}^{2}=0$ 的两根,\n\n$y_{2}+y_{3}=-\\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}, y_{2} \\cdot y_{3}=\\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}$\n\n$M$ 到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离为:\n\n$\\frac{\\left|2+y_{2} y_{3}\\right|}{\\sqrt{1+\\left(y_{2}+y_{3}\\right)^{2}}}=\\frac{\\left|2+\\frac{3-y_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-1}\\right|}{\\sqrt{1+\\left(-\\frac{2 y_{1}}{y_{1}^{2}-1}\\right)^{2}}}$\n\n$=\\frac{\\left|y_{1}^{2}+1\\right|}{\\sqrt{\\left(y_{1}^{2}-1\\right)^{2}+4 y_{1}^{2}}}=\\frac{y_{1}^{2}+1}{y_{1}^{2}+1}=1$,\n\n所以直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切;\n\n综上若直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切, 则直线 $A_{2} A_{3}$ 与圆 $M$ 相切.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 根据已知抛物线与 $x=1$ 相交, 可得出抛物线开口向右, 设出标准方程, 再利用对称性设出 $P, Q$ 坐标, 由 $O P \\perp O Q$, 即可求出 $p$; 由圆 $M$ 与直线 $x=1$ 相切, 求出半径, 即可得出结论;\n\n(2) 先考虑 $A_{1} A_{2}$ 斜率不存在, 根据对称性, 即可得出结论; 若 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{2} A_{3}$ 斜率存在, 由 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 三 点在抛物线上, 将直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}$ 斜率分别用纵坐标表示, 再由 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{2}$ 与圆 $M$ 相切, 得出 $y_{2}+y_{3}, y_{2} \\cdot y_{3}$ 与 $y_{1}$ 的关系, 最后求出 $M$ 点到直线 $A_{2} A_{3}$ 的距离, 即可得出结论.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们知道抛物线的一般形式为$y^2=4ax$，因为顶点在原点，所以抛物线的方程可以写为$y^2=4px$，其中$p$是焦点到直线$y=0$的距离。\n因为抛物线$C$的焦点在$x$轴上，所以$OQ$是$x$轴，$OP$是$y$轴，所以点$P$和$Q$的坐标分别为$(1,p)$和$(1,-p)$。\n因为$OQ \\perp OP$，所以$p^2=1$，所以$p=1$或$p=-1$。\n因为焦点在$x$轴上，所以$p=1$，所以抛物线$C$的方程是$y^2=4x$。\n然后，我们知道圆的一般形式为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，因为圆心在点$M(2,0)$，所以圆的方程可以写为$(x-2)^2+y^2=r^2$。\n因为圆$\\odot M$与直线$l: x=1$相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以$r=1$，所以圆$\\odot M$的方程是$(x-2)^2+y^2=1$。\n<eoe>\n【答案】\n所以，抛物线$C$的方程是$y^2=4x$，圆$\\odot M$的方程是$(x-2)^2+y^2=1$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n我们知道，如果一条直线与一个圆相切，那么这条直线到圆心的距离等于圆的半径。\n所以，如果直线$A_{1}A_{2}$和$A_{1}A_{3}$都与圆$\\odot M$相切，那么这两条直线到圆心$M$的距离都等于圆的半径，也就是说，点$A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$都在以$M$为圆心，半径为1的圆上。\n因为直线$A_{2}A_{3}$是通过圆上的两点画的，所以直线$A_{2}A_{3}$肯定会与圆$\\odot M$相交。\n如果直线$A_{2}A_{3}$与圆$\\odot M$相切，那么直线$A_{2}A_{3}$到圆心$M$的距离也应该等于圆的半径，但是直线$A_{2}A_{3}$上有两个点$A_{2}$和$A_{3}$都在圆上，所以直线$A_{2}A_{3}$到圆心$M$的距离不可能等于圆的半径，所以直线$A_{2}A_{3}$不可能与圆$\\odot M$相切。\n所以，直线$A_{2}A_{3}$与圆$\\odot M$相交。\n<eoe>\n【答案】\n所以，直线$A_{2}A_{3}$与圆$\\odot M$相交。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生正确地分析了抛物线的一般形式，并且正确地得出了抛物线的方程为 $y^2=4x$，这与标准答案中的 $y^2=x$ 不符，但学生的方程也是一个合理的抛物线方程，只是焦点距离不同。学生正确地得出了圆 $\\odot M$ 的方程 $(x-2)^2+y^2=1$。因此，学生在第一问中的答案部分正确，但由于抛物线方程的系数不正确，不能给满分。可以给予部分分数。\n【得分】4分\n\n(2) 学生在分析直线 $A_{1}A_{2}$ 和 $A_{1}A_{3}$ 与圆 $\\odot M$ 的关系时，没有正确地使用标准答案中的方法，即没有利用切线斜率和圆的切线条件来分析。学生错误地认为直线 $A_{2}A_{3}$ 与圆 $\\odot M$ 相交，而不是相切。这与标准答案中的结论相矛盾。因此，学生在第二问中的答案是错误的。\n【得分】0分\n\n【总分】4分",
            "model_correction_score": [
                4.0
            ]
        },
        {
            "index": 105,
            "year": "2021",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 10,
            "question": "21. 已知 $a>0$ 且 $a \\neq 1$, 函数 $f(x)=\\frac{x^{a}}{a^{x}}(x>0)$.\n\n（1）当 $a=2$ 时, 求 $f(x)$ 的单调区间;\n\n(2) 若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "【详解】（1）当 $a=2$ 时, $f(x)=\\frac{x^{2}}{2^{x}}, f^{\\prime}(x)=\\frac{2 x-2^{x}-x^{2} \\diamond 2^{x} \\ln 2}{\\left(2^{x}\\right)^{2}}=\\frac{x \\diamond 2^{x}(2-x \\ln 2)}{4^{x}}$, 令 $f^{\\prime}(x)=0$ 得 $x=\\frac{2}{\\ln 2}$, 当 $0<x<\\frac{2}{\\ln 2}$ 时, $f^{\\prime}(x)>0$, 当 $x>\\frac{2}{\\ln 2}$ 时, $f^{\\prime}(x)<0$, $\\therefore$ 函数 $f(x)$ 在 $\\left(0, \\frac{2}{\\ln 2}\\right]$ 上单调递增; $\\left[\\frac{2}{\\ln 2},+\\infty\\right)$ 上单调递减;\n\n(2) $f(x)=\\frac{x^{a}}{a^{x}}=1 \\Leftrightarrow a^{x}=x^{a} \\Leftrightarrow x \\ln a=a \\ln x \\Leftrightarrow \\frac{\\ln x}{x}=\\frac{\\ln a}{a}$, 设函数 $g(x)=\\frac{\\ln x}{x}$, 则 $g^{\\prime}(x)=\\frac{1-\\ln x}{x^{2}}$, 令 $g^{\\prime}(x)=0$, 得 $x=e$,\n\n在 $(0, e)$ 内 $g^{\\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增;\n\n在 $(e,+\\infty)$ 上 $g^{\\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减;\n\n$\\therefore g(x)_{\\max }=g(e)=\\frac{1}{e}$,\n\n又 $g(1)=0$, 当 $x$ 趋近于 $+\\infty$ 时, $g(x)$ 趋近于 0 , 所以曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点, 即曲线 $y=g(x)$ 与直线 $y=\\frac{a}{\\ln a}$ 有两个交点的充分必 要条件是 $0<\\frac{\\ln a}{a}<\\frac{1}{e}$, 这即是 $0<g(a)<g(e)$,\n\n所以 $a$ 的取值范围是 $(1, e) \\cup(e,+\\infty)$.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 求得函数的导函数, 利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性;\n\n(2) 利用指数对数的运算法则, 可以将曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点等价转化为方程 $\\frac{\\ln x}{x}=\\frac{\\ln a}{a}$ 有两个不同的实数根, 即曲线 $y=g(x)$ 与直线 $y=\\frac{a}{\\ln a}$ 有两个交点, 利用导函数研究 $g(x)$ 的 单调性, 并结合 $g(x)$ 的正负, 零点和极限值分析 $g(x)$ 的图象, 进而得到 $0<\\frac{\\ln a}{a}<\\frac{1}{e}$, 发现这正好是 $0<g(a)<g(e)$, 然后根据 $g(x)$ 的图象和单调性得到 $a$ 的取值范围.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n当$a=2$时，函数$f(x)=\\frac{x^{2}}{2^{x}}(x>0)$。\n我们需要求出函数的导数，然后通过导数的正负来判断函数的单调性。\n对于函数$f(x)$，其导数$f'(x)$可以通过求导得到。<eoe>\n\n【答案】\n首先求导数，$f'(x)=\\frac{2x}{2^x}ln2-\\frac{x^2ln2}{2^x}=\\frac{xln2}{2^x}(2-x)$。\n令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$，但$x>0$，所以只取$x=2$。\n当$x\\in(0,2)$时，$f'(x)>0$，即$f(x)$在$(0,2)$上单调增加；\n当$x\\in(2,+\\infty)$时，$f'(x)<0$，即$f(x)$在$(2,+\\infty)$上单调减少。\n所以，当$a=2$时，函数$f(x)$的单调增加区间为$(0,2)$，单调减少区间为$(2,+\\infty)$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n曲线$y=f(x)$与直线$y=1$有且仅有两个交点，即方程$f(x)=1$有且仅有两个实根。\n即$\\frac{x^{a}}{a^{x}}=1$，即$x^{a}=a^{x}$。\n我们需要求出满足这个方程的$a$的取值范围。<eoe>\n\n【答案】\n由于$x^{a}=a^{x}$，所以$x=a$或$x=a^{\\frac{1}{a-1}}$。\n由于$x>0$，所以$a>1$或$a<0$。\n当$a>1$时，$x=a$和$x=a^{\\frac{1}{a-1}}$是两个不同的实数，满足条件；\n当$a<0$时，$x=a$和$x=a^{\\frac{1}{a-1}}$是两个相同的实数，不满足条件。\n所以，$a$的取值范围为$(1,+\\infty)$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n（1）学生在求导数的过程中出现了错误，正确的导数应该是 $f'(x)=\\frac{x \\cdot 2^{x}(2-x \\ln 2)}{4^{x}}$，而学生给出的导数是 $f'(x)=\\frac{xln2}{2^x}(2-x)$，这是错误的。学生没有正确求出导数，因此无法正确判断单调区间。学生的答案中，单调区间的判断也是错误的，正确的单调递增区间应该是 $\\left(0, \\frac{2}{\\ln 2}\\right]$，单调递减区间应该是 $\\left[\\frac{2}{\\ln 2},+\\infty\\right)$。因此，学生在这一部分得0分。\n\n（2）学生在分析方程 $f(x)=1$ 时，没有正确理解题目中的“有且仅有两个交点”这一条件，错误地将方程简化为 $x=a$ 或 $x=a^{\\frac{1}{a-1}}$，这是错误的。正确的分析应该是将条件转化为方程 $\\frac{\\ln x}{x}=\\frac{\\ln a}{a}$ 有两个不同的实数根，并进一步分析函数 $g(x)=\\frac{\\ln x}{x}$ 的性质。学生没有进行这一步分析，因此在这一部分也得0分。\n\n【得分】\n（1）0分\n（2）0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 106,
            "year": "2021",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 10,
            "question": "22. 在直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\\rho=2 \\sqrt{2} \\cos \\theta$\n\n(1) 将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程;\n\n(2) 设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0), M$ 为 $C$ 上的动点, 点 $P$ 满足 $\\overrightarrow{A P}=\\sqrt{2} \\overrightarrow{A M}$, 写出 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方 程, 并判断 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点.\n",
            "standard_answer": "【详解】(1) 由曲线 $\\mathrm{C}$ 的极坐标方程 $\\rho=2 \\sqrt{2} \\cos \\theta$ 可得 $\\rho^{2}=2 \\sqrt{2} \\rho \\cos \\theta$,\n\n将 $x=\\rho \\cos \\theta, y=\\rho \\sin \\theta$ 代人可得 $x^{2}+y^{2}=2 \\sqrt{2} x$, 即 $(x-\\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$,\n\n即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$;\n\n(2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\\sqrt{2}+\\sqrt{2} \\cos \\theta, \\sqrt{2} \\sin \\theta)$ $\\because \\overrightarrow{A P}=\\sqrt{2} \\overrightarrow{A M}$\n\n$\\therefore(x-1, y)=\\sqrt{2}(\\sqrt{2}+\\sqrt{2} \\cos \\theta-1, \\sqrt{2} \\sin \\theta)=(2+2 \\cos \\theta-\\sqrt{2}, 2 \\sin \\theta)$,\n\n则 $\\left\\{\\begin{array}{l}x-1=2+2 \\cos \\theta-\\sqrt{2} \\\\ y=2 \\sin \\theta\\end{array}\\right.$, 即 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=3-\\sqrt{2}+2 \\cos \\theta \\\\ y=2 \\sin \\theta\\end{array}\\right.$,\n\n故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=3-\\sqrt{2}+2 \\cos \\theta \\\\ y=2 \\sin \\theta\\end{array}\\right.$ ( $\\theta$ 为参数)\n\n$\\because$ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\\sqrt{2}, 0)$, 半径为 $\\sqrt{2}$, 曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\\sqrt{2}, 0)$, 半径为 2 ,\n\n则圆心距为 $3-2 \\sqrt{2}, \\because 3-2 \\sqrt{2}<2-\\sqrt{2}, \\therefore$ 两圆内含,\n\n故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 将曲线 $\\mathrm{C}$ 的极坐标方程化为 $\\rho^{2}=2 \\sqrt{2} \\rho \\cos \\theta$, 将 $x=\\rho \\cos \\theta, y=\\rho \\sin \\theta$ 代人可得;\n\n(2) 设 $P(x, y)$, 设 $M(\\sqrt{2}+\\sqrt{2} \\cos \\theta, \\sqrt{2} \\sin \\theta)$, 根据向量关系即可求得 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程, 求出 两圆圆心距，和半径之差比较可得.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n在极坐标系中，我们知道$\\rho=2 \\sqrt{2} \\cos \\theta$，根据极坐标与直角坐标的转换公式，我们有$x=\\rho \\cos \\theta$，$y=\\rho \\sin \\theta$。将$\\rho=2 \\sqrt{2} \\cos \\theta$代入$x=\\rho \\cos \\theta$，$y=\\rho \\sin \\theta$，我们可以得到直角坐标方程。<eoe>\n\n【答案】 \n代入$x=\\rho \\cos \\theta$，得到$x=2 \\sqrt{2} \\cos^2 \\theta$，同理，代入$y=\\rho \\sin \\theta$，得到$y=2 \\sqrt{2} \\cos \\theta \\sin \\theta$。我们知道$\\cos^2 \\theta = 1 - \\sin^2 \\theta$，$2 \\sin \\theta \\cos \\theta = \\sin 2\\theta$，所以$x=2 \\sqrt{2} (1 - \\sin^2 \\theta)$，$y=\\sqrt{2} \\sin 2\\theta$。将$\\sin^2 \\theta$用$x$表示，得到$\\sin^2 \\theta = 1 - \\frac{x}{2 \\sqrt{2}}$，代入$y=\\sqrt{2} \\sin 2\\theta$，得到$y=2 \\sqrt{2 - x}$。所以，$C$的直角坐标方程为$y=2 \\sqrt{2 - x}$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n由题意知，$\\overrightarrow{A P}=\\sqrt{2} \\overrightarrow{A M}$，即$\\overrightarrow{O P}=\\overrightarrow{O A}+\\overrightarrow{A P}=\\overrightarrow{O A}+\\sqrt{2} \\overrightarrow{A M}$。我们知道点$A$的直角坐标为$(1,0)$，点$M$在曲线$C$上，其极坐标为$(\\rho, \\theta)$，则其直角坐标为$(\\rho \\cos \\theta, \\rho \\sin \\theta)$。所以，$\\overrightarrow{O A}=(1,0)$，$\\overrightarrow{A M}=(\\rho \\cos \\theta-1, \\rho \\sin \\theta)$。将这些代入$\\overrightarrow{O P}=\\overrightarrow{O A}+\\sqrt{2} \\overrightarrow{A M}$，我们可以得到$P$的轨迹$C_{1}$的参数方程。<eoe>\n\n【答案】 \n代入$\\overrightarrow{O A}=(1,0)$，$\\overrightarrow{A M}=(\\rho \\cos \\theta-1, \\rho \\sin \\theta)$，得到$\\overrightarrow{O P}=(1+\\sqrt{2}(\\rho \\cos \\theta-1), \\sqrt{2} \\rho \\sin \\theta)$。所以，$P$的轨迹$C_{1}$的参数方程为$x=1+\\sqrt{2}(\\rho \\cos \\theta-1)$，$y=\\sqrt{2} \\rho \\sin \\theta$。将$\\rho=2 \\sqrt{2} \\cos \\theta$代入，得到$x=1+2(\\cos \\theta-1)$，$y=2 \\sqrt{2} \\sin \\theta \\cos \\theta$。化简得到$x=2-2 \\cos \\theta$，$y=2 \\sin 2\\theta$。这就是$P$的轨迹$C_{1}$的参数方程。由于$C$和$C_{1}$的参数方程形式不同，所以$C$与$C_{1}$没有公共点。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在将极坐标方程转换为直角坐标方程的过程中，使用了错误的方法。学生将 $\\rho=2\\sqrt{2}\\cos\\theta$ 代入 $x=\\rho\\cos\\theta$ 和 $y=\\rho\\sin\\theta$ 后，错误地得到了 $x=2\\sqrt{2}\\cos^2\\theta$ 和 $y=2\\sqrt{2}\\cos\\theta\\sin\\theta$，并且错误地使用了 $\\sin^2\\theta=1-\\frac{x}{2\\sqrt{2}}$，最终得到了错误的直角坐标方程 $y=2\\sqrt{2-x}$。正确的方法是将 $\\rho^2=2\\sqrt{2}\\rho\\cos\\theta$ 代入 $x=\\rho\\cos\\theta$ 和 $y=\\rho\\sin\\theta$，得到 $x^2+y^2=2\\sqrt{2}x$，然后化简为 $(x-\\sqrt{2})^2+y^2=2$。因此，学生在这一部分得0分。\n\n(2) 学生在求解 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程时，正确地使用了向量关系 $\\overrightarrow{AP}=\\sqrt{2}\\overrightarrow{AM}$，但是在计算过程中出现了错误。学生没有正确地将 $M$ 点的坐标代入，导致得到了错误的参数方程。正确的参数方程应该是 $x=3-\\sqrt{2}+2\\cos\\theta$ 和 $y=2\\sin\\theta$。此外，学生在判断 $C$ 与 $C_1$ 是否有公共点时，没有正确地计算两个圆的圆心距和半径之差，而是错误地基于参数方程的形式不同来判断，这是不正确的。因此，学生在这一部分也得0分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 107,
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "17.某厂研制了一种生产高精产品的设备, 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高, 用 一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品, 得到产品该项指标数据如下：\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline 旧设备 & 9.8 & 10.3 & 10.0 & 10.2 & 9.9 & 9.8 & 10.0 & 10.1 & 10.2 & 9.7 \\\\\n\\hline 新设备 & 10.1 & 10.4 & 10.1 & 10.0 & 10.1 & 10.3 & 10.6 & 10.5 & 10.4 & 10.5 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\\bar{x}$ 和 $\\bar{y}$, 样本方差分别 曰为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$\n\n(1) 求 $\\bar{x}, \\bar{y}, s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ :\n\n（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\\bar{y}-\\bar{x} \\geq 2 \\sqrt{\\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$, 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否 则不认为有显著提高）。\n",
            "standard_answer": "解析\n\n解析:\n\n(1) 各项所求值如下所示.\n\n$\\bar{x}=\\frac{1}{10}(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0$ $\\bar{y}=\\frac{1}{10}(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3$ $s_{1}^{2}=\\frac{1}{10} \\times\\left[(9.7-10.0)^{2}+2 \\times(9.8-10.0)^{2}+(9.9-10.0)^{2}+2 \\times(10.0-10.0)^{2}+(10.1-10.0)^{2}\\right.$ $\\left.+2 \\times(10.2-10.0)^{2}+(10.3-10.0)^{2}\\right]=0.036$ $s_{2}^{2}=\\frac{1}{10} \\times\\left[(10.0-10.3)^{2}+3 \\times(10.1-10.3)^{2}+(10.3-10.3)^{2}+2 \\times(10.4-10.3)^{2}+\\right.$\n\n$\\left.2 \\times(10.5-10.3)^{2}+(10.6-10.3)^{2}\\right]=0.04$\n\n（2）由（1）中数据得 $\\bar{y}-\\bar{x}=0.3,2 \\sqrt{\\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}} \\approx 0.34$. 显然 $\\bar{y}-\\bar{x}<2 \\sqrt{\\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$. 所以不认为 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。\n",
            "analysis": "\n",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要计算旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数，即 $\\bar{x}$ 和 $\\bar{y}$。然后，我们需要计算旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本方差，即 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$。样本平均数的计算公式为：$\\bar{x}=\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}x_{i}$，样本方差的计算公式为：$S^{2}=\\frac{1}{n-1}\\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\\bar{x})^{2}$。<eoe>\n\n【答案】首先计算样本平均数 $\\bar{x}$ 和 $\\bar{y}$：\n$\\bar{x}=\\frac{1}{10}(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0$，\n$\\bar{y}=\\frac{1}{10}(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3$。\n\n然后计算样本方差 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$：\n$S_{1}^{2}=\\frac{1}{10-1}[(9.8-10.0)^{2}+(10.3-10.0)^{2}+(10.0-10.0)^{2}+(10.2-10.0)^{2}+(9.9-10.0)^{2}+(9.8-10.0)^{2}+(10.0-10.0)^{2}+(10.1-10.0)^{2}+(10.2-10.0)^{2}+(9.7-10.0)^{2}]=0.02$，\n$S_{2}^{2}=\\frac{1}{10-1}[(10.1-10.3)^{2}+(10.4-10.3)^{2}+(10.1-10.3)^{2}+(10.0-10.3)^{2}+(10.1-10.3)^{2}+(10.3-10.3)^{2}+(10.6-10.3)^{2}+(10.5-10.3)^{2}+(10.4-10.3)^{2}+(10.5-10.3)^{2}]=0.03$。\n\n所以，$\\bar{x}=10.0$，$\\bar{y}=10.3$，$S_{1}^{2}=0.02$，$S_{2}^{2}=0.03$。<eoa>\n\n(2)【解析】接下来，我们需要判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高。根据题目给出的条件，如果 $\\bar{y}-\\bar{x} \\geq 2 \\sqrt{\\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高。<eoe>\n\n【答案】根据题目给出的条件，我们需要计算 $\\bar{y}-\\bar{x}$ 和 $2 \\sqrt{\\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$ 的值：\n$\\bar{y}-\\bar{x}=10.3-10.0=0.3$，\n$2 \\sqrt{\\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}=2 \\sqrt{\\frac{0.02+0.03}{10}}=0.14$。\n\n因为 $\\bar{y}-\\bar{x}=0.3 > 2 \\sqrt{\\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}=0.14$，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在计算样本方差时使用了错误的公式，即使用了 $n-1$ 作为除数而不是 $n$。这是一个常见的错误，因为在计算样本方差时应该使用 $n$ 作为除数。因此，学生给出的 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ 的值是错误的。对于 $\\bar{x}$ 和 $\\bar{y}$ 的计算，学生给出了正确的值。因此，学生在这一部分的得分应该是部分得分。\n\n(2) 存在两个错误：首先，学生在计算 $2 \\sqrt{\\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$ 时使用了错误的样本方差值；其次，即使使用了正确的样本方差值，学生也没有正确地计算出这个表达式的值，应该是 $0.34$ 而不是 $0.14$。此外，学生的结论与标准答案相反，因为实际上 $\\bar{y}-\\bar{x}$ 小于 $2 \\sqrt{\\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$，所以新设备生产产品的该项指标的均值并没有显著提高。因此，学生在这一部分没有得分。\n\n【得分】\n(1) 对于 $\\bar{x}$ 和 $\\bar{y}$ 的正确计算，每个给 1 分，共 2 分。对于错误的方差计算，不给分。因此，这一部分学生得 2 分。\n\n(2) 由于学生的计算和结论都是错误的，这一部分学生得 0 分。\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 108,
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "19. 记 $S_{n}$ 为数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, $b_{n}$ 为数列 $\\left\\{S_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项积, 已知 $\\frac{2}{S_{n}}+\\frac{1}{b_{n}}=2$.\n\n(1) 证明：数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 是等差数列;\n\n(2) 求 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式.\n",
            "standard_answer": "解析\n\n解析:\n\n(1) 由已知 $\\frac{2}{S_{n}}+\\frac{1}{b_{n}}=2$, 则 $\\frac{b_{n}}{b_{n-1}}=S_{n}(n \\geq 2)$,\n\n$\\Rightarrow \\frac{2 b_{n-1}}{b_{n}}+\\frac{1}{b_{n}}=2 \\Rightarrow 2 b_{n-1}+2=2 b_{n} \\Rightarrow b_{n}-b_{n-1}=\\frac{1}{2}(n \\geq 2), \\quad b_{1}=\\frac{3}{2}$,\n\n故 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 是以 $\\frac{3}{2}$ 为首项, $\\frac{1}{2}$ 为公差的等差数列.\n\n(2) 由 (1) 知 $b_{n}=\\frac{3}{2}+(n-1) \\frac{1}{2}=\\frac{n+2}{2}$, 则 $\\frac{2}{S_{n}}+\\frac{2}{n+2}=2 \\Rightarrow S_{n}=\\frac{n+2}{n+1}$,\n\n$n=1$ 时, $a_{1}=S_{1}=\\frac{3}{2}, \\quad n \\geq 2$ 时, $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\\frac{n+2}{n+1}-\\frac{n+1}{n}=-\\frac{1}{n(n+1)}$, 故 $a_{n}=\\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{3}{2}, n=1 \\\\ -\\frac{1}{n(n+1)}, n \\geq 2\\end{array}\\right.$.\n",
            "analysis": "\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们可以将已知的等式 $\\frac{2}{S_{n}}+\\frac{1}{b_{n}}=2$ 进行变形，得到 $b_{n}=\\frac{S_{n}}{2-S_{n}}$。然后我们可以考虑计算 $b_{n+1}-b_{n}$，如果结果为常数，那么数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 就是等差数列。<eoe>\n\n【答案】\n我们有 $b_{n+1}-b_{n}=\\frac{S_{n+1}}{2-S_{n+1}}-\\frac{S_{n}}{2-S_{n}}=\\frac{S_{n+1}(2-S_{n})-S_{n}(2-S_{n+1})}{(2-S_{n+1})(2-S_{n})}=\\frac{2S_{n+1}-S_{n+1}S_{n}-2S_{n}+S_{n}S_{n+1}}{(2-S_{n+1})(2-S_{n})}=\\frac{S_{n+1}-S_{n}}{(2-S_{n+1})(2-S_{n})}=\\frac{a_{n+1}}{(2-S_{n+1})(2-S_{n})}$。\n\n由于 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$，所以 $a_{n+1}=\\frac{b_{n+1}(2-S_{n+1})}{2}$，所以 $b_{n+1}-b_{n}=\\frac{a_{n+1}}{(2-S_{n+1})(2-S_{n})}=\\frac{b_{n+1}(2-S_{n+1})}{2(2-S_{n+1})(2-S_{n})}=\\frac{b_{n+1}}{2(2-S_{n})}$。\n\n因此，$b_{n+1}-b_{n}=\\frac{b_{n+1}}{2(2-S_{n})}$，这是一个常数，所以数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 是等差数列。<eoa>\n\n(2)【解析】\n由于数列 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 是等差数列，所以它的差值是常数，即 $b_{n+1}-b_{n}=d$，其中 $d$ 是常数。由此，我们可以得到 $b_{n+1}=b_{n}+d$。将 $b_{n}=\\frac{S_{n}}{2-S_{n}}$ 代入，得到 $\\frac{S_{n+1}}{2-S_{n+1}}=\\frac{S_{n}}{2-S_{n}}+d$。然后我们可以解出 $S_{n+1}$，并由 $S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}$ 得到 $a_{n+1}$ 的表达式。<eoe>\n\n【答案】\n由 $b_{n+1}=b_{n}+d$，我们有 $\\frac{S_{n+1}}{2-S_{n+1}}=\\frac{S_{n}}{2-S_{n}}+d$。解出 $S_{n+1}$，得到 $S_{n+1}=\\frac{2S_{n}+d(2-S_{n})(2-S_{n+1})}{2-d(2-S_{n+1})}$。\n\n由 $S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}$，我们得到 $a_{n+1}=\\frac{2S_{n}+d(2-S_{n})(2-S_{n+1})}{2-d(2-S_{n+1})}-S_{n}$。\n\n因此，数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式为 $a_{n+1}=\\frac{2S_{n}+d(2-S_{n})(2-S_{n+1})}{2-d(2-S_{n+1})}-S_{n}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解答第一问时，尝试通过变形原始等式来证明 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 是等差数列。学生的分析过程中出现了错误，他们错误地将 $b_{n}$ 表示为 $\\frac{S_{n}}{2-S_{n}}$，这是不正确的。正确的变形应该是 $b_{n}=\\frac{S_{n}}{2-\\frac{2}{S_{n}}}$。学生的分析没有得出正确的结论，也没有正确地证明 $\\left\\{b_{n}\\right\\}$ 是等差数列。因此，第一问的解答是错误的，不给分。\n\n(2) 学生在解答第二问时，尝试通过等差数列的性质来求解 $a_{n}$ 的通项公式。然而，由于第一问的错误，学生的分析基于错误的前提，因此无法得出正确的通项公式。学生的答案与标准答案不符，因此第二问的解答也是错误的，不给分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 109,
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "20. 设函数 $f(x)=\\ln (a-x)$, 已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点.\n\n(1) 求 $a$;\n\n(2) 设函数 $g(x)=\\frac{x+f(x)}{x f(x)}$, 证明: $g(x)<1$.\n",
            "standard_answer": "解析\n\n解析:\n\n(1) 令 $h(x)=x f(x)=x \\ln (a-x)$\n\n则 $h^{\\prime}(x)=\\ln (a-x)-\\frac{x}{a-x}$.\n\n$\\because x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点.\n\n$\\therefore h^{\\prime}(0)=0$.\n\n解得: $a=1$;\n\n(2) 由 (1) 可知: $f(x)=\\ln (1-x)$\n\n$g(x)=\\frac{x+f(x)}{x f(x)}=\\frac{1}{f(x)}+\\frac{1}{x}$\n\n要证 $g(x)<1$, 即证 $\\frac{1}{f(x)}+\\frac{1}{x}<1 \\Leftrightarrow \\frac{1}{\\ln (1-x)}+\\frac{1-x}{x}<0 \\quad(x<1$ 且 $x \\neq 0)$\n\n$\\Leftrightarrow \\frac{x+(1-x) \\ln (1-x)}{x \\ln (1-x)}<0$\n\n$\\because$ 当 $x<0$ 时, $x \\cdot \\ln (1-x)<0$.\n\n当 $0<x<1$ 时, $x \\cdot \\ln (1-x)<0$.\n\n$\\therefore$ 只需证明 $x+(1-x) \\ln (1-x)>0$\n\n令 $H(x)=x+(1-x) \\ln (1-x)$ ，且易知 $H(0)=0$. 则 $H^{\\prime}(x)=1-\\ln (1-x)+\\frac{-1}{1-x}(1-x)=-\\ln (1-x)$\n\n（i）当 $x<0$ 时, 易得 $H^{\\prime}(x)<0$, 则 $H(x)$ 在 $(-\\infty, 0)$ 上单调递减,\n\n$\\because H(0)=0, \\therefore H(x)>H(0)=0$, 得证.\n\n(ii) 当 $0<x<1$ 时, 易得 $H^{\\prime}(x)>0$, 则 $H(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增.\n\n$\\because H(0)=0, \\therefore H(x)>H(0)=0$, 得证.\n\n综上证得 $g(x)<1$.\n",
            "analysis": "\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n题目给出 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点，由于 $f(x)=\\ln (a-x)$，所以 $y=x \\ln (a-x)$。我们知道，函数在极值点处的导数为0，所以我们可以通过求导数并令其等于0来求解 $a$。<eoe>\n\n【答案】\n首先求函数 $y=x \\ln (a-x)$ 的导数，利用乘法公式 $(u v)'=u'v+uv'$，得到\n$y'=\\ln (a-x)+x \\frac{-1}{a-x}$。\n因为 $x=0$ 是函数的极值点，所以当 $x=0$ 时，$y'=0$，即\n$\\ln (a-0)+0 \\frac{-1}{a-0}=0$，\n解得 $a=1$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n题目要求证明 $g(x)=\\frac{x+f(x)}{x f(x)}<1$，我们可以通过化简 $g(x)$ 来证明这个不等式。我们知道，$f(x)=\\ln (a-x)$，所以 $g(x)=\\frac{x+\\ln (a-x)}{x \\ln (a-x)}$。我们可以将 $g(x)$ 分解为两个部分，然后分别证明每个部分都小于1。<eoe>\n\n【答案】\n首先，将 $g(x)$ 分解为两个部分，得到\n$g(x)=\\frac{x}{x \\ln (a-x)}+\\frac{\\ln (a-x)}{x \\ln (a-x)}=1+\\frac{1}{x}$。\n由于 $x>0$，所以 $\\frac{1}{x}>0$，所以 $g(x)>1$。\n然而，这与题目要求的 $g(x)<1$ 矛盾，所以题目中的第二部分有误，$g(x)$ 并不总是小于1。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解答第一部分时，正确地使用了导数等于零的条件来求解 $a$，并得出了正确的答案 $a=1$。因此，第一部分给满分。\n\n(2) 学生在解答第二部分时，错误地将 $g(x)$ 分解并错误地得出了 $g(x)>1$ 的结论，这与题目要求的证明 $g(x)<1$ 相矛盾。学生的解答过程和结论都是错误的，因此第二部分不得分。\n\n【得分】\n(1) 第一部分正确，给满分。\n(2) 第二部分错误，不得分。\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 110,
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "21.已知抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$, 且 $F$ 与圆 $M: x^{2}+(y+4)^{2}=1$ 上点的 距离的最小值为 4 .\n\n(1) 求 $p$;\n\n(2) 若点 $P$ 在 $M$ 上, $P A, P B$ 是 $C$ 的两条切线, $A, B$ 是切点, 求 $\\triangle P A B$ 面积的最 大值.\n",
            "standard_answer": "解析\n\n解析:\n\n(1) 焦点 $F\\left(0, \\frac{p}{2}\\right)$ 到 $x^{2}+(y+4)^{2}=1$ 的最短距离为 $\\frac{p}{2}+3=4$, 所以 $p=2$.\n\n（2）抛物线 $y=\\frac{1}{4} x^{2}$, 设 $A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right), P\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$, 得\n\n$l_{P A}: \\quad y=\\frac{1}{2} x_{1}\\left(x-x_{1}\\right)+y_{1}=\\frac{1}{2} x_{1} x-\\frac{1}{4} x_{1}^{2}=\\frac{1}{2} x_{1} x-y_{1}$\n\n$l_{P B}: y=\\frac{1}{2} x_{2} x-y_{2}$, 且 $x_{0}^{2}=-y_{0}^{2}-8 y_{0}-15$,\n\n$l_{P A}, l_{P B}$ 都过点 $P\\left(x_{0}, y_{0}\\right)$, 则 $\\left\\{\\begin{array}{l}y_{0}=\\frac{1}{2} x_{1} x_{0}-y_{1} \\\\ y_{0}=\\frac{1}{2} x_{2} x_{0}-y_{2}\\end{array}\\right.$,\n\n故 $l_{A B}: y_{0}=\\frac{1}{2} x_{0} x-y$, 即 $y=\\frac{1}{2} x_{0} x-y_{0}$,\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y=\\frac{1}{2} x_{0} x-y_{0} \\\\ x^{2}=4 y\\end{array}\\right.$, 得 $x^{2}-2 x_{0} x+4 y_{0}=0, \\Delta=4 x_{0}^{2}-16 y_{0}$, 所以 $|A B|=\\sqrt{1+\\frac{x_{0}{ }^{2}}{4}} \\cdot \\sqrt{4 x_{0}{ }^{2}-16 y_{0}}=\\sqrt{4+x_{0}{ }^{2}} \\cdot \\sqrt{x_{0}{ }^{2}-4 y_{0}}$,\n\n$d_{P \\rightarrow A B}=\\frac{\\left|x_{0}^{2}-4 y_{0}\\right|}{\\sqrt{x_{0}^{2}+4}}$, 所以\n\n$S_{\\triangle P A B}=\\frac{1}{2}|A B| \\cdot d_{P \\rightarrow A B}=\\frac{1}{2}\\left|x_{0}^{2}-4 y_{0}\\right| \\cdot \\sqrt{x_{0}^{2}-4 y_{0}}$\n\n$=\\frac{1}{2}\\left(x_{0}^{2}-4 y_{0}\\right)^{\\frac{3}{2}}=\\frac{1}{2}\\left(-y_{0}^{2}-12 y_{0}-15\\right)^{\\frac{3}{2}}$\n\n而 $y_{0} \\in[-5,-3]$, 故当 $y_{0}=-5$ 时, $S_{\\triangle P A B}$ 达到最大, 最大值为 $20 \\sqrt{5}$.\n\n",
            "analysis": "\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n抛物线的焦点F的坐标为(0,p)，圆M的圆心O的坐标为(0,-4)。由于F到圆M上任意一点的距离的最小值为4，所以F到O的距离等于4加上圆的半径1，即FO=5。由于F和O在y轴上，所以FO的长度等于他们的y坐标之差的绝对值，即|p-(-4)|=5。<eoe>\n【答案】\n解得p=1或p=9。<eoa>\n\n(2)【解析】\n由于题目中没有给出p的具体值，所以我们需要分别考虑p=1和p=9两种情况。\n\n当p=1时，抛物线的焦点F的坐标为(0,1)，圆的圆心O的坐标为(0,-4)，所以FO=5。由于P到F的距离的最小值为4，所以P到O的距离的最大值为FO+4=9。由于P在圆上，所以P到O的距离的最大值等于圆的半径，即r=9。由于△PAB的面积等于1/2*PA*PB，而PA=PB=r，所以△PAB的面积的最大值为1/2*r^2=1/2*9^2=40.5。\n\n当p=9时，抛物线的焦点F的坐标为(0,9)，圆的圆心O的坐标为(0,-4)，所以FO=13。由于P到F的距离的最小值为4，所以P到O的距离的最大值为FO+4=17。由于P在圆上，所以P到O的距离的最大值等于圆的半径，即r=17。由于△PAB的面积等于1/2*PA*PB，而PA=PB=r，所以△PAB的面积的最大值为1/2*r^2=1/2*17^2=144.5。\n\n所以，△PAB的面积的最大值为max{40.5, 144.5}=144.5。<eoe>\n【答案】\n△PAB的面积的最大值为144.5。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生的解析中，焦点F的坐标错误地写为了(0,p)，正确的坐标应该是(0,p/2)。学生得出了p=1或p=9的结论，这与标准答案中p=2的结果不符。因此，该部分答案完全错误，不得分。\n\n(2) 学生的解析中，没有正确理解题目条件，错误地使用了p=1和p=9两个值来进行分析，而实际上根据第一问的正确答案，p应该是2。学生的解析方法也与标准答案不符，没有正确使用抛物线的性质和切线方程来求解。因此，该部分答案也完全错误，不得分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 111,
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "22. 在直角坐标系 $x O y$ 中, $\\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$, 半径为 1 .\n(1) 写出 $\\odot C$ 的一个参数方程;\n(2) 过点 $F(4,1)$ 作 $\\odot C$ 的两条切线. 以坐标原点为极点, $X$ 轴正半轴为极轴建立坐标系, 求 这两条切线的极坐标方程.\n",
            "standard_answer": "答案:\n见解析\n解析:\n(1) $\\odot C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=2+\\cos \\theta \\\\ y=1+\\sin \\theta\\end{array}\\right.$ ( $\\theta$ 为参数 $)$\n(2) $\\odot C$ 的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$\n(1)当直线斜率不存在时, 直线方程为 $x=4$, 此时圆心到直线距离为 $2>r$, 舍去;\n(2)当直线斜率存在时, 设直线方程为 $y-1=k(x-4)$, 化简为 $k x-y-4 k+1=0$,\n此时圆心 $C(2,1)$ 到直线的距离为 $d=\\frac{|2 k-1-4 k+1|}{\\sqrt{k^{2}+1}}=r=1$,\n化简得 $2|k|=\\sqrt{k^{2}+1}$ ，\n两边平方有 $4 k^{2}=k^{2}+1$, 所以 $k= \\pm \\frac{\\sqrt{3}}{3}$.\n代人直线方程并化简得 $x-\\sqrt{3} y+\\sqrt{3}-4=0$ 或 $x+\\sqrt{3} y-\\sqrt{3}-4=0$ 化为极坐标方程为 $\\rho \\cos \\theta-\\sqrt{3} \\rho \\sin \\theta=4-\\sqrt{3} \\Leftrightarrow \\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{5 \\pi}{6}\\right)=4-\\sqrt{3}$\n或 $\\rho \\cos \\theta+\\sqrt{3} \\rho \\sin \\theta=4+\\sqrt{3} \\Leftrightarrow \\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{6}\\right)=4+\\sqrt{3}$.\n",
            "analysis": "",
            "model_output": "(1)【解析】\n对于一个圆，其参数方程可以表示为$x=a+r\\cos\\theta$，$y=b+r\\sin\\theta$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径，$\\theta$为参数。<eoe>\n【答案】\n对于圆$\\odot C$，其圆心为$C(2,1)$，半径为1，所以其参数方程为$x=2+\\cos\\theta$，$y=1+\\sin\\theta$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n对于一个点到圆的切线，其切线的斜率可以通过切线公式$m=\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$求得，其中$(x_1,y_1)$为圆心坐标，$(x_2,y_2)$为切点坐标。然后通过点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$求得切线的直线方程。在极坐标系中，直线的极坐标方程可以表示为$r\\cos(\\theta-\\alpha)=p$，其中$\\alpha$为直线与极轴的夹角，$p$为直线到极点的距离。<eoe>\n【答案】\n对于点$F(4,1)$到圆$\\odot C$的切线，由于$F$在圆外，所以存在两条切线。我们可以通过求解二次方程得到切点坐标，然后求得切线的斜率，再得到切线的直线方程。然后将直线方程转换为极坐标方程。具体步骤如下：\n\n设切点为$(x,y)$，由于$(x,y)$在圆上，所以有$(x-2)^2+(y-1)^2=1$。又因为$CF$垂直于切线，所以有$\\frac{y-1}{x-2}=\\frac{1-y}{4-x}$。解这两个方程，我们可以得到切点坐标，然后求得切线的斜率，再得到切线的直线方程。\n\n然后我们需要将直线方程转换为极坐标方程。由于极轴为$x$轴，所以直线与极轴的夹角$\\alpha$就是直线的斜率，直线到极点的距离$p$就是直线的截距。所以我们可以得到切线的极坐标方程。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生给出了正确的参数方程$x=2+\\cos\\theta$，$y=1+\\sin\\theta$，与标准答案一致，因此该部分给满分。\n\n(2) 学生没有给出具体的切点坐标、切线斜率、直线方程以及最终的极坐标方程。学生的解析中提到了正确的概念，如切线斜率的求法和极坐标方程的形式，但没有给出具体的计算过程和答案。因此，该部分不能给分。\n\n【得分】\n(1) 5分\n(2) 0分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 112,
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 10,
            "question": "23.已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$.\n(1) 当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \\geq 6$ 的解集;\n(2) 若 $f(x)>-a$, 求 $a$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "答案:\n见解析\n解析:\n当 $a=1$ 时, $f(x) \\geq 6 \\Leftrightarrow|x-1|+|x+3| \\geq 6$,\n当 $x \\leq-3$ 时, 不等式 $\\Leftrightarrow 1-x-x-3 \\geq 6$, 解得 $x \\leq-4$;\n当 $-3<x<1$ 时, 不等式 $\\Leftrightarrow 1-x+x+3 \\geq 6$, 解得 $x \\in \\varnothing$;\n当 $x \\geq 1$ 时, 不等式 $\\Leftrightarrow x-1+x+3 \\geq 6$, 解得 $x \\geq 2$.\n综上, 原不等式的解集为 $(-\\infty,-4] \\cup[2,+\\infty)$.\n(2) 若 $f(x)>-a$, 即 $f(x)_{\\min }>-a$,\n因为 $f(x)=|x-a|+|x+3| \\geq|(x-a)-(x+3)|=|a+3|$ （当且仅当 $(x-a)(x+3) \\leq 0$ 时,\n等号成立), 所以 $f(x)_{\\text {min }}=|a+3|$, 所以 $|a+3|>-a$, 即 $a+3<a$ 或 $a+3>-a$, 解得 $a \\in\\left(-\\frac{3}{2},+\\infty\\right)$",
            "analysis": "",
            "model_output": "(1)【解析】首先，我们需要找出函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$ 的分段点。当 $a=1$ 时，函数的分段点为 $x=-3$ 和 $x=1$。然后，我们需要在每个分段区间内求解不等式 $f(x) \\geq 6$。<eoe>\n【答案】当 $x \\leq -3$ 时，$f(x)=-(x-1)-(x+3)=4-2x$，解得 $x \\leq -1$；\n当 $-3 < x < 1$ 时，$f(x)=-(x-1)+(x+3)=4$，无解；\n当 $x \\geq 1$ 时，$f(x)=(x-1)+(x+3)=2x+2$，解得 $x \\geq 2$。\n所以，不等式 $f(x) \\geq 6$ 的解集为 $(-\\infty, -1] \\cup [2, +\\infty)$。<eoa>\n\n(2)【解析】首先，我们需要找出函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$ 的分段点，即 $x=-3$ 和 $x=a$。然后，我们需要在每个分段区间内求解不等式 $f(x)>-a$。<eoe>\n【答案】当 $x \\leq -3$ 时，$f(x)=-(x-a)-(x+3)=a-2x-3$，解得 $a > 2x+3$；\n当 $-3 < x < a$ 时，$f(x)=-(x-a)+(x+3)=3$，解得 $a > -3$；\n当 $x \\geq a$ 时，$f(x)=(x-a)+(x+3)=2x+3-a$，解得 $a < 2x+3$。\n所以，$a$ 的取值范围为 $(-\\infty, -3) \\cup (-3, +\\infty)$，即 $a$ 可以是任意实数。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析过程中正确找出了函数的分段点，但在求解不等式时犯了错误。对于 $x \\leq -3$ 的情况，学生得出了错误的解 $x \\leq -1$，而正确的解应该是 $x \\leq -4$。对于 $-3 < x < 1$ 的情况，学生正确地得出了无解。对于 $x \\geq 1$ 的情况，学生正确地得出了解 $x \\geq 2$。因此，学生给出的解集 $(-\\infty, -1] \\cup [2, +\\infty)$ 是错误的，正确的解集应该是 $(-\\infty, -4] \\cup [2, +\\infty)$。由于学生的解集中包含了正确解的一部分，可以给予部分分数。\n\n(2) 学生在解析过程中没有正确理解题目的要求。题目要求求解 $f(x)>-a$ 对所有 $x$ 成立时 $a$ 的取值范围，而不是分段求解。学生的解答过程和结论都是错误的。正确的解答应该是考虑函数的最小值 $|a+3|>-a$，从而得出 $a$ 的取值范围为 $(-\\frac{3}{2}, +\\infty)$。学生的答案与正确答案完全不符，因此这一部分不给分。\n\n【得分】\n(1) 部分正确，可以给予一半分数，即 2.5 分。\n(2) 完全错误，不给分。\n\n【总分】2.5分",
            "model_correction_score": [
                2.5
            ]
        },
        {
            "index": 113,
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "score": 10,
            "question": "17. 记 $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\\sin C \\sin (A-B)=\\sin B \\sin (C-A)$.\n\n(1) 证明: $2 a^{2}=b^{2}+c^{2}$;\n\n(2) 若 $a=5, \\cos A=\\frac{25}{31}$, 求 $\\triangle A B C$ 的周长.\n",
            "standard_answer": "【小问 1 详解】}\n\n证明: 因为 $\\sin C \\sin (A-B)=\\sin B \\sin (C-A)$,\n\n所以 $\\sin C \\sin A \\cos B-\\sin C \\sin B \\cos A=\\sin B \\sin C \\cos A-\\sin B \\sin A \\cos C$,\n\n所以 $a c \\cdot \\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}-2 b c \\cdot \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=-a b \\cdot \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$,\n\n即 $\\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}-\\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right)=-\\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}$,\n\n所以 $2 a^{2}=b^{2}+c^{2}$; \n\n【小问 2 详解】}\n\n解: 因为 $a=5, \\cos A=\\frac{25}{31}$,\n\n由 (1) 得 $b^{2}+c^{2}=50$,\n\n由余弦定理可得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A$,\n\n则 $50-\\frac{50}{31} b c=25$ ，\n\n所以 $b c=\\frac{31}{2}$,\n\n故 $(b+c)^{2}=b^{2}+c^{2}+2 b c=50+31=81$,\n\n所以 $b+c=9$,\n\n所以 $\\triangle A B C$ 的周长为 $a+b+c=14$.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 利用两角差的正弦公式化简, 再根据正弦定理和余弦定理化角为边, 从而即可 得证;\n\n(2) 根据 (1) 的结论结合余弦定理求出 $b c$, 从而可求得 $b+c$, 即可得解.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n根据题目给出的条件，我们有 $\\sin C \\sin (A-B)=\\sin B \\sin (C-A)$。我们可以将这个等式进行变形，得到 $\\sin C \\sin A \\cos B - \\sin C \\cos A \\sin B = \\sin B \\sin C \\cos A - \\sin B \\cos C \\sin A$。然后我们可以将这个等式进一步变形，得到 $\\sin C \\cos B - \\cos A \\sin B = \\sin B \\cos A - \\sin C \\sin A$。再将这个等式变形，我们可以得到 $\\sin C \\cos B - \\sin B \\cos A = \\sin C \\sin A - \\sin B \\cos A$。再将这个等式变形，我们可以得到 $\\sin C \\cos B - \\sin C \\sin A = \\sin B \\cos A - \\sin B \\cos A$。再将这个等式变形，我们可以得到 $\\sin C (\\cos B - \\sin A) = \\sin B (\\cos A - \\cos A)$。再将这个等式变形，我们可以得到 $\\sin C (\\cos B - \\sin A) = 0$。因此，我们可以得到 $\\cos B = \\sin A$ 或 $\\sin C = 0$。如果 $\\sin C = 0$，那么 $C = 0$ 或 $C = \\pi$，这与三角形的性质相矛盾，所以 $\\cos B = \\sin A$。根据正弦定理，我们有 $a = 2R \\sin A$，$b = 2R \\sin B$，$c = 2R \\sin C$，其中 $R$ 是三角形的外接圆半径。将 $\\cos B = \\sin A$ 代入这些等式，我们可以得到 $a = b \\cos C + c \\cos B$。再将这个等式变形，我们可以得到 $a^2 = b^2 \\cos^2 C + 2bc \\cos B \\cos C + c^2 \\cos^2 B$。根据余弦定理，我们有 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \\cos B$，$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos C$。将这些等式代入上面的等式，我们可以得到 $2a^2 = b^2 + c^2$。<eoe>\n【答案】根据以上的解析，我们可以证明 $2a^2 = b^2 + c^2$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n根据题目给出的条件，我们有 $a = 5$，$\\cos A = \\frac{25}{31}$。根据余弦定理，我们有 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \\cos A$。将已知的值代入这个等式，我们可以得到 $b^2 = 5^2 + c^2 - 2 \\times 5 \\times c \\times \\frac{25}{31}$。解这个方程，我们可以得到 $b = \\sqrt{c^2 - \\frac{50c}{31} + 25}$。根据正弦定理，我们有 $b = 2R \\sin B$，$c = 2R \\sin C$。将这些等式代入上面的等式，我们可以得到 $2R \\sin B = \\sqrt{(2R \\sin C)^2 - \\frac{50 \\times 2R \\sin C}{31} + 25}$。解这个方程，我们可以得到 $R = \\frac{5}{2} \\sqrt{31}$。因此，三角形的周长为 $a + b + c = 2R (\\sin A + \\sin B + \\sin C) = 2 \\times \\frac{5}{2} \\sqrt{31} (\\sin A + \\sin B + \\sin C)$。<eoe>\n【答案】根据以上的解析，我们可以得到三角形的周长为 $5 \\sqrt{31} (\\sin A + \\sin B + \\sin C)$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析中的推导过程存在错误。学生在变形过程中错误地将 $\\sin C \\sin (A-B)=\\sin B \\sin (C-A)$ 变形为 $\\sin C (\\cos B - \\sin A) = 0$，这是不正确的。正确的变形应该是利用两角差的正弦公式化简，然后根据正弦定理和余弦定理化角为边。学生的推导没有得到正确的结论 $2a^2 = b^2 + c^2$，因此这部分给0分。\n\n(2) 学生在解析中没有正确使用(1)的结论，而是尝试直接使用余弦定理解方程，这是不正确的。学生的解析中存在多个错误，包括错误的代入余弦定理和错误的解方程方法。学生的答案也没有给出具体的数值结果，而是错误地给出了一个包含 $\\sin A + \\sin B + \\sin C$ 的表达式，这与正确答案不符。因此这部分给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 114,
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "score": 10,
            "question": "19. 某地经过多年的环境治理, 已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材 积量, 随机选取了 10 棵这种树木, 测量每棵树的根部横截面积 (单位: $\\mathrm{m}^{2}$ ) 和材积量 (单 位: $\\left.\\mathrm{m}^{3}\\right)$, 得到如下数据:\n\n\\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline 样本号 $\\mathrm{i}$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 总和 \\\\\n\\hline 根部横截面积 $x_{\\mathrm{i}}$ & 0.04 & 0.06 & 0.04 & 0.08 & 0.08 & 0.05 & 0.05 & 0.07 & 0.07 & 0.06 & 0.6 \\\\\n\\hline 材积量 $y_{i}$ & 0.25 & 0.40 & 0.22 & 0.54 & 0.51 & 0.34 & 0.36 & 0.46 & 0.42 & 0.40 & 3.9 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n并计算得 $\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} x_{\\mathrm{i}}^{2}=0.038, \\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} y_{\\mathrm{i}}^{2}=1.6158, \\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} x_{\\mathrm{i}} y_{\\mathrm{i}}=0.2474$.\n\n(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;\n\n(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 (精确到 0.01);\n\n(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积, 并得到所有这种树木的根部横截面积 总和为 $186 \\mathrm{~m}^{2}$. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林 区这种树木的总材积量的估计值.\n\n附: 相关系数 $r=\\frac{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{n}\\left(x_{\\mathrm{i}}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{\\mathrm{i}}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{n}\\left(x_{\\mathrm{i}}-\\bar{x}\\right)^{2} \\sum_{\\mathrm{i}=1}^{n}\\left(y_{\\mathrm{i}}-\\bar{y}\\right)^{2}}}, \\sqrt{1.896} \\approx 1.377$.\n",
            "standard_answer": "【小问 1 详解】}\n\n样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 $\\bar{x}=\\frac{0.6}{10}=0.06$\n\n样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值 $\\bar{y}=\\frac{3.9}{10}=0.39$\n\n据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 $0.06 \\mathrm{~m}^{2}$,\n\n平均一棵的材积量为 $0.39 \\mathrm{~m}^{3}$\n\n【小问 2 详解】}\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& r=\\frac{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10}\\left(x_{\\mathrm{i}}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{\\mathrm{i}}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10}\\left(x_{\\mathrm{i}}-\\bar{x}\\right)^{2} \\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10}\\left(y_{\\mathrm{i}}-\\bar{y}\\right)^{2}}}=\\frac{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} x_{\\mathrm{i}} y_{\\mathrm{i}}-10 \\overline{x y}}{\\sqrt{\\left(\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} x_{\\mathrm{i}}^{2}-10 \\bar{x}^{2}\\right)\\left(\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} y_{\\mathrm{i}}^{2}-10 \\bar{y}^{2}\\right)}} \\\\\n& =\\frac{0.2474-10 \\times 0.06 \\times 0.39}{\\sqrt{\\left(0.038-10 \\times 0.06^{2}\\right)\\left(1.6158-10 \\times 0.39^{2}\\right)}}=\\frac{0.0134}{\\sqrt{0.0001896}} \\approx \\frac{0.0134}{0.01377} \\approx 0.97\n\\end{aligned}\n$$\n\n则 $r \\approx 0.97$\n\n【小问 3 详解】}\n\n设该林区这种树木的总材积量的估计值为 $Y \\mathrm{~m}^{3}$,\n\n又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,\n\n可得 $\\frac{0.06}{0.39}=\\frac{186}{Y}$, 解之得 $Y=1209 \\mathrm{~m}^{3}$.\n\n则该林区这种树木的总材积量估计为 $1209 \\mathrm{~m}^{3}$\n",
            "analysis": "【分析】(1) 计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值, 即可估计该林 区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;\n\n(2) 代人题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值; (3) 依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的 总材积量的估计值.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n根据题意，我们需要估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量。这可以通过计算根部横截面积和材积量的平均值来实现。根据题目给出的数据，我们知道总的根部横截面积和总的材积量，而样本数为10，所以平均一棵的根部横截面积和平均一棵的材积量分别为总的根部横截面积和总的材积量除以10。<eoe>\n\n【答案】 \n平均一棵的根部横截面积为0.6/10=0.06 $\\mathrm{m}^{2}$；\n平均一棵的材积量为3.9/10=0.39 $\\mathrm{m}^{3}$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n根据题意，我们需要求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数。根据题目附的公式，我们知道样本相关系数的计算公式为$r=\\frac{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{n}\\left(x_{\\mathrm{i}}-\\bar{x}\\right)\\left(y_{\\mathrm{i}}-\\bar{y}\\right)}{\\sqrt{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{n}\\left(x_{\\mathrm{i}}-\\bar{x}\\right)^{2} \\sum_{\\mathrm{i}=1}^{n}\\left(y_{\\mathrm{i}}-\\bar{y}\\right)^{2}}}$。根据题目给出的数据，我们可以计算出$r$的值。<eoe>\n\n【答案】 \n根据公式，我们有\n$r=\\frac{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} x_{\\mathrm{i}} y_{\\mathrm{i}}-n\\bar{x}\\bar{y}}{\\sqrt{(\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} x_{\\mathrm{i}}^{2}-n\\bar{x}^{2})(\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{10} y_{\\mathrm{i}}^{2}-n\\bar{y}^{2})}}$\n代入题目给出的数据，我们得到\n$r=\\frac{0.2474-10*0.06*0.39}{\\sqrt{(0.038-10*0.06^2)*(1.6158-10*0.39^2)}}$\n计算得到$r \\approx 0.98$，精确到0.01，所以样本相关系数$r=0.98$。<eoa>\n\n(3)【解析】 \n根据题意，我们需要给出该林区这种树木的总材积量的估计值。题目告诉我们树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以我们可以通过计算单位根部横截面积对应的材积量，然后乘以所有这种树木的根部横截面积总和来得到总材积量的估计值。单位根部横截面积对应的材积量可以通过总的材积量除以总的根部横截面积来得到。<eoe>\n\n【答案】 \n单位根部横截面积对应的材积量为3.9/0.6=6.5 $\\mathrm{m}^{3}/\\mathrm{m}^{2}$；\n所以，总材积量的估计值为6.5*186=1209 $\\mathrm{m}^{3}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生正确计算了平均根部横截面积和平均材积量，答案与标准答案一致，给满分。\n\n(2) 学生计算了样本相关系数，但是最终结果四舍五入后应为0.97，学生给出的答案是0.98，计算过程正确，但结果有误差，扣1分。\n\n(3) 存在计算错误，学生直接用总材积量除以总根部横截面积得到单位根部横截面积对应的材积量，这是不正确的。正确的方法是使用比例关系，即用样本的平均根部横截面积与平均材积量的比例来计算总材积量。因此，学生的答案是错误的，不给分。\n\n【得分】\n(1) 3分\n(2) 3分\n(3) 0分\n【总分】6分",
            "model_correction_score": [
                6.0
            ]
        },
        {
            "index": 115,
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "score": 10,
            "question": "20. 已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点, 对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴, 且过 $A(0,-2), B\\left(\\frac{3}{2},-1\\right)$ 两点.\n\n(1) 求 $E$ 的方程;\n\n(2) 设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点, 过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于 点 $T$, 点 $H$ 满足 $\\overrightarrow{M T}=\\overrightarrow{T H}$. 证明: 直线 $H N$ 过定点.\n",
            "standard_answer": "【小问 1 详解】}\n\n解: 设椭圆 $E$ 的方程为 $m x^{2}+n y^{2}=1$, 过 $A(0,-2), B\\left(\\frac{3}{2},-1\\right)$,\n\n则 $\\left\\{\\begin{array}{c}4 n=1 \\\\ \\frac{9}{4} m+n=1\\end{array}\\right.$ ，解得 $m=\\frac{1}{3}, n=\\frac{1}{4}$ ，\n\n所以椭圆 $E$ 的方程为: $\\frac{y^{2}}{4}+\\frac{x^{2}}{3}=1$.\n\n【小问 2 详解】\n\n$A(0,-2), B\\left(\\frac{3}{2},-1\\right)$, 所以 $A B: y+2=\\frac{2}{3} x$,\n\n(1) 若过点 $P(1,-2)$ 的直线斜率不存在, 直线 $x=1$. 代人 $\\frac{x^{2}}{3}+\\frac{y^{2}}{4}=1$,\n\n可得 $M\\left(1, \\frac{2 \\sqrt{6}}{3}\\right), N\\left(1,-\\frac{2 \\sqrt{6}}{3}\\right)$, 代人 $A B$ 方程 $y=\\frac{2}{3} x-2$, 可得\n\n$T\\left(\\sqrt{6}+3, \\frac{2 \\sqrt{6}}{3}\\right)$, 由 $\\overrightarrow{M T}=\\overrightarrow{T H}$ 得到 $H\\left(2 \\sqrt{6}+5, \\frac{2 \\sqrt{6}}{3}\\right)$. 求得 $H N$ 方程:\n\n$y=\\left(2-\\frac{2 \\sqrt{6}}{3}\\right) x-2$, 过点 $(0,-2)$.\n\n(2) 若过点 $P(1,-2)$ 的直线斜率存在, 设 $k x-y-(k+2)=0, M\\left(x_{1}, y_{1}\\right), N\\left(x_{2}, y_{2}\\right)$.\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{c}k x-y-(k+2)=0 \\\\ \\frac{x^{2}}{3}+\\frac{y^{2}}{4}=1\\end{array}\\right.$, 得 $\\left(3 k^{2}+4\\right) x^{2}-6 k(2+k) x+3 k(k+4)=0$,\n\n可得 $\\left\\{\\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}=\\frac{6 k(2+k)}{3 k^{2}+4} \\\\ x_{1} x_{2}=\\frac{3 k(4+k)}{3 k^{2}+4}\\end{array},\\left\\{\\begin{array}{c}y_{1}+y_{2}=\\frac{-8(2+k)}{3 k^{2}+4} \\\\ y_{2} y_{2}=\\frac{4\\left(4+4 k-2 k^{2}\\right)}{3 k^{2}+4}\\end{array}\\right.\\right.$,\n\n且 $x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}=\\frac{-24 k}{3 k^{2}+4}(*)$\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{c}y=y_{1} \\\\ y=\\frac{2}{3} x-2\\end{array}\\right.$, 可得 $T\\left(\\frac{3 y_{1}}{2}+3, y_{1}\\right), H\\left(3 y_{1}+6-x_{1}, y_{1}\\right)$.\n\n可求得此时 $H N: y-y_{2}=\\frac{y_{1}-y_{2}}{3 y_{1}+6-x_{1}-x_{2}}\\left(x-x_{2}\\right)$,\n\n将 $(0,-2)$, 代人整理得 $2\\left(x_{1}+x_{2}\\right)-6\\left(y_{1}+y_{2}\\right)+x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}-3 y_{1} y_{2}-12=0$, 将 $(*)$ 代人, 得 $24 k+12 k^{2}+96+48 k-24 k-48-48 k+24 k^{2}-36 k^{2}-48=0$, 显然成立,\n\n综上，可得直线 $H N$ 过定点 $(0,-2)$.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 将给定点代人设出的方程求解即可;\n\n（2） 设出直线方程, 与椭圆 $C$ 的方程联立, 分情况讨论斜率是否存在, 即可得解.\n",
            "model_output": "(1)【解析】<eoe>\n由题意知，椭圆$E$的中心为坐标原点，对称轴为$x$轴、$y$轴，且过点$A(0,-2)$，所以椭圆$E$的半短轴长为2，设椭圆$E$的半长轴长为$a$，则椭圆$E$的方程为$\\frac{x^2}{a^2}+\\frac{y^2}{4}=1$。\n又因为椭圆$E$过点$B\\left(\\frac{3}{2},-1\\right)$，所以$\\left(\\frac{3}{2}\\right)^2/a^2+(-1)^2/4=1$，解得$a=\\frac{5}{2}$。\n所以，椭圆$E$的方程为$\\frac{x^2}{\\left(\\frac{5}{2}\\right)^2}+\\frac{y^2}{4}=1$。\n【答案】$\\frac{x^2}{\\left(\\frac{5}{2}\\right)^2}+\\frac{y^2}{4}=1$<eoa>\n\n(2)【解析】<eoe>\n设过点$P(1,-2)$的直线的斜率为$k$，则该直线的方程为$y+2=k(x-1)$。该直线与椭圆$E$交于$M,N$两点，所以$M,N$的坐标满足椭圆$E$的方程和直线的方程，解这两个方程可以得到$M,N$的坐标。\n设$M,N$的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，由于$M,N$在椭圆$E$上，所以有$\\frac{x_1^2}{\\left(\\frac{5}{2}\\right)^2}+\\frac{y_1^2}{4}=1$，$\\frac{x_2^2}{\\left(\\frac{5}{2}\\right)^2}+\\frac{y_2^2}{4}=1$。\n又因为$M,N$在直线$y+2=k(x-1)$上，所以有$y_1+2=k(x_1-1)$，$y_2+2=k(x_2-1)$。\n解这四个方程可以得到$M,N$的坐标。\n过$M$且平行于$x$轴的直线的方程为$y=y_1$，该直线与线段$AB$交于点$T$，所以$T$的坐标满足直线$y=y_1$和线段$AB$的方程，解这两个方程可以得到$T$的坐标。\n设$T$的坐标为$(x_3,y_3)$，由于$T$在直线$y=y_1$上，所以$y_3=y_1$。又因为$T$在线段$AB$上，所以$x_3$满足$0\\leq x_3\\leq \\frac{3}{2}$。\n点$H$满足$\\overrightarrow{MT}=\\overrightarrow{TH}$，所以$H$的坐标为$(2x_3-x_1,y_1)$。\n直线$HN$的方程为$y-y_2=\\frac{y_2-y_1}{x_2-(2x_3-x_1)}(x-x_2)$，由于$H,N$的坐标都与$k$无关，所以直线$HN$过定点。\n【答案】证明完毕。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生给出的椭圆方程为 $\\frac{x^2}{\\left(\\frac{5}{2}\\right)^2}+\\frac{y^2}{4}=1$，与标准答案 $\\frac{x^2}{3}+\\frac{y^2}{4}=1$ 不符。学生的错误在于没有正确解出椭圆的长轴长度，因此这一部分给0分。\n\n(2) 学生在解答第二小问时，虽然给出了正确的解题思路，但是在计算过程中并没有给出具体的计算和结果，也没有正确证明直线 $HN$ 过定点 $(0,-2)$。因此这一部分也给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
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            ]
        },
        {
            "index": 116,
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "score": 10,
            "question": "22. 在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=\\sqrt{3} \\cos 2 t \\\\ y=2 \\sin t\\end{array}\\right.$, ( $t$ 为参数), 以坐标原点 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{3}\\right)+m=0$\n\n(1) 写出 $l$ 的直角坐标方程;\n\n(2) 若 $l$ 与 $C$ 有公共点, 求 $m$ 的取值范围.\n",
            "standard_answer": "【小问 1 详解】}\n\n因为 $l: \\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{3}\\right)+m=0$, 所以 $\\frac{1}{2} \\rho \\cdot \\sin \\theta+\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\rho \\cdot \\cos \\theta+m=0$, 又因为 $\\rho \\cdot \\sin \\theta=y, \\rho \\cdot \\cos \\theta=x$, 所以化简为 $\\frac{1}{2} y+\\frac{\\sqrt{3}}{2} x+m=0$,\n\n整理得 $l$ 的直角坐标方程: $\\sqrt{3} x+y+2 m=0$\n\n【小问 2 详解】}\n\n联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 即将 $x=\\sqrt{3} \\cos 2 t, y=2 \\sin t$ 代人 $\\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中, 可得 $3 \\cos 2 t+2 \\sin t+2 m=0$,\n\n所以 $3\\left(1-2 \\sin ^{2} t\\right)+2 \\sin t+2 m=0$ ，\n\n化简为 $-6 \\sin ^{2} t+2 \\sin t+3+2 m=0$,\n\n要使 $l$ 与 $C$ 有公共点, 则 $2 m=6 \\sin ^{2} t-2 \\sin t-3$ 有解,\n\n令 $\\sin t=a$, 则 $a \\in[-1,1]$, 令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3, \\quad(-1 \\leqslant a \\leqslant 1)$,\n\n对称轴为 $a=\\frac{1}{6}$, 开口向上,\n\n所以 $f(a)_{\\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$,\n\n$f(a)_{\\min }=f\\left(\\frac{1}{6}\\right)=\\frac{1}{6}-\\frac{2}{6}-3=-\\frac{19}{6}$\n\n所以 $-\\frac{19}{6} \\leq 2 m \\leq 5$\n\n$m$ 的取值范围为 $-\\frac{19}{12} \\leq m \\leq \\frac{5}{2}$.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可;\n\n(2) 联立 $l$ 与 $C$ 的方程, 采用换元法处理, 根据新设 $a$ 的取值范围求解 $m$ 的范围即可.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们需要将直线$l$的极坐标方程转换为直角坐标方程。极坐标和直角坐标的转换公式为：$x=\\rho \\cos \\theta$，$y=\\rho \\sin \\theta$。将这两个公式代入直线$l$的极坐标方程，我们可以得到直线$l$的直角坐标方程。<eoe>\n【答案】\n将$x=\\rho \\cos \\theta$，$y=\\rho \\sin \\theta$代入$\\rho \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{3}\\right)+m=0$，得到：\n$x \\sin \\frac{\\pi}{3} + y \\cos \\frac{\\pi}{3} + m = 0$\n即：\n$\\frac{\\sqrt{3}}{2}x + \\frac{1}{2}y + m = 0$<eoa>\n\n(2)【解析】\n直线$l$与曲线$C$有公共点，即存在$t$使得曲线$C$上的点同时也在直线$l$上。我们可以将曲线$C$的参数方程代入直线$l$的直角坐标方程，解出$t$，然后求出$m$的取值范围。<eoe>\n【答案】\n将$x=\\sqrt{3} \\cos 2 t$，$y=2 \\sin t$代入$\\frac{\\sqrt{3}}{2}x + \\frac{1}{2}y + m = 0$，得到：\n$\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\sqrt{3} \\cos 2 t + \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\sin t + m = 0$\n即：\n$3 \\cos 2 t + \\sin t + 2m = 0$\n由于$\\cos 2t = 1 - 2 \\sin^2 t$，所以\n$3(1 - 2 \\sin^2 t) + \\sin t + 2m = 0$\n即：\n$-6 \\sin^2 t + \\sin t + 3 + 2m = 0$\n这是一个关于$\\sin t$的二次方程，为了有解，其判别式必须大于等于0，即：\n$(1)^2 - 4 \\cdot (-6) \\cdot (3 + 2m) \\geq 0$\n解得：\n$m \\leq -\\frac{3}{2}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在转换极坐标方程到直角坐标方程时，计算错误，将$\\sin \\frac{\\pi}{3}$和$\\cos \\frac{\\pi}{3}$的值搞反了，正确的应该是$\\frac{\\sqrt{3}}{2}x + \\frac{1}{2}y + m = 0$转换为$\\sqrt{3} x+y+2 m=0$。因此，这部分给0分。\n\n(2) 学生在将曲线$C$的参数方程代入直线$l$的直角坐标方程时，计算过程正确，但是在解$m$的取值范围时，错误地使用了判别式方法，而没有考虑到$\\sin t$的取值范围，导致求得的$m$的取值范围不正确。正确的方法是考虑$\\sin t$的取值范围，通过二次函数的最大最小值来确定$m$的取值范围。因此，这部分给0分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
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        },
        {
            "index": 117,
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "score": 10,
            "question": "23. 已知 $a, b, \\mathrm{c}$ 都是正数, 且 $a^{\\frac{3}{2}}+b^{\\frac{3}{2}}+c^{\\frac{3}{2}}=1$, 证明:\n\n(1) $a b c \\leq \\frac{1}{9}$\n\n(2) $\\frac{a}{b+c}+\\frac{b}{a+c}+\\frac{c}{a+b} \\leq \\frac{1}{2 \\sqrt{a b c}}$;\n",
            "standard_answer": "【小问 1 详解】\n\n证明: 因为 $a>0, b>0, c>0$, 则 $a^{\\frac{3}{2}}>0, b^{\\frac{3}{2}}>0, c^{\\frac{3}{2}}>0$, 所以 $\\frac{a^{\\frac{3}{2}}+b^{\\frac{3}{2}}+c^{\\frac{3}{2}}}{3} \\geq \\sqrt[3]{a^{\\frac{3}{2}} \\cdot b^{\\frac{3}{2}} \\cdot c^{\\frac{3}{2}}}$\n\n即 $(a b c)^{\\frac{1}{2}} \\leq \\frac{1}{3}$, 所以 $a b c \\leq \\frac{1}{9}$, 当且仅当 $a^{\\frac{3}{2}}=b^{\\frac{3}{2}}=c^{\\frac{3}{2}}$, 即 $a=b=c=\\sqrt[3]{\\frac{1}{9}}$ 时取等号.\n\n【小问 2 详解】\n\n证明: 因为 $a>0, b>0, c>0$,\n\n所以 $b+c \\geq 2 \\sqrt{b c}, a+c \\geq 2 \\sqrt{a c}, a+b \\geq 2 \\sqrt{a b}$,\n\n所以 $\\frac{a}{b+c} \\leq \\frac{a}{2 \\sqrt{b c}}=\\frac{a^{\\frac{3}{2}}}{2 \\sqrt{a b c}}, \\quad \\frac{b}{a+c} \\leq \\frac{b}{2 \\sqrt{a c}}=\\frac{b^{\\frac{3}{2}}}{2 \\sqrt{a b c}}, \\quad \\frac{c}{a+b} \\leq \\frac{c}{2 \\sqrt{a b}}=\\frac{c^{\\frac{3}{2}}}{2 \\sqrt{a b c}}$\n\n$\\frac{a}{b+c}+\\frac{b}{a+c}+\\frac{c}{a+b} \\leq \\frac{a^{\\frac{3}{2}}}{2 \\sqrt{a b c}}+\\frac{b^{\\frac{3}{2}}}{2 \\sqrt{a b c}}+\\frac{c^{\\frac{3}{2}}}{2 \\sqrt{a b c}}=\\frac{a^{\\frac{3}{2}}+b^{\\frac{3}{2}}+c^{\\frac{3}{2}}}{2 \\sqrt{a b c}}=\\frac{1}{2 \\sqrt{a b c}}$\n\n当且仅当 $a=b=c$ 时取等号.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 利用三元均值不等式即可证明;\n\n(2) 利用基本不等式及不等式的性质证明即可.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n我们可以使用柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）来解决这个问题。柯西不等式的一种形式是：对于任何实数$a_i$和$b_i$，有$(\\sum a_i^2)(\\sum b_i^2) \\geq (\\sum a_ib_i)^2$。在这个问题中，我们可以设$a_i = a^{\\frac{1}{2}}, b^{\\frac{1}{2}}, c^{\\frac{1}{2}}$，$b_i = a, b, c$，然后应用柯西不等式。<eoe>\n【答案】\n首先，我们有\n$(a^{\\frac{1}{2}} + b^{\\frac{1}{2}} + c^{\\frac{1}{2}})^2 = (a + b + c + 2\\sqrt{ab} + 2\\sqrt{ac} + 2\\sqrt{bc})$，\n$(a + b + c)^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)$。\n由柯西不等式，我们有\n$(a^{\\frac{1}{2}} + b^{\\frac{1}{2}} + c^{\\frac{1}{2}})^2(a + b + c) \\geq (a + b + c)^2$，\n即\n$(a + b + c + 2\\sqrt{ab} + 2\\sqrt{ac} + 2\\sqrt{bc})(a + b + c) \\geq (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)$，\n化简得到\n$2\\sqrt{ab} + 2\\sqrt{ac} + 2\\sqrt{bc} \\geq ab + ac + bc$，\n即\n$\\sqrt{ab} + \\sqrt{ac} + \\sqrt{bc} \\geq \\frac{ab + ac + bc}{2}$。\n又因为$a^{\\frac{3}{2}} + b^{\\frac{3}{2}} + c^{\\frac{3}{2}} = 1$，所以$a + b + c \\leq 1$，则有\n$\\frac{ab + ac + bc}{2} \\leq \\frac{(a + b + c)^2}{4} = \\frac{1}{4}$，\n所以\n$\\sqrt{ab} + \\sqrt{ac} + \\sqrt{bc} \\geq \\frac{1}{4}$，\n即\n$ab + ac + bc \\geq \\frac{1}{16}$。\n由此，我们可以得到\n$abc \\leq \\frac{1}{9}$。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n这个问题可以通过使用AM-GM不等式（算术-几何平均不等式）来解决。AM-GM不等式的一种形式是：对于任何正数$a_i$，有$\\frac{\\sum a_i}{n} \\geq \\sqrt[n]{\\prod a_i}$。在这个问题中，我们可以设$a_i = \\frac{a}{b+c}, \\frac{b}{a+c}, \\frac{c}{a+b}$，然后应用AM-GM不等式。<eoe>\n【答案】\n首先，我们有\n$\\frac{a}{b+c} + \\frac{b}{a+c} + \\frac{c}{a+b} \\geq 3\\sqrt[3]{\\frac{a}{b+c} \\cdot \\frac{b}{a+c} \\cdot \\frac{c}{a+b}}$，\n即\n$\\frac{a}{b+c} + \\frac{b}{a+c} + \\frac{c}{a+b} \\geq 3\\sqrt[3]{\\frac{abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}}$。\n由于$a^{\\frac{3}{2}} + b^{\\frac{3}{2}} + c^{\\frac{3}{2}} = 1$，所以$a + b + c \\leq 1$，则有\n$(a+b)(b+c)(a+c) \\leq \\left(\\frac{a + b + c}{3}\\right)^3 = \\frac{1}{27}$，\n所以\n$3\\sqrt[3]{\\frac{abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}} \\leq 3\\sqrt[3]{27abc} = 3\\sqrt[3]{27} \\cdot \\sqrt[3]{abc}$。\n又因为$abc \\leq \\frac{1}{9}$，所以\n$3\\sqrt[3]{27} \\cdot \\sqrt[3]{abc} \\leq 3\\sqrt[3]{27} \\cdot \\sqrt[3]{\\frac{1}{9}} = \\frac{1}{2\\sqrt{abc}}$，\n所以\n$\\frac{a}{b+c} + \\frac{b}{a+c} + \\frac{c}{a+b} \\leq \\frac{1}{2\\sqrt{abc}}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生使用了柯西不等式而不是题目分析中提到的三元均值不等式，但是学生的分析过程并没有得出正确的结论。学生在应用柯西不等式后的推导过程中出现了错误，得出了错误的结论 $ab + ac + bc \\geq \\frac{1}{16}$，这与正确答案 $abc \\leq \\frac{1}{9}$ 不符。因此，学生的答案是错误的，不能给分。\n\n(2) 学生试图使用AM-GM不等式来解决问题，但是在应用不等式的过程中出现了错误。学生错误地将 $\\frac{a}{b+c} + \\frac{b}{a+c} + \\frac{c}{a+b}$ 与 $3\\sqrt[3]{\\frac{abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}}$ 相等，这是不正确的。正确的应用应该是 $\\frac{a}{b+c} + \\frac{b}{a+c} + \\frac{c}{a+b} \\geq 3\\sqrt[3]{\\frac{abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}}$。此外，学生在后续的推导中也出现了错误，得出了错误的结论。因此，学生的答案是错误的，不能给分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
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        },
        {
            "index": 118,
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 10,
            "question": "17. 记 $S_{n}$ 为数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和. 已知 $\\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$.\n\n(1) 证明: $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列;\n\n(2) 若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 求 $S_{n}$ 的最小值.\n",
            "standard_answer": "【小问 1 详解】}\n\n解：因为 $\\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$, 即 $2 S_{n}+n^{2}=2 n a_{n}+n$ (1),\n\n当 $n \\geq 2$ 时, $2 S_{n-1}+(n-1)^{2}=2(n-1) a_{n-1}+(n-1)$ (2),\n\n(1)-(2)得, $2 S_{n}+n^{2}-2 S_{n-1}-(n-1)^{2}=2 n a_{n}+n-2(n-1) a_{n-1}-(n-1)$,\n\n即 $2 a_{n}+2 n-1=2 n a_{n}-2(n-1) a_{n-1}+1$,\n\n即 $2(n-1) a_{n}-2(n-1) a_{n-1}=2(n-1)$, 所以 $a_{n}-a_{n-1}=1, n \\geq 2$ 且 $n \\in \\mathrm{N}^{*}$,\n\n所以 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是以 1 为公差的等差数列.\n\n【小问 2 详解】}\n\n解：由 (1) 可得 $a_{4}=a_{1}+3, a_{7}=a_{1}+6, a_{9}=a_{1}+8$,\n\n又 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 所以 $a_{7}{ }^{2}=a_{4} \\cdot a_{9}$,\n\n即 $\\left(a_{1}+6\\right)^{2}=\\left(a_{1}+3\\right) \\cdot\\left(a_{1}+8\\right)$, 解得 $a_{1}=-12$ ，\n\n所以 $a_{n}=n-13$, 所以 $S_{n}=-12 n+\\frac{n(n-1)}{2}=\\frac{1}{2} n^{2}-\\frac{25}{2} n=\\frac{1}{2}\\left(n-\\frac{25}{2}\\right)^{2}-\\frac{625}{8}$,\n\n所以, 当 $n=12$ 或 $n=13$ 时 $\\left(S_{n}\\right)_{\\text {min }}=-78$.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 依题意可得 $2 S_{n}+n^{2}=2 n a_{n}+n$, 根据 $a_{n}=\\left\\{\\begin{array}{l}S_{1}, n=1 \\\\ S_{n}-S_{n-1}, n \\geq 2\\end{array}\\right.$, 作差即可得到 $a_{n}-a_{n-1}=1$, 从而得证; (2) 由 (1) 及等比中项的性质求出 $a_{1}$, 即可得到 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式与前 $n$ 项和, 再根据二 次函数的性质计算可得.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n根据题目给出的条件，我们可以将公式变形为 $a_{n}=\\frac{2S_{n}}{n} - n + \\frac{1}{2}$。我们可以将 $S_{n}$ 表示为 $a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$。然后我们可以将 $a_{n}$ 表示为 $a_{n-1} + d$，其中 $d$ 是公差。将这些代入原公式，我们可以得到一个关于 $d$ 的等式。如果我们可以证明 $d$ 是一个常数，那么我们就可以证明 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列。<eoe>\n\n【答案】\n根据题目给出的条件，我们有 $a_{n}=\\frac{2S_{n}}{n} - n + \\frac{1}{2}$。将 $S_{n}$ 表示为 $a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$，我们得到 $a_{n}=\\frac{2(a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})}{n} - n + \\frac{1}{2}$。然后我们将 $a_{n}$ 表示为 $a_{n-1} + d$，得到 $a_{n-1} + d = \\frac{2(a_{1} + a_{2} + ... + a_{n-1} + d)}{n} - n + \\frac{1}{2}$。简化这个等式，我们得到 $d = \\frac{1}{2} - a_{n-1}$。因为 $d$ 不依赖于 $n$，所以 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列。<eoa>\n\n(2)【解析】\n根据题目条件，$a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，即 $a_{7}^2 = a_{4} \\cdot a_{9}$。由于 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是等差数列，我们可以将 $a_{7}, a_{4}, a_{9}$ 表示为 $a_{1} + 6d, a_{1} + 3d, a_{1} + 8d$。将这些代入等比数列的条件，我们可以得到一个关于 $d$ 的等式。解这个等式，我们可以找到 $d$ 的值。然后我们可以将 $d$ 的值代入 $S_{n}$ 的公式，找到 $S_{n}$ 的最小值。<eoe>\n\n【答案】\n根据题目条件，$a_{7}^2 = a_{4} \\cdot a_{9}$，即 $(a_{1} + 6d)^2 = (a_{1} + 3d) \\cdot (a_{1} + 8d)$。解这个等式，我们得到 $d = \\frac{1}{10}$。然后我们将 $d$ 的值代入 $S_{n}$ 的公式，得到 $S_{n} = \\frac{n}{2} \\left(2a_{1} + (n-1)d\\right) = \\frac{n}{2} \\left(2a_{1} + \\frac{n-1}{10}\\right)$。因为 $S_{n}$ 是关于 $n$ 的二次函数，所以当 $n = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2a_{1}}{(n-1)/10} = -20a_{1} + 20$ 时，$S_{n}$ 取得最小值。所以 $S_{n}$ 的最小值为 $\\frac{-20a_{1} + 20}{2} \\left(2a_{1} + \\frac{-20a_{1} + 20 - 1}{10}\\right)$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分提出了正确的变形方法，但是在证明过程中并没有给出具体的等式，也没有正确地证明公差 $d$ 是常数。学生的答案部分也没有给出正确的证明过程，仅仅是重复了解析部分的内容，并且结论错误，因为 $d$ 并不等于 $\\frac{1}{2} - a_{n-1}$。因此，学生在小问1的解答中没有得到正确的结论，也没有给出正确的证明过程，应该给0分。\n\n(2) 学生在解析部分正确地使用了等比数列的性质，但是在解答过程中没有正确地解出 $d$ 的值，也没有正确地代入 $S_{n}$ 的公式。学生的答案部分同样没有正确地解出 $d$ 的值，且在求 $S_{n}$ 的最小值时使用了错误的方法，没有正确地应用二次函数的性质。因此，学生在小问2的解答中没有得到正确的结论，也没有给出正确的解答过程，应该给0分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 119,
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 10,
            "question": "19. 甲、乙两个学校进行体育比赛, 比赛共设三个项目, 每个项目胜方得 10 分, 负方得 0 分, 没有平局. 三个项目比赛结束后, 总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中 获胜的概率分别为 $0.5,0.4,0.8$, 各项目的比赛结果相互独立.\n\n(1) 求甲学校获得冠军的概率;\n\n(2) 用 $X$ 表示乙学校的总得分, 求 $X$ 的分布列与期望.\n",
            "standard_answer": "【小问 1 详解】}\n\n设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 $A, B, C$, 所以甲学校获得冠军的概率为\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& P=P(A B C)+P(\\bar{A} B C)+P(A \\bar{B} C)+P(A B \\bar{C}) \\\\\n& =0.5 \\times 0.4 \\times 0.8+0.5 \\times 0.4 \\times 0.8+0.5 \\times 0.6 \\times 0.8+0.5 \\times 0.4 \\times 0.2 \\\\\n& =0.16+0.16+0.24+0.04=0.6\n\\end{aligned}\n$$\n\n【小问 2 详解】\n\n依题可知, $X$ 的可能取值为 $0,10,20,30$, 所以,\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& P(X=0)=0.5 \\times 0.4 \\times 0.8=0.16, \\\\\n& P(X=10)=0.5 \\times 0.4 \\times 0.8+0.5 \\times 0.6 \\times 0.8+0.5 \\times 0.4 \\times 0.2=0.44, \\\\\n& P(X=20)=0.5 \\times 0.6 \\times 0.8+0.5 \\times 0.4 \\times 0.2+0.5 \\times 0.6 \\times 0.2=0.34, \\\\\n& P(X=30)=0.5 \\times 0.6 \\times 0.2=0.06 .\n\\end{aligned}\n$$\n\n即 $X$ 的分布列为\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\n\\hline$X$ & 0 & 10 & 20 & 30 \\\\\n\\hline$P$ & 0.16 & 0.44 & 0.34 & 0.06 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n期望 $E(X)=0 \\times 0.16+10 \\times 0.44+20 \\times 0.34+30 \\times 0.06=13$.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 $A, B, C$, 再根据甲获得冠军则至少获 胜两个项目, 利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出; (2) 依题可知, $X$ 的可能取值为 $0,10,20,30$, 再分别计算出对应的概率, 列出分布列, 即可求出期望.\n",
            "model_output": "(1)【解析】甲学校获得冠军，意味着甲学校在三个项目中至少获胜两个。由于各项目的比赛结果相互独立，所以甲学校获得冠军的概率等于甲学校在三个项目中获胜两个的概率与获胜三个的概率之和。甲学校在三个项目中获胜两个的情况有三种，分别是前两个项目获胜，前后两个项目获胜，后两个项目获胜，每种情况的概率可以通过乘法原理计算出来。<eoe>\n【答案】甲学校在三个项目中获胜两个的概率为：$C_3^2 \\times 0.5 \\times 0.4 \\times (1-0.8) + C_3^2 \\times 0.5 \\times (1-0.4) \\times 0.8 + C_3^2 \\times (1-0.5) \\times 0.4 \\times 0.8 = 0.24$。甲学校在三个项目中获胜三个的概率为：$0.5 \\times 0.4 \\times 0.8 = 0.16$。所以，甲学校获得冠军的概率为：$0.24 + 0.16 = 0.4$。<eoa>\n\n(2)【解析】乙学校的总得分X是一个离散型随机变量，其可能取值为0，10，20，30。乙学校在每个项目中获胜的概率分别为1-0.5，1-0.4，1-0.8，即0.5，0.6，0.2。由于各项目的比赛结果相互独立，所以X的分布列可以通过乘法原理计算出来。期望是随机变量的平均值，可以通过每个可能取值乘以其对应概率的和来计算。<eoe>\n【答案】乙学校在三个项目中全部失败的概率为：$0.5 \\times 0.6 \\times 0.2 = 0.06$，此时X=0。乙学校在三个项目中获胜一个的概率为：$C_3^1 \\times 0.5 \\times 0.6 \\times (1-0.2) + C_3^1 \\times 0.5 \\times (1-0.6) \\times 0.2 + C_3^1 \\times (1-0.5) \\times 0.6 \\times 0.2 = 0.36$，此时X=10。乙学校在三个项目中获胜两个的概率为：$C_3^2 \\times 0.5 \\times (1-0.6) \\times 0.2 + C_3^2 \\times (1-0.5) \\times 0.6 \\times 0.2 + C_3^2 \\times 0.5 \\times 0.6 \\times (1-0.2) = 0.36$，此时X=20。乙学校在三个项目中全部获胜的概率为：$(1-0.5) \\times (1-0.6) \\times (1-0.2) = 0.24$，此时X=30。所以，X的分布列为：X=0，P=0.06；X=10，P=0.36；X=20，P=0.36；X=30，P=0.24。X的期望为：$0 \\times 0.06 + 10 \\times 0.36 + 20 \\times 0.36 + 30 \\times 0.24 = 18$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在计算甲学校获得冠军的概率时，计算错误。学生计算的是甲学校获胜两个项目的概率，但是没有正确计算获胜三个项目的概率，也没有将这两个概率相加。学生的答案是0.4，而正确答案是0.6。因此，这部分给0分。\n\n(2) 子问题(2)中，学生在计算乙学校总得分X的分布列时，计算错误。学生没有正确使用乘法原理和组合数来计算各个得分的概率，且计算的期望值也是错误的。正确的期望值是13，而学生计算的是18。因此，这部分也给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
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        },
        {
            "index": 120,
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 10,
            "question": "20. 设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 点 $D(p, 0)$, 过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两 点. 当直线 $M D$ 垂直于 $x$ 轴时, $|M F|=3$.\n\n(1) 求 $C$ 的方程;\n\n(2) 设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$, 记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $a, \\beta$. 当 $a-\\beta$ 取得最大值时, 求直线 $A B$ 的方程.\n",
            "standard_answer": "【小问 1 详解】}\n\n抛物线的准线为 $x=-\\frac{p}{2}$, 当 $M D$ 与 $x$ 轴垂直时, 点 $M$ 的横坐标为 $p$,\n\n此时 $|M F|=p+\\frac{p}{2}=3$, 所以 $p=2$ ，\n\n所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=4 x$;\n\n【小问 2 详解】}\n\n设 $M\\left(\\frac{y_{1}^{2}}{4}, y_{1}\\right), N\\left(\\frac{y_{2}^{2}}{4}, y_{2}\\right), A\\left(\\frac{y_{3}^{2}}{4}, y_{3}\\right), B\\left(\\frac{y_{4}^{2}}{4}, y_{4}\\right)$, 直线 $M N: x=m y+1$,\n\n由 $\\left\\{\\begin{array}{l}x=m y+1 \\\\ y^{2}=4 x\\end{array}\\right.$ 可得 $y^{2}-4 m y-4=0, \\Delta>0, y_{1} y_{2}=-4$,\n\n由斜率公式可得 $k_{M N}=\\frac{y_{1}-y_{2}}{\\frac{y_{1}^{2}}{4}-\\frac{y_{2}^{2}}{4}}=\\frac{4}{y_{1}+y_{2}}, \\quad k_{A B}=\\frac{y_{3}-y_{4}}{\\frac{y_{3}^{2}}{4}-\\frac{y_{4}^{2}}{4}}=\\frac{4}{y_{3}+y_{4}}$,\n\n直线 $M D: x=\\frac{x_{1}-2}{y_{1}} \\cdot y+2$, 代人抛物线方程可得 $y^{2}-\\frac{4\\left(x_{1}-2\\right)}{y_{1}} \\cdot y-8=0$,\n\n$\\Delta>0, y_{1} y_{3}=-8$, 所以 $y_{3}=2 y_{2}$, 同理可得 $y_{4}=2 y_{1}$,\n\n所以 $k_{A B}=\\frac{4}{y_{3}+y_{4}}=\\frac{4}{2\\left(y_{1}+y_{2}\\right)}=\\frac{k_{M N}}{2}$\n\n又因为直线 $M N 、 A B$ 的倾斜角分别为 $a, \\beta$,\n\n所以 $k_{A B}=\\tan \\beta=\\frac{k_{M N}}{2}=\\frac{\\tan a}{2}$,\n\n若要使 $a-\\beta$ 最大, 则 $\\beta \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$,\n\n设 $k_{M N}=2 k_{A B}=2 k>0$, 则 $\\tan (a-\\beta)=\\frac{\\tan a-\\tan \\beta}{1+\\tan a \\tan \\beta}=\\frac{k}{1+2 k^{2}}=\\frac{1}{\\frac{1}{k}+2 k} \\leq \\frac{1}{2 \\sqrt{\\frac{1}{k} \\cdot 2 k}}=\\frac{\\sqrt{2}}{4}$\n\n当且仅当 $\\frac{1}{k}=2 k$ 即 $k=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ 时, 等号成立,\n\n所以当 $a-\\beta$ 最大时, $k_{A B}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, 设直线 $A B: x=\\sqrt{2} y+n$,\n\n代人抛物线方程可得 $y^{2}-4 \\sqrt{2} y-4 n=0$,\n\n$\\Delta>0, y_{3} y_{4}=-4 n=4 y_{1} y_{2}=-16$, 所以 $n=4$\n\n所以直线 $A B: x=\\sqrt{2} y+4$.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 由拋物线的定义可得 $|M F|=p+\\frac{p}{2}$, 即可得解;\n\n(2) 设点的坐标及直线 $M N: x=m y+1$, 由韦达定理及斜率公式可得 $k_{M N}=2 k_{A B}$, 再由 差角的正切公式及基本不等式可得 $k_{A B}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, 设直线 $A B: x=\\sqrt{2} y+n$, 结合韦达定理可 解.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先，我们知道抛物线的焦点到顶点的距离等于焦距，即$p$。又因为题目给出了$|MF|=3$，所以我们可以得到$p=3$。然后，我们将$p$代入抛物线的方程$y^{2}=2px$，得到$y^{2}=6x$。<eoe>\n【答案】\n所以，抛物线$C$的方程为$y^{2}=6x$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n首先，我们知道点$D$在$x$轴上，所以$D$的坐标为$(3,0)$。又因为直线$MD$垂直于$x$轴，所以$M$的坐标为$(3,\\pm\\sqrt{18})$。然后，我们可以得到直线$MD$的方程为$x=3$，直线$ND$的方程为$y=\\pm\\sqrt{6}(x-3)$。接着，我们将直线$MD$和$ND$的方程代入抛物线的方程，得到$A,B$的坐标为$(0,0)$和$(6,0)$。然后，我们可以得到直线$MN$的斜率为$\\pm\\sqrt{6}$，直线$AB$的斜率为$0$。所以，$\\alpha=\\arctan(\\pm\\sqrt{6})$，$\\beta=0$。最后，我们知道$\\arctan x$函数在$x\\geq0$时单调递增，所以当$\\alpha-\\beta$取得最大值时，$\\alpha=\\arctan\\sqrt{6}$，$\\beta=0$。<eoe>\n【答案】\n所以，当$\\alpha-\\beta$取得最大值时，直线$AB$的方程为$y=0$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生给出的答案是 $y^2 = 6x$，而标准答案是 $y^2 = 4x$。学生的答案错误，因为他们没有正确地使用 $|MF| = p + \\frac{p}{2} = 3$ 来求解 $p$。因此，这部分得0分。\n\n(2) 学生在解析中正确地指出了点 $D$ 的坐标和直线 $MD$ 的方程，但是在求解 $A, B$ 的坐标时出现了错误。学生错误地假设了 $A, B$ 的坐标，而没有使用韦达定理和斜率公式来求解。此外，学生在求解 $\\alpha - \\beta$ 的最大值时没有使用差角的正切公式和基本不等式，而是错误地使用了 $\\arctan x$ 函数的性质。因此，这部分也得0分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
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        },
        {
            "index": 121,
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 10,
            "question": "21. 已知函数 $f(x)=\\frac{e^{x}}{x}-\\ln x+x-a$.\n\n(1) 若 $f(x) \\geq 0$, 求 $a$ 的取值范围;\n\n(2) 证明: 若 $f(x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$, 则环 $x_{1} x_{2}<1$.\n",
            "standard_answer": "【小问 1 详解】}\n\n$f(x)$ 的定义域为 $(0,+\\infty)$,\n\n$f^{\\prime}(x)=\\left(\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^{2}}\\right) \\mathrm{e}^{x}-\\frac{1}{x}+1=\\frac{1}{x}\\left(1-\\frac{1}{x}\\right) \\mathrm{e}^{x}+\\left(1-\\frac{1}{x}\\right)=\\frac{x-1}{x}\\left(\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}+1\\right)$\n\n令 $f(x)=0$, 得 $x=1$ 当 $x \\in(0,1), f^{\\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减\n\n当 $x \\in(1,+\\infty), f^{\\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增 $f(x) \\geq f(1)=\\mathrm{e}+1-a$,\n\n若 $f(x) \\geq 0$, 则 $\\mathrm{e}+1-a \\geq 0$, 即 $a \\leq e+1$\n\n所以 $a$ 的取值范围为 $(-\\infty, e+1]$\n\n【小问 2 详解】}\n\n由题知, $f(x)$ 一个零点小于 1 ,一个零点大于 1\n\n不妨设 $x_{1}<1<x_{2}$\n\n要证 $x_{1} x_{2}<1$,即证 $x_{1}<\\frac{1}{x_{2}}$\n\n因为 $x_{1}, \\frac{1}{x_{2}} \\in(0,1)$, 即证 $f\\left(x_{1}\\right)>f\\left(\\frac{1}{x_{2}}\\right)$\n\n因为 $f\\left(x_{1}\\right)=f\\left(x_{2}\\right)$, 即证 $f\\left(x_{2}\\right)>f\\left(\\frac{1}{x_{2}}\\right)$\n\n即证 $\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}-\\ln x+x-x \\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}-\\ln x-\\frac{1}{x}>0, x \\in(1,+\\infty)$\n\n即证 $\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}-x \\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}-2\\left[\\ln x-\\frac{1}{2}\\left(x-\\frac{1}{x}\\right)\\right]>0$\n\n下面证明 $x>1$ 时, $\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}-x \\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}>0, \\ln x-\\frac{1}{2}\\left(x-\\frac{1}{x}\\right)<0$\n\n设 $g(x)=\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}-x \\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}, x>1$ ，\n\n则 $g^{\\prime}(x)=\\left(\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^{2}}\\right) \\mathrm{e}^{x}-\\left(\\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}+x \\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}} \\cdot\\left(-\\frac{1}{x^{2}}\\right)\\right)=\\frac{1}{x}\\left(1-\\frac{1}{x}\\right) \\mathrm{e}^{x}-\\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}\\left(1-\\frac{1}{x}\\right)$\n\n$=\\left(1-\\frac{1}{x}\\right)\\left(\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}-\\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}\\right)=\\frac{x-1}{x}\\left(\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}-\\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}\\right)$\n\n设 $\\varphi(x)=\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}(x>1), \\varphi^{\\prime}(x)=\\left(\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^{2}}\\right) \\mathrm{e}^{x}=\\frac{x-1}{x^{2}} \\mathrm{e}^{x}>0$ 所以 $\\varphi(x)>\\varphi(1)=\\mathrm{e}$, 而 $\\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}<\\mathrm{e}$\n\n所以 $\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}-\\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}>0$, 所以 $g^{\\prime}(x)>0$\n\n所以 $g(x)$ 在 $(1,+\\infty)$ 单调递增\n\n即 $g(x)>g(1)=0$,所以 $\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}-x \\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}>0$\n\n令 $h(x)=\\ln x-\\frac{1}{2}\\left(x-\\frac{1}{x}\\right), x>1$\n\n$h^{\\prime}(x)=\\frac{1}{x}-\\frac{1}{2}\\left(1+\\frac{1}{x^{2}}\\right)=\\frac{2 x-x^{2}-1}{2 x^{2}}=\\frac{-(x-1)^{2}}{2 x^{2}}<0$\n\n所以 $h(x)$ 在 $(1,+\\infty)$ 单调递减\n\n即 $h(x)<h(1)=0$, 所以 $\\ln x-\\frac{1}{2}\\left(x-\\frac{1}{x}\\right)<0$ ；\n\n综上, $\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}-x \\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}-2\\left[\\ln x-\\frac{1}{2}\\left(x-\\frac{1}{x}\\right)\\right]>0$,所以 $x_{1} x_{2}<1$.\n",
            "analysis": "【分析】(1) 由导数确定函数单调性及最值, 即可得解;\n\n(2) 利用分析法, 转化要证明条件为 $\\frac{\\mathrm{e}^{x}}{x}-x \\mathrm{e}^{\\frac{1}{x}}-2\\left[\\ln x-\\frac{1}{2}\\left(x-\\frac{1}{x}\\right)\\right]>0$, 再利用导数即 可得证.\n",
            "model_output": "(1)【解析】\n首先我们需要找到函数$f(x)$的最小值，然后使得$f(x) \\geq 0$，即找到$a$的取值范围。\n对于函数$f(x)$，我们可以先求其导数$f'(x)$，然后令$f'(x)=0$，找到函数的极值点，从而找到函数的最小值。<eoe>\n\n【答案】\n首先求函数$f(x)$的导数$f'(x)$：\n$f'(x) = \\frac{e^x}{x} - \\frac{e^x}{x^2} - \\frac{1}{x} + 1 = \\frac{e^x}{x^2} - \\frac{1}{x} + 1$。\n令$f'(x)=0$，得到$x=e$。\n将$x=e$代入$f(x)$，得到$f(e) = \\frac{e^e}{e} - \\ln e + e - a = e^{e-1} + e - a$。\n因为$f(x) \\geq 0$，所以有$e^{e-1} + e - a \\geq 0$，解得$a \\leq e^{e-1} + e$。\n所以，$a$的取值范围为$(-\\infty, e^{e-1} + e]$。<eoa>\n\n(2)【解析】\n我们需要证明如果函数$f(x)$有两个零点$x_1$和$x_2$，那么$x_1x_2 < 1$。我们可以通过利用函数的单调性来证明。如果函数在$x_1$和$x_2$之间是单调的，那么在$x_1$和$x_2$之间的任意一点$x$，都有$f(x) > 0$或$f(x) < 0$，这样就可以证明$x_1x_2 < 1$。<eoe>\n\n【答案】\n设$x_1 < x_2$，则$f(x_1) = f(x_2) = 0$，即$\\frac{e^{x_1}}{x_1} - \\ln x_1 + x_1 - a = \\frac{e^{x_2}}{x_2} - \\ln x_2 + x_2 - a = 0$。\n由此我们可以得到$\\frac{e^{x_1}}{x_1} - \\ln x_1 + x_1 = \\frac{e^{x_2}}{x_2} - \\ln x_2 + x_2$。\n由于函数$f'(x) = \\frac{e^x}{x^2} - \\frac{1}{x} + 1$，我们可以看到$f'(x)$在$x_1$和$x_2$之间是单调递增的，因此在$x_1$和$x_2$之间的任意一点$x$，都有$f(x) > 0$。\n所以，我们有$\\frac{e^{x_1}}{x_1} - \\ln x_1 + x_1 < \\frac{e^{x}}{x} - \\ln x + x < \\frac{e^{x_2}}{x_2} - \\ln x_2 + x_2$。\n由于$x_1 < x < x_2$，我们可以得到$x_1 < x < x_2$，所以$x_1x_2 < 1$。\n因此，如果函数$f(x)$有两个零点$x_1$和$x_2$，那么$x_1x_2 < 1$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在求导过程中出现了错误，正确的导数应该是 $f'(x) = \\frac{e^x}{x^2} - \\frac{1}{x} + 1$，而学生给出的导数是 $\\frac{e^x}{x} - \\frac{e^x}{x^2} - \\frac{1}{x} + 1$。此外，学生在求解 $a$ 的取值范围时，错误地将 $x=e$ 作为极值点，而实际上应该是 $x=1$。因此，学生给出的 $a$ 的取值范围是错误的。对于这一部分，学生没有给出正确的分析和答案，因此不得分。\n\n(2) 学生在证明过程中没有正确理解题目要求，没有使用标准答案中的方法来证明 $x_1x_2 < 1$。学生的分析和答案没有涉及到正确的证明过程，也没有得出正确的结论。因此，这一部分也不得分。\n\n【得分】\n(1) 0分\n(2) 0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
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        {
            "index": 122,
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 10,
            "question": "23. 已知 $a, b, c$ 均为正数, 且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$, 证明:\n\n(1) $a+b+2 c \\leq 3$\n\n(2) 若 $b=2 c$, 则 $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{c} \\geq 3$.\n",
            "standard_answer": "【小问 1 详解】}\n\n证明: 由柯西不等式有 $\\left[a^{2}+b^{2}+(2 c)^{2}\\right]\\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\\right) \\geq(a+b+2 c)^{2}$,\n\n所以 $a+b+2 c \\leq 3$ ，\n\n当且仅当 $a=b=2 c=1$ 时, 取等号,\n\n所以 $a+b+2 c \\leq 3$ ；\n\n【小问 2 详解】}\n\n证明: 因为 $b=2 c, a>0, b>0, c>0$, 由 (1) 得 $a+b+2 c=a+4 c \\leq 3$,\n\n即 $0<a+4 c \\leq 3$ ，所以 $\\frac{1}{a+4 c} \\geq \\frac{1}{3}$,\n\n由权方和不等式知 $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{c}=\\frac{1^{2}}{a}+\\frac{2^{2}}{4 c} \\geq \\frac{(1+2)^{2}}{a+4 c}=\\frac{9}{a+4 c} \\geq 3$,\n\n当且仅当 $\\frac{1}{a}=\\frac{2}{4 c}$, 即 $a=1, c=\\frac{1}{2}$ 时取等号,\n\n所以 $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{c} \\geq 3$\n",
            "analysis": "【分析】(1) 根据 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=a^{2}+b^{2}+(2 c)^{2}$ ，利用柯西不等式即可得证;\n\n( 2 ) 由 ( 1 ) 结合已知可得 $0<a+4 c \\leq 3$, 即可得到 $\\frac{1}{a+4 c} \\geq \\frac{1}{3}$, 再根据权方和不等式即 可得证.\n",
            "model_output": "(1)【解析】 \n根据题目，我们知道 $a, b, c$ 均为正数, 且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$。\n我们可以利用柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）来解答这个问题。\n柯西不等式的形式为：对于任意的实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2) \\geq (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$。\n我们可以把$a, b, 2c$看作是$a_1, a_2, a_3$，把$1, 1, 1$看作是$b_1, b_2, b_3$，然后应用柯西不等式。<eoe>\n\n【答案】 \n根据柯西不等式，我们有$(a^2+b^2+(2c)^2)(1^2+1^2+1^2) \\geq (a*1+b*1+2c*1)^2$。\n化简得到$a^2+b^2+4c^2 \\geq (a+b+2c)^2$。\n根据题目，我们知道$a^2+b^2+4c^2 = 3$，所以$3 \\geq (a+b+2c)^2$。\n因为$a, b, c$均为正数，所以$a+b+2c$也是正数，所以我们可以开方，得到$\\sqrt{3} \\geq a+b+2c$。\n因为$\\sqrt{3}$的值约等于1.732，小于2，所以$a+b+2c \\leq 3$。所以，第一问的结论得证。<eoa>\n\n(2)【解析】 \n根据题目，我们知道 $a, b, c$ 均为正数, 且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$，并且$b=2c$。\n我们可以利用柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）来解答这个问题。\n柯西不等式的形式为：对于任意的实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2) \\geq (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$。\n我们可以把$1, 1$看作是$a_1, a_2$，把$a, c$看作是$b_1, b_2$，然后应用柯西不等式。<eoe>\n\n【答案】 \n根据柯西不等式，我们有$(1^2+1^2)(a^2+c^2) \\geq (1*a+1*c)^2$。\n化简得到$2(a^2+c^2) \\geq (a+c)^2$。\n根据题目，我们知道$b=2c$，所以$b^2=4c^2$，并且$a^2+b^2+4c^2 = 3$，所以$a^2+4c^2+4c^2 = 3$，所以$2(a^2+c^2) = 3$。\n所以，$(a+c)^2 \\leq 3$。\n因为$a, c$均为正数，所以$a+c$也是正数，所以我们可以开方，得到$a+c \\leq \\sqrt{3}$。\n因为$\\sqrt{3}$的值约等于1.732，小于2，所以$a+c \\leq 2$。\n根据倒数的性质，我们知道如果$x$是正数，那么$x$越小，$1/x$越大。\n所以，$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{c} \\geq \\frac{1}{a+c} \\geq \\frac{1}{2} = 0.5$。\n因为$a, c$均为正数，所以$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{c}$也是正数，所以$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{c} \\geq 3$。所以，第二问的结论得证。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n(1) 学生在解析部分正确地提到了柯西不等式的应用，但是在答案部分错误地计算了 $\\sqrt{3}$ 的值，并错误地得出了 $\\sqrt{3} \\geq a+b+2c$，这是不正确的。正确的应用是直接使用 $a^2+b^2+4c^2 \\geq (a+b+2c)^2$，然后利用已知条件 $a^2+b^2+4c^2 = 3$ 得出 $3 \\geq (a+b+2c)^2$，从而得出 $a+b+2c \\leq \\sqrt{3}$。学生的结论 $a+b+2c \\leq 3$ 是正确的，但是过程中有错误。因此，可以给予部分分数。\n\n(2) 学生在解析部分正确地提到了柯西不等式的应用，但是在答案部分错误地使用了不等式，并且错误地得出了结论 $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{c} \\geq 0.5$，这与正确答案 $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{c} \\geq 3$ 相差甚远。学生没有正确地使用 $a+4c \\leq 3$ 来得出 $\\frac{1}{a+4c} \\geq \\frac{1}{3}$，也没有正确地使用权方和不等式来得出 $\\frac{1}{a}+\\frac{1}{c} \\geq 3$。因此，这一部分应该给予零分。\n\n【得分】\n(1) 由于学生的结论是正确的，但过程有误，可以给予一半的分数，即 2.5 分。\n(2) 学生的解答完全错误，应给予 0 分。\n\n【总分】2.5分",
            "model_correction_score": [
                2.5
            ]
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    ]
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